第52练 椭圆 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以椭圆定义与几何性质为核心，通过基础辨析-综合应用-拓展探究三级递进训练，系统提炼定义法、方程法、几何转化等解题策略，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-3题|焦点判断与方程求解|从标准方程到a,b,c关系推导| |性质应用|4-7题|离心率计算与参数范围|结合定义与余弦定理构建不等关系| |综合拓展|8-16题|轨迹与几何证明|以椭圆定义为桥梁实现轨迹转化与面积最值求解|

第52练　椭圆 1.椭圆+=1的焦点坐标为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(±3,0) B.(0,±3) C.(±9,0) D.(0,±9) 2.以原点为中心,焦点在x轴上,且长轴长与短轴长之比为2∶1,焦距为4的椭圆的方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.x2+=1 3.已知方程+=1表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是 (　 ) A.(4,6) B.(6,8) C.(4,8) D.(4,6)∪(6,8) 4.[2025·江西新余模拟] 已知椭圆C:+=1(0<m<4)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为M,点N在椭圆C上,且∠NF1F2=60°,若|NF2|=2|MF2|,则m= (　 ) A.1 B.2 C. D.3 5.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|=|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 6.(多选题)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1,F2,P为C上一点,则 (　 ) A.C的焦距为2 B.C的离心率为 C.△F1PF2的周长为3+ D.△F1PF2面积的最大值为2 7.写出一个焦距为3的椭圆的标准方程:　　　　　　.  8.[2025·浙江温州三模] 在△ABC中,|AB|=6,|BC|=10,线段AC的中垂线交线段BC于点M,则△ABM的面积的最大值是　　　　.  9.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),点A在E上. (1)求椭圆E的离心率; (2)若O为坐标原点,直线OA与E的另一个交点为B,B关于y轴的对称点为C,若四边形AFBC的面积为,求|AB|. 10.[2025·贵州遵义模拟] 已知△ABC的周长为12,|BC|=4,当△ABC的面积最大时,△ABC的内切圆半径为 (　 ) A. B. C. D. 11.[2025·广东广州二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C相交于A,B两点,且|AF1|=|AB|,|BF1|=a,则C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)[2025·山西临汾二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A,B为椭圆C上关于原点对称的两点,且|AB|=|F1F2|,则 (　 ) A.AF1⊥AF2 B.四边形AF1BF2的周长为4a C.四边形AF1BF2的面积为b2 D.椭圆C的离心率的取值范围为 13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,|F1F2|=8,O是坐标原点,P是C上一点,且|PF1|=6,过F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为M,则|OM|=　　　　.  14.[2025·河南安阳质检] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,点A为其左顶点,点B为其上顶点,且|AB|=2,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)M为椭圆C上位于第一象限的一个点,且MF2⊥F1F2,点N为椭圆C上任意一点(异于A,M),求△MAN的面积的最大值. 15.(多选题)用平面α截圆柱面,圆柱的轴与平面α所成的角记为θ,当θ为锐角时,截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小相同的球嵌入圆柱内,球心分别为O1,O2,使它们分别位于α的上方和下方,并且与圆柱面和α均相切.已知AB,CD分别为球O1,球O2的直径,AB∥CD,AD∥BC∥O1O2,G1G2为椭圆的长轴,G1,G2分别在AD,BC上,球O1,球O2分别与α相切于点F1,F2,则下列结论中正确的有 (　 ) A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距|O1O2|相等 C.椭圆的离心率e=cos θ D.若R为球O1的半径,则R=|AG1|·tan 16.(多选题)[2025·山东烟台三模] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,则下列说法正确的有(　 ) A.△PF1F2的面积的最大值为12 B.∠F1PF2的平分线必过椭圆的中心 C.若tan∠PF1F2=,则|PF1|∶|PF2|=8∶7 D.若∠F1PF2=θ,则椭圆C上存在点P,使得tan= 第52练　椭圆 1.B　[解析] 根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,±3).故选B. 2.B　[解析] 由题意可得2c=4,所以c=2.因为2a∶2b=2∶1,所以a=2b,又a2=b2+c2,所以4b2=b2+12,解得a2=16,b2=4,所以所求椭圆的方程为+=1.故选B. 3.D　[解析] 因为方程+=1表示的曲线是椭圆,所以 解得4<k<8且k≠6,所以实数k的取值范围是(4,6)∪(6,8).故选D. 4.D　[解析] 依题意得,|MF2|=a-c,则|NF2|=2|MF2|=2a-2c,故|NF1|=2a-|NF2|=2c.在△NF1F2中,|F1F2|=2c,且∠NF1F2=60°,则△NF1F2为等边三角形,所以2a-2c=2c,得a=2c,则m=a2-c2=a2=3.故选D. 5.B　[解析] 设椭圆的长轴长为2a,则|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=|PF2|,所以|PF1|=,|PF2|=.由|PF1|-|PF2|=≤2c,得e=≥,又0<e<1,所以e∈.故选B. 6.ABD　[解析] 设椭圆C:+=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=,所以C的焦距为2,故A正确;C的离心率为=,故B正确;△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+2,故C错误;当点P位于椭圆C的上顶点或下顶点时,△F1PF2的面积最大,最大值为×2×2=2,故D正确.故选ABD. 7.+=1(答案不唯一)　[解析] 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题得c=,所以a2-b2=,取b=2,则椭圆的标准方程可以为+=1. 8.12　[解析] 由题意知|AM|=|MC|,故|BM|+|AM|=|BM|+|MC|=|BC|=10>|AB|=6,所以点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去长轴端点),长轴长为10,焦距为6,则椭圆的长半轴长a=5,半焦距c=3,短半轴长b==4.不妨设A(-3,0),B(3,0),如图,则M的轨迹是椭圆+=1(除去点(-5,0),(5,0)),则△ABM的面积S=×|AB|×|yM|=3|yM|,当|yM|取得最大值,即|yM|=b=4时,S取得最大值,最大值为3×4=12. 9.解:(1)因为点A在E上,所以+=1,即=,所以椭圆E的离心率为. (2)如图,由A及椭圆的对称性可得,C,B.因为BF⊥x轴,AC⊥BC, 所以S△ABF=|BF|·2c=××2c=,S△ABC=|BC|·|AC|=×2c×2×=bc,又四边形AFBC的面积为,所以S△ABC+S△ABF=bc+==,则bc=.由(1)可得a∶b∶c=2∶1∶,则b=1,c=,所以A,故|AB|=2|OA|=2×=. 10.B　[解析] 由|AB|+|AC|+|BC|=12,且|BC|=4,可得|AB|+|AC|=8>4,由椭圆的定义可知,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(除去长轴端点),长轴长2a=8,焦距2c=4,可得a=4,c=2,则椭圆的短半轴长b==2.当点A运动到椭圆短轴的端点时,△ABC的面积最大,最大面积为·2c·b=4.设△ABC的内切圆半径为r,则S△ABC=(|AB|+|AC|+|BC|)·r=4,可得r==.故选B. 11.D　[解析] 如图所示.设|AF2|=m,因为|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=2a-|AF2|=2a-m.因为|BF1|+|BF2|=2a,|BF1|=a,所以|BF2|=a,所以|AB|=a+m,又因为|AF1|=|AB|,所以a+m=2a-m,解得m=a,所以|AF1|=2a-a=a.在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF2F1= ,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=, 因为cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,所以+=0,整理得12c2-4a2=0,所以=,则e==.故选D. 12.ABD　[解析] 对于A,依题意知,AB,F1F2互相平分,且|AB|=|F1F2|,则四边形AF1BF2是矩形,故AF1⊥AF2,A正确;对于B,四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,B正确;对于C,四边形AF1BF2的面积为2=|AF1||AF2|=[(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)]=2a2-2c2=2b2,C错误;对于D,设椭圆C的半焦距为c,由题意知以原点为圆心,c为半径的圆与椭圆有公共点,故c≥b,即c2≥b2=a2-c2,解得≥,可得≥.又椭圆C的离心率e∈(0,1),故e∈,D正确.故选ABD. 13.1　[解析] 如图,延长F1M,PF2,设交点为N.易知∠F1PM=∠NPM,∠PMF1= ∠PMN,|PM|=|PM|,所以△PF1M≌△PNM,得|PF1|=|PN|,|MF1|=|MN|.由题知可得由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,由|PF1|=6,可得|PF2|=4,所以|NF2|=|PN|-|PF2|=6-4=2.由OM为△F1F2N的中位线,可得|OM|=|NF2|=1. 14.解:(1)如图,依题意得 可得 所以椭圆C的方程为+=1. (2)由(1)得F1(-2,0),F2(2,0). 将x=2代入+=1得+=1,所以y2=9,故y=±3, 又M在第一象限,所以M(2,3), 又A(-4,0),故|AM|= =3,直线AM的方程为y=(x+4)=(x+4),即x-2y+4=0. 设N(4cos θ,2sin θ),θ∈[0,2π), 则N到直线x-2y+4=0的距离d== ,所以当sin=1时,d取得最大值,且dmax=,所以△MAN的面积的最大值为×3×=18. 15.ABC　[解析] 对于B,如图,设P为椭圆上的一点,连接PF1,PF2,过点P作EF∥AD,EF分别与球O1,球O2相切于点F,E,由题可知PF1与球O1相切于点F1,PF2与球O2相切于点F2,故|PF1|+|PF2|=|PF|+|PE|=|EF|=|O1O2|,由椭圆的定义可知,该椭圆以F1,F2为焦点,|O1O2|为长轴长,故B正确;对于A,连接O1F1,设O为O1O2的中点,则O为F1F2的中点,由平面α与球O1相切于点F1,可得O1F1⊥OF1,故=-=a2-c2=b2,故椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等,故A正确;对于C,由题意可得θ=∠O1OF1,则e===cos θ,故C正确;对于D,由题意可得|AG1|=|F1G1|,θ=∠O1OF1=∠AO1F1,连接O1G1,则∠G1O1F1=,故tan==,即R=,故D错误.故选ABC. 16.ACD　[解析] 由题得椭圆C的长半轴长a=5,短半轴长b=4,半焦距c=3,故F1(-3,0),F2(3,0).对于A,当P为短轴的端点时,△PF1F2的面积最大,最大面积为×2c×b=bc=12,故A正确;对于B,若∠F1PF2的平分线过椭圆的中心,又|F1O|=|F2O|,则|PF1|=|PF2|,此时△F1PF2为等腰三角形,P为短轴的端点,而当P不为短轴的端点时, ∠F1PF2的平分线不过椭圆的中心,故B错误;对于C,因为tan∠PF1F2=,所以cos∠PF1F2=,在△PF1F2中,由余弦定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos∠PF1F2,则|PF2|2=(10-|PF2|)2+36-2×6(10-|PF2|)×,故|PF2|=,所以|PF1|=,故|PF1|∶|PF2|=8∶7,故C正确;对于D,若∠F1PF2=θ,则|PF2|2+|PF1|2-2|PF2||PF1|cos θ=36,即(|PF2|+|PF1|)2- 2|PF2||PF1|cos θ-2|PF2||PF1|=36,又|PF2|+|PF1|=10,所以2(1+cos θ)== == ,又2≤|PF2|≤8,所以16≤-(|PF2|-5)2+25≤25,所以≤2(1+cos θ)≤4,即≤cos θ≤1,故≤≤1,所以≤≤1(*),因为<=<1,所以tan=符合不等式(*),故椭圆C上存在点P,使得tan=,故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $