2025--2026学年八年级下册数学期末模拟试题（三）

**基本信息** 2026年八年级下册数学期末模拟卷以七巧板中心对称拼图、高空抛物速度计算等创新情境为载体，融合几何直观、运算能力与模型意识，实现基础巩固与综合应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形判定、一元二次方程根与系数关系|七巧板拼图（几何直观）、方差比较（数据意识）| |填空题|6/18|二次根式意义、正方形折叠面积计算|动态折叠问题（空间观念）、平行四边形旋转（推理能力）| |解答题|8/72|平行四边形证明、童装销售利润模型、动态图形面积探究|高空抛物速度公式应用（模型意识）、▱PDCQ面积与t关系（创新意识）|

2026年八年级下册数学期末模拟试题（三） 一、选择题(共10题；共30分) 1．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程 的两根为x1，x2，则以 为两根的一元二次方程是(　　) A． B． C． D． 3．若方程 有实数根，则m值可以是(　　) A．-1 B．2 C．3 D．4 4． 若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（　　） A． B．2024 C．2026 D．2028 5．某篮球队 5 名场上队员的身高 (单位： ) 分别是： . 现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高 A．平均数变小， 方差变小 B．平均数变小， 方差变大 C．平均数变大， 方差变小 D．平均数变大， 方差变大 6．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B．且k≠-1 C．且k≠-1 D． 7．已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 8． 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 9．如图， F是▱ABCD的边CD上的点， Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点 P，若 则阴影部分的面积为（　　)。 A． B． C． D． 10．如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 二、填空题(共6题；共18分) 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 12． 如图，正方形 ABCD 的边长为 13，以 BC 为斜边向内作，，， 于点 E，连结 DE.若 ，则 的面积为　 　. 13．某高中美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为和．小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　 　分． 14． 如图，把三个完全相同的平行四边形按如图摆放，其中∠DAB=60°， ∠NMK=30°，若AD=3，点C恰好是边 EH的中点，则 BM的长为　 　. 15．如图，在△ABC中， ∠ABC=70°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，使点 B的对应点B'在BC边上，点C的对应点为C'，则∠CAC'=　 　。 16．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=3，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将长方形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点F运动的距离为　 　. 三、解答题(共8题；共72分) 17．计算： （1） （2） 18．解方程：. （1） （2） 19．某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：　 　，　 　，　 　； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF。 （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形。 （2）若AB=CE， ∠BAC=82°， ∠ABE=25°，求∠EDF的度数。 21． 近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来严重.为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度v(单位：m/s)和高度h(单位：m)近似满足公式： (不考虑风速的影响， 已知小临所住小区楼层高度规律为第 n楼高度 （1）小临家在2楼，即 n=2，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度； （2）计算当从 n楼坠落时，物品落地时的速度. 22．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． （1）每天可销售　 　件，每件盈利　 　元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 23．已知：如图：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD垂直BC于D，P是AB上的一个动点，以PD，DC为边作▱PDCQ，连结AQ，设BP=t， （1）探究S▱PDCQ与S△PBD的数量关系，并说明理由。 （2）①设S▱PDCQ=S，求S关于t的关系式 ②Q在△ABC内部，当时，求t的值. 24．如图，M是正方形ABCD的边BC上一点，连结AM，E是线段AM上一点， 的平分线交AM的延长线于点F。 （1）如图1，若E为线段AM的中点， 求AB的长。 （2）如图2，若DA=DE，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级下册数学期末模拟试题（三） 一、选择题(共10题；共30分) 1．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】七巧板与拼图制作；中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据中心对称图形特点分别分析判断，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合。判断中心对称图形关键是找到对称中心. 2．已知关于x的方程 的两根为x1，x2，则以 为两根的一元二次方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+2x-3=0的两根 ∴x1+x2=-2， x1x2=-3 ∴以-2，-3为两根的一元二次方程的两根之和为-5，两根之积为6， ∴该一元二次方程为x2+5x+6=0 故答案为：A. 【分析】根据根与系数的关系解答即可. 3．若方程 有实数根，则m值可以是(　　) A．-1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ， ∵方程有实数根， ∴根的判别式 ， 其中 ，代入得：， 化简得 ， 解得 ， 观察选项，只有选项A的满足 . 故答案为：A. 【分析】根据方程根的情况得到，代入计算出m的取值范围即可. 4． 若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（　　） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数 【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得，即， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴ ． 【分析】根据题意得到，，然后整体代入计算即可. 5．某篮球队 5 名场上队员的身高 (单位： ) 分别是： . 现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高 A．平均数变小， 方差变小 B．平均数变小， 方差变大 C．平均数变大， 方差变小 D．平均数变大， 方差变大 【答案】A 【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数） 【解析】【解答】解： 当用一名身高为 的队员换下场上身高为 195cm 的队员，换人前后相比，队员的身高总和减小，但队员人数不变，故平均数变小； 原本最大值为195，换人后换成194，数据的波动变小，故方差变小. 故答案为：A. 【分析】根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案. 一般地，对于n个数x1，x2，...，xn，我们把叫做这n个数的算术平均数( mean)，简称平均数. 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，方差越小，数据波动就越小，越稳定. 6．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B．且k≠-1 C．且k≠-1 D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【解答】解：当 ，即 时，原方程为 ，解得 ，方程有实数根，符合要求； 当，即 时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式 ，代入 ，， 得： ， 解得 ，即此时 的范围是 且 ． 综上可知，的取值范围是 ． 故答案为：D. 【分析】分为时，一元一次方程有实数根；不等于0时，利用根的判别式为非负数求出k的取值范围解答即可. 7．已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵ x2-6x+9=0， ∴a=1，b=-6，c=9， ∴判别式， ∴当时，方程有两个相等的实数根. 故答案为：B. 【分析】根据判别式与根的关系（即当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根），通过计算判断的值即可得出答案. 8． 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】平行四边形的判定 【解析】【解答】解：对于选项C： ∵，，， ∴． ∴． 同理可得． ∴四边形为平行四边形． 选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件． 故答案为：C. 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可. 9．如图， F是▱ABCD的边CD上的点， Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点 P，若 则阴影部分的面积为（　　)。 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故答案为B：. 【分析】连接，根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得四边形为平行四边形，可得，然后推理得到四边形为平行四边形，可得，然后相加解答即可． 10．如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质 二、填空题(共6题；共18分) 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 【答案】 【知识点】二次根式有无意义的条件 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【分析】由二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式，求解即可得出x的取值范围. 12． 如图，正方形 ABCD 的边长为 13，以 BC 为斜边向内作，，， 于点 E，连结 DE.若 ，则 的面积为　 　. 【答案】72 【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；解一元二次方程的其他方法 【解析】【解答】解：如图，作DM⊥AE， 易证△AEB≌△BFC，且△AEB≌△DMA， 不妨假设BF=AE=DM=a，FC=BE=b， ∴EF=BF-BE=a-b=7， 又∵∠AEB=90°， ∴a2+b2=132=169， 解方程组， 解得， ∴AE=MD=12， 又∵MD⊥AE， ∴. 故答案为：72 . 【分析】作DM⊥AE于点M，得到△AEB与△BFC与△DMA均全等，从而BF-BE=5，BE2+AE2=132，可以解得AE=BF=MD=12，又MD⊥AE，进而可以表示的面积. 13．某高中美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为和．小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　 　分． 【答案】86 【知识点】加权平均数及其计算 【解析】【解答】解：由题意得：分， 故答案为：86． 【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的计算公式列出算式 90 ×+ 80 ×，计算即可． 14． 如图，把三个完全相同的平行四边形按如图摆放，其中∠DAB=60°， ∠NMK=30°，若AD=3，点C恰好是边 EH的中点，则 BM的长为　 　. 【答案】6+2 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 【解析】【解答】解：过点Q作QT⊥BM于点T，如图所示： ∴∠QTM=90° ∴△QTM和△QFT都是直角三角形 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=3 ∴BC=AD=3，BC//AD， ∵∠ABC=60°， ∴∠CBE=∠ABC=60°，∠ABC=180°-∠ABC=120°. ∵平行四边形EFGH和平行四边形MNPO和平行四边形ABCD完全相同， ∴EF=AD=MN=3，∠HEF=∠QMN=∠ABC=120°，∠GFE=∠ABC=60°，MQ=EH， ∴∠DEB=180°-∠HEF=180°-120°=60° 在△CBE中，∠CBE=∠DEB=60° ∴△CBE是等边三角形， ∴BE=BC=CE=3 ∵点C恰好是边EH的中点， ∴EH=2CE=6. ∵∠NMK=30°. ∴∠QMT=180°-(∠NMK+∠QMN)=180°-(30°+120°)=30°. 在Rt△QTM中，∠QMT=30°，QM=EH=6 ∴， 由勾股定理得： 在Rt△QTE中，∠FAT=90°-∠GFE=90°-60°=30°. ∴QF=2TF 由勾股定理得：， ∴ ∴， ∴， 即BM的长为 故答案为：. 【分析】过点Q作QT⊥BM于点T，依题意得∠CBE=∠ABC=60°，∠ABC=120°，EF=AD=MN=3，∠HEF=∠QMN=∠ABC=120°，∠GFE=∠ABC=60°，MQ=EH，由此得∠CBE=∠DEB=60°，则△CBE是等边三角形，进而得BE=BC=CE=3，则EH=2CE=6，求出∠QMT=30°，在Rt△QTM中，可求出，，再求出∠FAT=30°，在Rt△QTE中得QF=2TF，由勾股定理得，继而得，据此即可得出BM的长. 15．如图，在△ABC中， ∠ABC=70°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，使点 B的对应点B'在BC边上，点C的对应点为C'，则∠CAC'=　 　。 【答案】40° 【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 故答案为：40°. 【分析】根据旋转得到，，然后根据等边对等角和三角形内角和求出的度数解答即可． 16．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=3，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将长方形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点F运动的距离为　 　. 【答案】或 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；直角三角形的判定 【解析】【解答】解：分两种情况： 当点落在对角线上时，连接，如图所示， 将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上， ， ，， 点为线段的中点， ， ，， ， ， ，即，， ， ，， ， ， ，即点运动的距离为； 当点落在对角线上时，连接，，设与的交点为，作于，则四边形为矩形，如图所示， ，，， 由折叠可知， 点为线段的中点， ， 在中，， ，即 ， ， 在中，， ，即， ， 在中，， ， 点运动的距离为； 综上所述，点运动的距离为或． 故答案为：或． 【分析】当点落在对角线上，连接，根据等边对等角和三角形的内角和得到∠CC'D=90°，然后根据平行线的性质和等角对等边得到解答；当点落在对角线上，连接，，设与的交点为，作于，则四边形为矩形，根据折叠的性质和勾股定理求出AC长，然后根据△AEC的面积求出EF长，再在中，根据勾股定理求出EH长，即可求出BF长解答即可． 三、解答题(共8题；共72分) 17．计算： （1） （2） 【答案】（1）解：=6-3+4 =7 （2）解：= = = 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后加减解答即可； （2）先利用多项式除以单项式计算，然后化简二次根式，再合并解答即可. 18．解方程：. （1） （2） 【答案】（1）解：x (x+3) =0 x=0或x=-3 （2）解：a=2，b=-5，c=2 ， ， ， . 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）提取公因式x，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先求出b2-4ac的值，然后利用求根公式计算即可. 19．某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：　 　，　 　，　 　； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85；85；80 （2）解：由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好 （3）解：（分）， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定 【知识点】方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数） 【解析】【解答】解：(1)七年级的平均分，众数b=85， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80， 故答案为：85，85，80. 【分析】(1)根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； (2)根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； (3)根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可. 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF。 （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形。 （2）若AB=CE， ∠BAC=82°， ∠ABE=25°，求∠EDF的度数。 【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFD＝∠CEB，DF＝BE， ∴DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形 （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝82°， ∴AB＝CD＝CE，AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC＝82°，∠ABD＝∠CDB， ∴∠CED＝∠EDC＝（180°﹣∠DCE）＝49°， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴∠EBD＝∠FDB， ∴∠ABD﹣EBD＝∠CDB﹣∠FBD， ∴∠CDF＝∠ABE＝25°， ∴∠EDF＝EDC﹣∠CDF＝24°． 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可得到，，进而可得，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等得到，，然后根据等边对等角和三角形的内角和求得，然后根据平行四边形的独角相等得到 ∠EBD＝∠FDB， 再根据角的和差解答即可． 21． 近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来严重.为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度v(单位：m/s)和高度h(单位：m)近似满足公式： (不考虑风速的影响， 已知小临所住小区楼层高度规律为第 n楼高度 （1）小临家在2楼，即 n=2，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度； （2）计算当从 n楼坠落时，物品落地时的速度. 【答案】（1）解：当n=2时， （2）解： ∵g=10， n>0 【知识点】二次根式的实际应用 【解析】【分析】(1)先根据楼层数计算高度h，再代入速度公式求落地速度； (2)将高度h的表达式代入速度公式，化简得出用n表示的速度. 22．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． （1）每天可销售　 　件，每件盈利　 　元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）；​​​​​​(40-x) （2）解：根据题意，得：， 解得：，， 答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元 （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得：， 化简得， 方程无解， 故不可能做到平均每天盈利2000元 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：(1)设每件童装降价x元时，每天可销售(20+2x)件，每件盈利120-80-x=(40-x)元； 故答案为：(20+2x)；(40-x). 【分析】(1)根据降价1元多售出2件可得：降价x元多售出2x件，从而得出答案； (2)根据“总利润=单件利润×数量”列出方程，从而求出方程的解得出答案； (3)根据题意列出方程，根据方程是否有解得出答案. 23．已知：如图：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD垂直BC于D，P是AB上的一个动点，以PD，DC为边作▱PDCQ，连结AQ，设BP=t， （1）探究S▱PDCQ与S△PBD的数量关系，并说明理由。 （2）①设S▱PDCQ=S，求S关于t的关系式 ②Q在△ABC内部，当时，求t的值. 【答案】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：①如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； ②解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行四边形的面积；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）根据三线合一得到，设点P到的距离为，分别表示和，解答即可； （2）①过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用△ABD的面积求出长，即可求出，再根据解答即可； ②根据平行四边形的性质可得、，即可得到，根据求出长，即可表示长，根据列方程求出t的值解答即可． 24．如图，M是正方形ABCD的边BC上一点，连结AM，E是线段AM上一点， 的平分线交AM的延长线于点F。 （1）如图1，若E为线段AM的中点， 求AB的长。 （2）如图2，若DA=DE，求证： 【答案】（1）解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=90°， AD= AB=BC，设BM=x， 则CM =2x， AB=BC =3x，在Rt△ABM中， 点E为斜边AM的中点， 由勾股定理得： 即 解得： x= 2， ∴AB=3x=6； （2）①过点A作AH⊥AF交FD的延长线于点H，过点D作DP⊥AF于P， 如图， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDF=∠EDF， ∵DA=DE， DP⊥AF， ∴∠ADP=∠EDP， ∵∠CDF+∠EDF+∠E DP+∠ADP=90°， ∴∠EDF+∠EDP =45°， 即∠FDP =45°， ∴∠DFA=90°-45°= 45°； 理由如下： ∵AH⊥AF， ∴∠AHF=90°-∠DFA =45°=∠DFA， ∴AH = AF， ∵∠BAD=∠FAH=90°， ∴∠BAF=∠DAH， 在△ABF和△ADH中， ∴△ABF≌△ADH(SAS)， ∴BF=DH， ∵△FAH是等腰直角三角形， ∵HF =DH+DF =BF+DF， 【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】(1)由正方形的性质得∠BAD =∠ABC=90°， AD=AB=BC， 设BM =x， 则CM =2x， AB= BC=3x， 由直角三角形的性质得AM =2BE 由勾股定理得 求出x=2解答即可； (2)①过点A作AH⊥AF交FD的延长线于点H， 过点D作DP⊥AF于P， 由角平分线定义得∠CDF =∠EDF， 由等腰三角形的性质得∠ADP =∠EDP， 证出∠EDF+∠EDP =45°， 进而得出答案； ②证△ABF≌△ADH(SAS)， 得BF=DH， 由等腰直角三角形的性质得 进而得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $