专题06相交线.平行线与平移期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题06相交线.平行线与平移期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念，牢记相关性质并熟练运用。 2.能准确区分同位角、内错角、同旁内角，掌握三线八角的位置特征。 3.熟记平行线的判定与性质，明确二者的联系与区别，理清推理逻辑。 4.掌握平移的定义、平移方向与距离两大要素，理解平移前后图形的变化规律。 1.能结合图形完成角度计算，规范画出垂线、平移后的图形。 2.能灵活运用平行线的判定和性质进行几何推理，规范书写推理步骤。 3.提升几何识图、图形分析能力，学会将实际问题转化为几何问题求解。 1.夯实基础知识，规避概念混淆、找角错误、推理逻辑混乱等常见易错点。 2.熟练应对选择、填空、计算、几何证明等各类考题，提升解题速度与准确率。 3.严格遵守答题格式，保证解题步骤完整、书写规范，确保基础题不失分。 题型01.垂线的定义与画法 题型02.垂线段的性质与距离定义 题型03.对顶角的定义与性质 题型04.利用邻补角互补求角度 题型05.平面内两直线的位置关系 题型06.平行公理及推论的应用 题型07.用直尺.三角板画平行线 题型08.平行线的判定 题型09.同位角.内错角.同旁内角 题型10平行线的性质 题型11.由平行线的性质探究角的关系 题型12.由平行线性质求角的度数 题型13.平行线性质的应用 题型14.由平行线性质与判定求角度 题型15.由平行线性质与判定证明 题型16.利用平移的性质求解 题型17.利用平移的解决实际问题 题型18.平移作图 题型19.平行线与折叠问题 题型20.平行线与动点问题 知识点01:相交线：基础入门，抓牢角与垂直关系 邻补角 & 对顶角 名称 定义 核心性质 解题小贴士 邻补角 两直线相交，共一条公共边，另一边互为反向延长线 两角和为180（互补） 成对出现，既要相邻又要互补 对顶角 两直线相交，两边互为反向延长线 对顶角相等 相交必产生对顶角，相等的角未必是对顶角 知识点02:垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 它们的交点叫做垂足。 如图 1 所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O。 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角；两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直。 (2）垂线的性质 垂线性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（可与平行公理对比记忆）。 垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 （3）点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图 2：PO⊥ AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长。 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 知识点03:三线八角（截线 + 两条被截直线） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 备注：三线八角只看位置，和角度大小无关。 知识点04:平行线基础概念 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点05:平行线判定与性质（本章重中之重、考试最多） 重点区分： 判定：由角→证平行 性质：由平行→得角关系 1.平行线的判定 2.平行线的性质 知识点06.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 知识点07.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 知识点08:避坑清单：直击高频易错点（考前必看） 1.推理时混用平行线判定与性质，逻辑颠倒； 2.复杂图形中看错、找漏三线八角； 3.把 “垂线段” 直接等同于 “点到直线的距离”； 4.平移作图方向偏移、距离长度不准确； 5.几何证明跳步骤、不书写定理依据，答题不规范。 题型01.垂线的定义与画法 1．如图，、相交于点O，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 3．如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为_________． 【答案】 /25度 【分析】首先根据垂直的定义得出，结合已知比例关系求出的度数，再利用对顶角相等得出的度数，最后根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：， ， ，且， ， 直线，交于点， ， 平分， ． 4．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，且在直线上方，求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， ． 【分析】（1）根据对顶角相等可得，根据邻补角互补可得，根据角平分线的定义可得，进而求得； （2）根据垂直的定义可得，进而根据角平分线的定义可得，则，即可得证． 【详解】（1）解： ， ，， 平分， ， ， （2）证明：略． 题型02.垂线段的性质与距离定义 5．如图，在三角形中，，点在边上（不与、两点重合），连接，则，依据是______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短的知识． 【详解】解：在三角形中，， ∴是垂线段， 根据垂线段最短，则． 6．如图，已知，，则点到的距离指线段__的长度．    【答案】 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握点到直线的距离的定义是解题关键．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．直接利用点到直线的距离定义分析得出答案． 【详解】解：， 点到直线的距离是线段的长． 故答案为：． 7．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短性质是解答本题的关键． 根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处， 故选：C． 8．如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】利用等面积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：设点到的距离为， ， ， ，即点到的距离为． 9．如图，、、相交于点，平分，，． (1)线段______的长度表示点到的距离； (2)比较与的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________； (3)求的度数． 【答案】(1) (2)，是因为垂线段最短 (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点到的距离， 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短， 故答案为：，是因为垂线段最短； （3）解：，平分， ， ． 【点睛】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离． 题型03.对顶角的定义与性质 10．甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等．根据对顶角相等解答即可求解． 【详解】解：根据题意得：与是对顶角， ∴（对顶角相等）， 即这个方案的依据是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 11．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线相交于一点会产生对对顶角，先计算条直线中两两组合的数量，再乘以即可得到对顶角总对数． 【详解】解：∵两条直线相交于一点，共产生对对顶角， 条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， ∴对顶角总对数． 12．如图，直线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“对顶角相等”得到，利用求解即可． 【详解】解：直线，相交于点， ， ， ， 即， ． 13．如图，直线相交于点O，． (1)请写出图中的对顶角为______，的余角为______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对顶角与余角的定义可得答案； （2）求解，结合，结合角的和差关系进一步可得答案． 【详解】（1）解：的对顶角为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04.利用邻补角互补求角度 14．如图，直线、相交于点，，则______，______． 【答案】 【分析】根据邻补角互补求出的度数，根据对顶角相等求出的度数． 【详解】解：∵直线、相交于点，， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 15．如图，点是直线上一点，，平分，，则的度数_______． 【答案】 【分析】根据补角的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 由，根据邻补角互补可求出，根据对顶角相等求出，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ， 故选：B． 17．如图，直线与相交于点O，． (1)若，说明与的位置关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型05.平面内两直线的位置关系 18．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 19．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 20．在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】先根据垂直与平行的性质推导直线与后续直线的位置关系，总结位置关系的循环规律，再根据规律计算得到与的位置关系． 【详解】解：根据平行线和垂直的性质，推导与前若干条直线的位置关系如下： 由，，可得， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 以此类推，可知与各直线的位置关系按照“垂直，垂直，平行，平行”为一个周期循环，周期为， 从开始，直线是第条直线，计算得， 余数为，对应周期中第三个位置关系，即平行． 21．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 题型06.平行公理及推论的应用 22．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 23．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 24．如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 【答案】平行 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴，即与的位置关系是平行 25．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到平行直线，从而可以解答本题． 【详解】①，不能判定 ，故本项不符合题意； ②，，故本项符合题意； ③，，故本项符合题意； ④，，故本项符合题意； ⑤如图，过点B作， ，. 又， ， ， ， 故本项符合题意． 故选：C． 26．请你完成下列推理过程（括号内写出理由）． 如图，，． 试说明：． 解：因为， 所以________________（________）． 因为， 所以________________（________）． 所以（________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 由内错角相等、两直线平行可得，运用同旁内角互补、两直线平行可得，最后根据平行于同一条直线的两直线平行即可证明结论． 【详解】解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）． 因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（平行于同一条直线的两直线平行）． 题型07.用直尺.三角板画平行线 27．用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 28．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 29．如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的画法和网格的特点作图即可； （2）根据垂线的画法和网格的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 题型08.平行线的判定 30．如图，下列能判定的条件有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④ 【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①， ，符合题意； ②， ，不能判定，不符合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤与是同旁内角，若才能判定，而不能判定，不符合题意； 综上所述，能判定的条件有①③④． 31．下列图形中，由，不能得到的是（   ） A．② B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，逐个判断即可． 【详解】解：①根据“三线八角模型” 既不是同位角也不是内错角，得不到； ②根据“三线八角模型”，是，两条直线被所截得到的内错角，得到，得不到； ③根据“三线八角模型” 既不是同位角也不是内错角，得不到； ④根据“三线八角模型”，是，两条直线被所截得到的内错角，得到； 故符合题意的为①②③，D选项符合． 32．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A、∵，符合内错角相等，两直线平行，∴，不符合题意． B、∵，不能判定，符合题意； C、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． D、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． 33．已知，直线平行吗？为什么？ 解：∵，（    ），又（已知）， ∴（    ）， ∴（    ）． (1)把上面的空填上； (2)关于本题的解答你还有没有其他的办法，请把它写出来． 【答案】(1)对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 (2)见详解 【分析】（1）数形结合即可确定依据； （2）由同位角相等，两直线平行即可得到． 【详解】（1）解：∵，（对顶角相等）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：， 又， ， ∴． 34．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 题型09.同位角.内错角.同旁内角 35．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 【答案】同位角 【详解】解：由图可知，与是同位角． 36．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 37．如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中不正确的是（    ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形．根据对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义分别分析即可； 【详解】解：A、与是邻补角，该说法正确，故不符合题意； B、与是同位角，该说法正确，故不符合题意； C、与不是内错角，该说法不正确，故符合题意； D、与是对顶角，该说法正确，故不符合题意； 故选：C． 题型10平行线的性质 38．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，光线在空气中也平行， ， ∵， ， ． 39．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 40．如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点，，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明得，继而得到，根据平行线的判定可得答案； （2）根据角平分的定义得，根据平行线的性质及垂直的定义得，然后由可得答案． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 41．把下面的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据． 如图，，， 是的平分线．求证：． 证明：∵ 是的平分线(已知)， ∴ (角平分线的定义)， 又∵(已知)， ∴ (等量代换)， ∴ ( )， ∴( )， 又∵ (已知)， ∴ (同角的补角相等)， ∴( )． 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同位角相等，两直线平行 【分析】由角平分线的定义和可得，则，进而得到，结合已知条件可得，因此． 【详解】证明：∵ 是的平分线(已知)， ∴ (角平分线的定义)， 又∵(已知)， ∴ (等量代换)， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵ (已知)， ∴ (同角的补角相等)， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型11.由平行线的性质探究角的关系 42．如图，已知直线，则，，之间的关系是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，则，那么，再根据角度的和差计算即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 43．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：设与相交于点O，与交于点K， 因为，， 所以， 所以； (2)①360； ②．理由：过点E向右作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以， 同理可证：． 因为，，，， 所以， 所以， 所以． 【分析】（1）根据对顶角以及同位角相等证明平行即可； （2）①过点E向右作，则，再由“两直线平行，同旁内角互补”求解即可；②过点E向右作，则，主要根据“两直线平行，内错角相等”，结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）①解：过点E向右作 因为， 所以， 所以， 所以 因为 所以； ②略 题型12.由平行线性质求角的度数 45．如图，，，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 46．下面是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台保持水平平行． (1)如图1，若，，求的度数； (2)为提升作业时的结构稳定性，工人在支撑杆上选取加固点，加装支架，并将支架另一端连接至支撑杆向车身前方的延长段上，如图2，使支架与工作篮底部平行．若，，求此时的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求解； （2）过点作，根据平行线的性质求解． 【详解】（1）如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】拐点问题常用辅助线：过拐点作平行线． 47．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，，且和直角三角形相交，，． (1)在图1中，，则的度数为______； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，试说明和的数量关系； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现和又存在新的数量关系，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等求解即可； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补求解即可；　 （3）过点作，根据两直线平行内错角相等、角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图， ， 过点作， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13.平行线性质的应用 48．如图是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”抽象成的简易装置图，三条竖直的线互相平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得，， ∴ ∵ ∴． 49．如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的板面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点N作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ， ， ，， ∴， ∴，， ． 50．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型14.由平行线性质与判定求角度 51．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是_________． 【答案】 【分析】过点作，由题意可得，，先求出，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点作， 由题意可得，， ， ， ， ， ， ． 52．如图，直线，将一块含角的直角三角板（，）按照如图方式放置，顶点A、B分别落在，上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作，则，再利用平行线的性质结合已知条件，根据代入对应角度即可求解． 【详解】解：如图，过点C作， ， ，， ， ． 53．如图，已知．求证：． (1)请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． (2)若平分于点C，，求的度数 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质以及补角定理进行证明； （2）根据垂直得出直角，利用角平分线得出，根据平行线的性质得出内错角相等，然后根据角的和差求解． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） （2）解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 题型15.由平行线性质与判定证明 54．如图，点，分别在的边，上，点在内，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到，等量代换得到，再根据同位角相等，两直线平行得到． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 55．如图，这是某学校操场旁的一太阳能智能路灯的侧面示意图，是太阳能电池板，，为支架，为固定支撑杆，灯体是，其中，平行于水平地面． (1)在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角共有________个． (2)若，，．求证：． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）根据同旁内角的含义求解即可； （2）过点C作，可知，根据平行线的性质得到，进而求出，证明，可知． 【详解】（1）解：在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角有，，； ∴共有个； （2）证明：如图，过点C作． ， ． ， ． ， ∴， ． ， ， ． 56．综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【答案】(1) (2)①②见解析 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质及判定论证即可； （2）①过点作，利用平行线的性质及判定论证即可；②利用，可得，再结合平行线的性质及等量代换得到，即可得出结论. 【详解】（1）答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 题型16.利用平移的性质求解 57．如图，在中，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为_______． 【答案】 【分析】由平移性质得，，，则有，从而求出阴影部分的周长． 【详解】解：由平移性质得，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为． 58．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质，可得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 59．如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到，与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由如下见解析 【分析】利用平移的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质证明． 【详解】解：，理由如下： 由平移变换的性质可知，， ， 平分， ， ． 题型17.利用平移的解决实际问题 60．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为________． 【答案】 82 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）． 61．如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 62．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)这个道路宽设计不达到要求 【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依照例题画出图形即可； （3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图： ； （3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米， 故答案为：； （4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． ， ∴这个道路宽设计不达到要求． 题型18.平移作图 63．如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵，向右平移距离为，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键． 64．如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 65．如图所示的四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】A、能通过其中一个正六边形平移得到，故此选项错误；  B、不能通过其中一个长方形平移得到，故此选项符合题意； C、能通过其中一个平行四边形平移得到，故此选项错误； D、能通过其中一个正方形平移得到，故此选项错误． 故选B． 66．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)相等； 两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平移变换，平行线的性质等知识点，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平行线的性质得出与的大小关系； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴与的大小关系是相等，依据是两直线平行，内错角相等． 题型19.平行线与折叠问题 67．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点分别落在点和点的位置上，与的交点为，若，则为 ______ 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可得，所以，又，所以，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为， 故答案为：． 68．已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． . 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 69．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，，，设，根据平行线的性质推出，则，根据，可得，通过列方程求出的值即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 70．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，， 由平行线的性质可得， （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，，进而由求解， （3）过点作，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：①由折叠可得：，， ∵， ∴， ②∵， ∴，由折叠可知：， ∴ ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：， ， 由（1）得， ∴， （3）过点作， ∴，， ∴． 题型20.平行线与动点问题 71．已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B沿向下折叠至点N，M处，将点C，D沿折叠至点P，K处，若，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 72．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 73．如图，，平分，是射线上一定点，是射线上的动点，交于点．，．在点的运动过程中，当时，______度．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，分两种情况，即点在上方和点在下方两种，熟练掌握以上内容并进行推理是解题关键． 【详解】解：当点在上方时，设交于点， ，，平分， ，． ， ． ， ， ， ， ． 当点在下方时，如图所示， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 74．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点P在之间时，当点P在的下方时，当点P在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点P在之间时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A选项不符合题意； 当点P在的下方时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故B选项不符合题意； 当点P在的上方时，如图，过点P作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意； 75．已知直线，一副直角三角尺中的等腰直角三角尺（，）边在直线上，点在直线下方；这幅三角尺中另一块为含有角的直角三角尺（，）的一边在直线上，点在直线的右侧． (1)如图1，当的顶点与点重合时，点恰好落在直线上，求的度数． (2)设直线与直线相交于点； ①如图2，将沿直线平移，当点与点重合时，求的度数． ②将沿直线平移，点是直线上的动点、且时，请直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)①的度数；②的度数为或或 【分析】（1）根据平行线的性质及平角的定义即可求得的度数． （2）①根据平行线的性质及平角的定义即可求得的度数．②分成点在和之间；点在下方；点在上方三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵，，，， ∴， 由题意得， ∴． ②当点在和之间时，过点作，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在下方时，如图所示： 同理，得， ∴， 当点在上方时，如图所示： 同理，得， ∴， 综上可得，的度数为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相交线.平行线与平移期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念，牢记相关性质并熟练运用。 2.能准确区分同位角、内错角、同旁内角，掌握三线八角的位置特征。 3.熟记平行线的判定与性质，明确二者的联系与区别，理清推理逻辑。 4.掌握平移的定义、平移方向与距离两大要素，理解平移前后图形的变化规律。 1.能结合图形完成角度计算，规范画出垂线、平移后的图形。 2.能灵活运用平行线的判定和性质进行几何推理，规范书写推理步骤。 3.提升几何识图、图形分析能力，学会将实际问题转化为几何问题求解。 1.夯实基础知识，规避概念混淆、找角错误、推理逻辑混乱等常见易错点。 2.熟练应对选择、填空、计算、几何证明等各类考题，提升解题速度与准确率。 3.严格遵守答题格式，保证解题步骤完整、书写规范，确保基础题不失分。 题型01.垂线的定义与画法 题型02.垂线段的性质与距离定义 题型03.对顶角的定义与性质 题型04.利用邻补角互补求角度 题型05.平面内两直线的位置关系 题型06.平行公理及推论的应用 题型07.用直尺.三角板画平行线 题型08.平行线的判定 题型09.同位角.内错角.同旁内角 题型10平行线的性质 题型11.由平行线的性质探究角的关系 题型12.由平行线性质求角的度数 题型13.平行线性质的应用 题型14.由平行线性质与判定求角度 题型15.由平行线性质与判定证明 题型16.利用平移的性质求解 题型17.利用平移的解决实际问题 题型18.平移作图 题型19.平行线与折叠问题 题型20.平行线与动点问题 知识点01:相交线：基础入门，抓牢角与垂直关系 邻补角 & 对顶角 名称 定义 核心性质 解题小贴士 邻补角 两直线相交，共一条公共边，另一边互为反向延长线 两角和为180（互补） 成对出现，既要相邻又要互补 对顶角 两直线相交，两边互为反向延长线 对顶角相等 相交必产生对顶角，相等的角未必是对顶角 知识点02:垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 它们的交点叫做垂足。 如图 1 所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O。 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角；两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直。 (2）垂线的性质 垂线性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（可与平行公理对比记忆）。 垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 （3）点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图 2：PO⊥ AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长。 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 知识点03:三线八角（截线 + 两条被截直线） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 备注：三线八角只看位置，和角度大小无关。 知识点04:平行线基础概念 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点05:平行线判定与性质（本章重中之重、考试最多） 重点区分： 判定：由角→证平行 性质：由平行→得角关系 1.平行线的判定 2.平行线的性质 知识点06.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 知识点07.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 知识点08:避坑清单：直击高频易错点（考前必看） 1.推理时混用平行线判定与性质，逻辑颠倒； 2.复杂图形中看错、找漏三线八角； 3.把 “垂线段” 直接等同于 “点到直线的距离”； 4.平移作图方向偏移、距离长度不准确； 5.几何证明跳步骤、不书写定理依据，答题不规范。 题型01.垂线的定义与画法 1．如图，、相交于点O，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为_________． 4．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，且在直线上方，求证：． 题型02.垂线段的性质与距离定义 5．如图，在三角形中，，点在边上（不与、两点重合），连接，则，依据是______． 6．如图，已知，，则点到的距离指线段__的长度．    7．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 8．如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 9．如图，、、相交于点，平分，，． (1)线段______的长度表示点到的距离； (2)比较与的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________； (3)求的度数． 题型03.对顶角的定义与性质 10．甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 11．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13．如图，直线相交于点O，． (1)请写出图中的对顶角为______，的余角为______； (2)若，求的度数． 题型04.利用邻补角互补求角度 14．如图，直线、相交于点，，则______，______． 15．如图，点是直线上一点，，平分，，则的度数_______． 16．如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，直线与相交于点O，． (1)若，说明与的位置关系； (2)若，求的度数． 题型05.平面内两直线的位置关系 18．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________． 19．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 20．在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 21．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 题型06.平行公理及推论的应用 22．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 23．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 24．如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 25．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 26．请你完成下列推理过程（括号内写出理由）． 如图，，． 试说明：． 解：因为， 所以________________（________）． 因为， 所以________________（________）． 所以（________）． 题型07.用直尺.三角板画平行线 27．用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 28．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 29．如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 题型08.平行线的判定 30．如图，下列能判定的条件有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 31．下列图形中，由，不能得到的是（   ） A．② B．①② C．②③ D．①②③ 32．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 33．已知，直线平行吗？为什么？ 解：∵，（    ），又（已知）， ∴（    ）， ∴（    ）． (1)把上面的空填上； (2)关于本题的解答你还有没有其他的办法，请把它写出来． 34．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 题型09.同位角.内错角.同旁内角 35．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 36．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 37．如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中不正确的是（    ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是对顶角 题型10平行线的性质 38．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为______． 39．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 40．如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点，，试求的度数． 41．把下面的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据． 如图，，， 是的平分线．求证：． 证明：∵ 是的平分线(已知)， ∴ (角平分线的定义)， 又∵(已知)， ∴ (等量代换)， ∴ ( )， ∴( )， 又∵ (已知)， ∴ (同角的补角相等)， ∴( )． 题型11.由平行线的性质探究角的关系 42．如图，已知直线，则，，之间的关系是_____． 43．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 44．已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 题型12.由平行线性质求角的度数 45．如图，，，若，求的度数． 46．下面是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台保持水平平行． (1)如图1，若，，求的度数； (2)为提升作业时的结构稳定性，工人在支撑杆上选取加固点，加装支架，并将支架另一端连接至支撑杆向车身前方的延长段上，如图2，使支架与工作篮底部平行．若，，求此时的度数． 47．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，，且和直角三角形相交，，． (1)在图1中，，则的度数为______； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，试说明和的数量关系； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现和又存在新的数量关系，请直接写出和的数量关系． 题型13.平行线性质的应用 48．如图是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”抽象成的简易装置图，三条竖直的线互相平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 49．如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的板面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在上．若，则（   ） A． B． C． D． 50．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    题型14.由平行线性质与判定求角度 51．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是_________． 52．如图，直线，将一块含角的直角三角板（，）按照如图方式放置，顶点A、B分别落在，上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 53．如图，已知．求证：． (1)请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． (2)若平分于点C，，求的度数 题型15.由平行线性质与判定证明 54．如图，点，分别在的边，上，点在内，已知，．求证：． 55．如图，这是某学校操场旁的一太阳能智能路灯的侧面示意图，是太阳能电池板，，为支架，为固定支撑杆，灯体是，其中，平行于水平地面． (1)在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角共有________个． (2)若，，．求证：． 56．综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 题型16.利用平移的性质求解 57．如图，在中，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为_______． 58．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 59．如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到，与相等吗？请说明理由． 题型17.利用平移的解决实际问题 60．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为________． 61．如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 62．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 题型18.平移作图 63．如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 64．如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 65．如图所示的四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　） A．B．C． D． 66．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 题型19.平行线与折叠问题 67．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点分别落在点和点的位置上，与的交点为，若，则为 ______ 度． 68．已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． . 69．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 70．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 题型20.平行线与动点问题 71．已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B沿向下折叠至点N，M处，将点C，D沿折叠至点P，K处，若，则的度数为_______． 72．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 73．如图，，平分，是射线上一定点，是射线上的动点，交于点．，．在点的运动过程中，当时，______度．（用含的代数式表示） 74．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 75．已知直线，一副直角三角尺中的等腰直角三角尺（，）边在直线上，点在直线下方；这幅三角尺中另一块为含有角的直角三角尺（，）的一边在直线上，点在直线的右侧． (1)如图1，当的顶点与点重合时，点恰好落在直线上，求的度数． (2)设直线与直线相交于点； ①如图2，将沿直线平移，当点与点重合时，求的度数． ②将沿直线平移，点是直线上的动点、且时，请直接写出此时的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $