第53练 双曲线 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法构建双曲线完整认知链，融合定义应用、几何性质与综合计算，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1-4题|定义法判断轨迹、方程形式分类讨论|从实虚轴关系到标准方程构建，形成概念生成逻辑| |性质应用|5-9题|焦点三角形勾股定理、渐近线方程设参法|离心率公式推导→渐近线性质→几何量计算，体现性质拓展链条| |综合计算|10-16题|直线与双曲线联立韦达定理、焦点对称转化|从单一性质到多知识点交汇，构建“概念-性质-应用”完整推理体系|

第53练　双曲线 1.[2025·全国一卷] 双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C. D.2 2.[2025·陕西渭南二模] 若双曲线-=1的焦距为6,则m= (　 ) A.5或-1 B.3 C.5 D.-1 3.若双曲线C1与双曲线C2:-y2=1的渐近线相同,且过点(2,),则双曲线C1的方程为 (　 ) A.-x2=1 B.y2-=1 C.-=1 D.x2-y2=1 4.已知x,y满足-=4,则动点M(x,y)的轨迹是 (　 ) A.一条射线 B.一条直线 C.椭圆 D.双曲线的一支 5.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程是 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-y2=1 6.(多选题)若实数x,y满足-y2=1,则 (　 ) A.|x|≥ B.x2+y2≥2 C.< D.|x-y|≤ 7.已知方程+=1表示双曲线,则m的取值范围是　　　　.  8.[2025·广西柳州模拟] 直线y=x与双曲线-=1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积为-8,则双曲线的离心率为　　　　.  9.已知双曲线6x2-4y2=24,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点. (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程; (2)设点Q(x0,y0)是双曲线上位于第一象限内的点,·=4,求x0的值. 10.[2025·天津新华中学模拟] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l:x-y+2=0与双曲线的左、右两支分别交于点A,B,且|AF2|=|BF2|,则该双曲线的方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-=1 11.[2025·西安模拟] 已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为圆D,过F1作圆D的切线与C的左、右两支分别交于M,N两点,且cos∠F1NF2=,则双曲线C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)[2026·山东德州模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与C在第一、四象限的交点分别为A,B,与y轴的交点为D,若|AF2|=|DF2|=|F1F2|,则 (　 ) A.直线AF2的斜率为 B.C的离心率为2 C.点D到C上点的距离的最小值为a D.|AF2|∶|BF2|=11∶3 13.[2025·湖南郴州三模] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线C右支上一点,且直线PF2的斜率为,△PF1F2是面积为2的直角三角形,则双曲线C的实半轴长为　　　　.  14.[2025·江西抚州模拟] 已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴的上方交双曲线C于点M,且∠MF1F2=30°. (1)求双曲线C的方程; (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1,P2,求·的值. 15.[2026·杭州一模] 过点F(-,)的直线l与圆O:x2+y2=1相切于点M,与曲线y=-(x>0)交于点R.若FR的中点为N,则|ON|-|MN|=　　　　.  16.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,F1到C的渐近线的距离为1,过F1作斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,若△ABF2的内切圆与l相切于点H,且|AH|=4,则C的离心率是　　　　.  第53练　双曲线 1.D　[解析] 由题知2b=×2a,即=,则双曲线的离心率e===2.故选D. 2.D　[解析] 若双曲线-=1的焦点在x轴上,则 无解;若双曲线-=1的焦点在y轴上,则解得m=-1.综上可得,m=-1.故选D. 3.B　[解析] 因为双曲线C1与双曲线C2:-y2=1的渐近线相同,所以设双曲线C1的方程为-y2=m,因为双曲线C1过点(2,),所以-2=m,即m=-1,所以双曲线C1的方程为y2-=1.故选B. 4.A　[解析] 设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是一条射线,故选A. 5.D　[解析] 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则由已知得+=4c2=20,r1·r2=2,又|r1-r2|2=+-2r1r2=16,∴4a2=16,即a2=4,又∵c=,∴b2=1,∴双曲线的标准方程为-y2=1.故选D. 6.AB　[解析] 方法一:对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥,故A正确;对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确;对于选项C,取x=2,y=1,满足-y2=1,此时=,故C错误;对于选项D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB. 方法二:易知点(x,y)在双曲线-y2=1上,根据双曲线上点的横坐标的范围可知|x|≥,故A正确;x2+y2表示双曲线上一点到原点的距离的平方,双曲线的实半轴长为,故x2+y2≥2,故B正确;表示双曲线上一点与原点连线的斜率,双曲线的渐近线的斜率为±=±,故-<<,故C错误;对于D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB. 7.(1,e)　[解析] 由题意可知(ln m-1)(m-1)<0,解得1<m<e,故m的取值范围是(1,e). 8.　[解析] 由对称性可知,A,B两点关于原点对称,由点A在直线y=x上,可设A(x0,x0)(x0>0),所以B(-x0,-x0),由A,B两点的横坐标之积为-8,得x0·(-x0)=-8,可得x0=2,所以A(2,2).将点A的坐标代入双曲线方程得-1=1,可得a=2,所以c==2,所以双曲线的离心率为==. 9.解:(1)由题意得双曲线的标准方程为-=1,可得a=2,b=,c=,故顶点坐标为(-2,0),(2,0),焦点坐标为(-,0),(,0), 离心率e==,渐近线方程为y=±x. (2)∵点Q(x0,y0)在双曲线上,∴=6, ∵点Q在第一象限内,∴x0>2, 又F1(-,0),F2(,0), ∴·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=-10+=-16=4,可得x0=2. 10.A　[解析] 依题意得F1(-2,0),F2(2,0),直线l的倾斜角为30°,即∠AF1F2=30°,如图,取AB的中点D,连接F2D,由|AF2|=|BF2|,得DF2⊥AB,则|DF2|=|F1F2|sin 30°=2,|DF1|= |F1F2|cos 30°=6,|BF2|=|AF2|=2a+|AF1|,|BF1|=2a+|BF2|=4a+|AF1|,则|AD|=|AB|=(|BF1|-|AF1|)=2a,故|AF2|=|DF1|=6.在Rt△ADF2中,2a=|AD|== =2,解得a=,故b==,所以该双曲线的方程为-=1.故选A. 11.A　[解析] 如图,不妨设直线MN的斜率大于0,设直线MN与圆D相切于点A,连接OA,则OA⊥MN.作F2B∥OA,交MN于点B,因为|OF1|=c,|OA|=a,所以|AF1|=b.又O为F1F2的中点,所以|BF1|=2b,|BF2|=2a.又cos∠F1NF2=,MN⊥BF2,所以可设|BN|=3t,|BF2|=4t,|NF2|=5t.由2a=4t得t=,根据双曲线的定义得|NF1|-|NF2|=2a,即+2b-a=2a,得2b=3a,所以9a2=4b2=4(c2-a2),可得13a2=4c2,即=,所以双曲线C的离心率e==.故选A. 12.ABD　[解析] 对于A,记双曲线C的焦距为2c,则F2(c,0),|AF2|=|DF2|=|F1F2|=c.如图,在Rt△DOF2中,|OF2|=c,|DF2|=c,由勾股定理得|OD|==c,过点A作x轴的垂线,垂足为M,由可得△AF2M≌△DF2O,故|MA|=|OD|=,|MF2|=|OF2|=c,则|MO|=2c,即A,所以===,选项A正确.对于B,将点A的坐标代入双曲线C的方程,可得-=1,即-=1,将c2=a2+b2代入得-=1,即4+--=1,可得b=a,所以C的离心率e======2,选项B正确.对于C,由|OD|=可知D,双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,则点D到双曲线C的渐近线的距离d= ====a,所以点D到C上点的距离大于a,选项C错误.对于D,由b=a得双曲线C的方程可化为3x2-y2=3a2,由F2(2a,0),A(4a,3a)得直线l的方程为y=(x-2a),将y=(x-2a)与3x2-y2=3a2联立并消去y,整理得11x2-60ax+64a2=0,记B(x1,y1),则x1·4a=,解得x1==,所以|AF2|∶|BF2|==,选项D正确.故选ABD. 13.-1　[解析] 由题可知,点P在第四象限,∠F1PF2=90°.设∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2.由=tan θ1=,可得sin θ1=.因为∠F1PF2=90°,所以·=-1,可得=-,故tan θ2=,可得sin θ2=.由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=sin θ1∶sin θ2∶sin 90°=∶1∶.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=m.由=|PF1|·|PF2|=×m·m=2,得m=2,则|PF2|=2,|PF1|=2,故|PF1|-|PF2|=2a=2-2,解得a=-1,故双曲线C的实半轴长为-1. 14.解:(1)在直角三角形MF1F2中,因为∠MF1F2=30°,所以tan∠MF1F2===,cos∠MF1F2===,可得|MF2|=c,|MF1|=c, 由双曲线的定义可知|MF1|-|MF2|=2a=2,即c-c=2,解得c=, 由c=,得b2=2,所以双曲线C的方程是x2-=1. (2)设P(x0,y0)是双曲线C上任意一点,则2-=2. 双曲线C的两条渐近线为l1:x-y=0,l2:x+y=0,设l1:x-y=0的倾斜角为α,则tan α=,设两条渐近线在第一、四象限的部分(包括原点)构成的角为θ, 则cos θ=cos 2α==-,则cos<,>=-cos θ=. 不妨设P1在l1上,P2在l2上,则|PP1|=,|PP2|=, 所以·=··cos<,>=·=. 15.-[解析] 如图,设F关于原点O的对称点为F',则F'(,-),连接FF',RF',OM.曲线y=-是以F(-,),F'(,-)为焦点,实轴长为2的等轴双曲线,所以|RF|-|RF'|=2,又O,N分别为FF',RF的中点,故|NF|-|ON|=.在Rt△MFO中,|OF|=2,|OM|=1,则|MF|=,所以|ON|-|MN|=|NF|--|MN|=|MF|-=-. 16.　[解析] 不妨设直线l的斜率大于0,设直线AF2,BF2分别与△ABF2的内切圆相切于点N,M,则|AH|=|AN|,|BH|=|BM|,|MF2|=|NF2|,且 即两式相加得|AH|+|AN|=2|AH|=4a,所以4a=8,得a=2,由点到直线的距离公式可得F1到C的渐近线的距离为==b=1,所以c==,故C的离心率e=. 学科网（北京）股份有限公司 $