专题05分式期末复习讲义(26大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题05分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式的定义，区分分式与整式；掌握分式有意义、无意义、值为 0 的条件。 2.熟记分式的基本性质，能熟练进行分式的约分、通分。 3.掌握分式乘除、加减、乘方运算法则，理清运算顺序。 4.了解整数指数幂在分式中的应用，能进行简单混合运算。 5.掌握分式方程的定义、解法，理解增根的概念与产生原因。 1.能准确判断分式中字母的取值范围，规范求解分式值为 0 类问题。 2.灵活运用分式基本性质，正确完成约分、通分，将分式化为最简形式。 3.熟练进行分式四则运算、化简，具备式子变形、整体代换的能力。 4.掌握分式方程完整解题步骤，会检验根、判断增根。 5.能根据实际问题列分式方程，解决简单应用题。 1.基础题不失分，稳拿分式概念、取值范围、简单约分通分题型分数。 2.规范完成分式化简、四则混合运算，规避符号、运算顺序、约分不彻底等易错点。 3.熟练解分式方程，牢记必须验根，会处理含增根的题型。 4.能应对分式化简求值、分式方程应用题两大高频大题。 5.突破含参数分式、分式变形求值等中档题型，提升综合解题能力。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减乘除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.解分式方程 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 知识点01:分式相关概念 1. 分式定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 A叫做分子，B叫做分母； 2. 分式与整式区别 整式：分母不含字母 分式：分母必须含字母 3. 分式三种取值情况（必考表格） 情况 条件 考点说明 分式有意义 B 0 分母不为 0 分式无意义 B = 0 分母等于 0 分式值为 0 A=0 且 B 分子为 0，分母不能为 0（最容易扣分） 重点强调：值为 0 题型必须两步判断，只写分子为 0 直接扣分。 4. 分式符号法则 口诀：负号挪前，一个负号分式为负，两个负号分式为正 知识点02:分式的基本性质（整章核心） 1. 基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2.两大应用：约分、通分 项目 定义 解题步骤 核心依据 约分 把分子分母的公因式约去，化为最简分式 1.分子、分母因式分解2.找出公因式3.约去公因式 分式基本性质 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母2.分子分母同乘对应整式 分式基本性质 3.最简公分母找法（必考） (1)系数：取各分母系数最小公倍数 (2)字母：取所有出现字母 (3)指数：取字母最高次幂 (4)分母是多项式：先因式分解，再找公分母 知识点03:分式的四则运算与乘方 1. 运算法则 运算类型 运算法则 公式表示 乘法 分子乘分子，分母乘分母 （b0,d0） 除法 除以一个分式，等于乘它的倒数 ==(b.c d0) 乘方 分子、分母分别乘方 ()n=（b0，n为正整数） 同分母加减 分母不变，分子相加减 ±（c0） 异分母加减 先通分，再按同分母分式计算 ±=（b0,d0） 2. 混合运算顺序 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减； (2)有括号先算括号内； (3)全程优先因式分解，能约分先约分，简化计算； (4)最终结果必须化为最简分式或整式。 3. 运算硬性扣分点（老师重点抓） (1)不先因式分解直接硬算 (2)不约分、最后不化简 (3)分子加减不加括号、符号错乱 (4)通分错误、公分母找错 知识点04:分式方程 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 2. 解分式方程标准步骤 3. 增根核心知识点（难点） (1)增根产生原因：去分母时乘了含未知数的式子，扩大取值范围 (2)增根特点：是整式方程的根，但不是分式方程的根 (3)题型：已知有增根、无解、求参数的值 4. 分式方程无解两种情况 整式方程有解，但解是增根 整式方程本身无解 知识点05:分式化简求值（期末高频大题） 考试固定题型 先化简分式（混合运算），再代入数值求值 解题规范 1.先彻底化简，不先代入 2.代入数值必须保证：使原式所有分母≠0 3.严禁代入让分式无意义的值 知识点06:分式方程解应用题 1.解题步骤 审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 双重检验（检验方程 + 检验实际意义）→ 作答。 2.常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 知识点07:本章最全易错点汇总 易错点 错误做法 正确规则 分式值为 0 只令分子 = 0 分子 = 0 且 分母≠0 分式有意义 令分子≠0 只需分母≠0 通分约分 不因式分解直接算 先因式分解，再通分约分 分式加减 分母直接相加减 分母不变，只加减分子 解分式方程 忘记验根 分式方程必须验根 混淆增根 增根不是方程的解 增根是整式方程解，不是分式解 负指数幂 当成负数 负指数是倒数，数值为正 题型01.分式的判断 1．如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张正方形卡片，则卡片上的式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．在、、、、、中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型02.分式规律探究 4．观察给定的分式； ， ， ， ，，猜想并探索规律，第10个分式是_____． 5．已知，则的值________； 6．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 题型03.按要求构造分式 7．（1）n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量可用式子表示成________吨． （2）轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/时，轮船在逆流中航行s千米所需要的时间可用式子表示成________小时． 8．今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时段天内共接待游客万人次，第二时段天内共接待游客万人次，则这两个时段内平均每天接待游客________万人次． 9．《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 题型04.分式的求值 10．已知，则________． 11．若，则的值为_____． 12．已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 13．如果和是互不相同的非零数，满足，那么的值是多少？（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 E．2024 题型05.分式有无意义与值为零综合 14．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 15．若分式的值为零，则x的值为（     ） A．或 B． C． D． 16．若代数式的值为，则实数的值是______． 17．已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 18．若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 19．若整数m使为正整数，则m的值为____________． 20．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 21．使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 题型07.分式变形的判断与条件 22．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 23．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 24．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 25．若，则的值为__________． 26．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08.分式值变化判断 27．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 28．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 29．已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 题型09.约分与最简分式 30．化简：_____． 31．化简分式：________． 32．在分式，，，，中，最简分式有__个． 33．约分：________． 34．已知：，求代数式的值． 题型10.分式乘除运算 35．计算： (1)； (2)． 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．计算： (1)； (2)． 题型11.分式乘方及混合运算 38．计算： (1)； (2)． 39．计算：． 40．计算： (1)； (2)． 41．计算：． 题型12.分式加减 42．计算： 43．化简：． 44．设为正整数，化简． 45．分式计算 (1) (2) (3) (4) 46．阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题． 计算： 原式…（第一步） …（第二步） …（第三步） (1)上述计算过程是从第______步开始出现错误； (2)请写出此题正确的计算过程． 47．分式计算： (1) (2) (3) (4)． 题型13.通分与最简公分母 48．分式与的最简公分母是______． 49．分式、的最简公分母是______，通分为______． 50．化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 51．的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 52．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型14.分式加减混合运算 53．计算： (1)； (2)． 54．计算：． 55．观察下列各式： …… (1)请直接写出第4个等式：_______ (2)请直接写出第个等式，并证明其正确性． 题型15.分式加减的实际应用 56．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 57．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 58．受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． (1)分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． (2)若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 题型16.分式加减乘除混合运算 59．化简：． 60．化简：． 61．计算和化简： (1)； (2)． 题型17.分式化简求值 62．先化简，再求值：，其中 63．先化简，再求值： ，其中． 64．化简求值：，其中，是不等式组的正整数解． 题型18.解分式方程 65．解方程： 66．解方程：． 67．解方程： (1)； (2)． 题型19.由分式方程解的情况求值 68．若关于x的方程有增根，则m的值为______． 69．若关于的分式方程无解，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 70．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“和谐方程”，则________，________．（） (2)若，是“和谐方程”的两个解，求的值． 题型20.分式方程无解问题 71．若分式方程无解，则m的值是______． 72．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 73．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 题型21.列分式方程 74．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 75．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 76．新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 题型22.分式方程行程问题 77．正在建设的京沪高铁二线经过我市，预计2028年6月贯通运营，将为我们的出行带来便捷．已知我市到南京的路程约为，高铁贯通后一列动车组列车的平均速度是普快列车的2倍，运行时间比普快列车少，求该列动车组列车的平均速度． 78．司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 79．列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 题型23.分式方程工程问题 80．2025年为迎接高铁开通，抚顺全面推进城市更新，进行道路工程大规模改造，某参建单位进行路面施工工作，路面全长为3000米，更改施工方式后工作效率为原来的1.25倍，预计会提前15 天完成，则原计划每天施工多少米？ 81．近年来，我国航天科技飞速发展，某航天零件加工厂为提高生产效率，引进了新的加工设备，已知使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，且新设备每小时比旧设备多加工个零件． (1)求旧设备每小时加工多少个零件？ (2)若该厂计划加工一批零件，要求使用新设备加工的时间不超过小时，求该厂最多需要给新设备分配多少个零件的加工任务？ 82．列方程解决下列问题： 某工厂生产端午伴手礼圆形礼盒 (1)已知一个礼盒由个盒身和个盒底组成，用张硬纸板可制作个盒身或个盒底．现有张硬纸板，应用多少张硬纸板制作盒身，多少张硬纸板制作盒底，才能使盒身与盒底刚好配套？ (2)甲、乙两个车间接到任务制作一批礼盒，若甲车间单独完成，所需时间比规定工期多天；若乙车间单独完成，所需用时比规定工期少天；若两车间先合作天，剩下部分由甲车间单独制作，最终比规定工期提前天完成．求甲车间单独完成这批礼盒需要的时间． 题型24.分式方程经济问题 83．为推进乡村振兴，建设美丽乡村，某乡村计划安装路灯．已知每盏太阳能路灯的价格比普通路灯贵200元；用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同．求每盏太阳能路灯的价格． 84．某书店计划购进甲、乙两种书签，已知甲种书签的单价比乙种贵元，用元购进甲种书签的数量与用元购进乙种书签的数量相同． (1)求甲、乙两种书签的单价； (2)该书店一次性购进甲、乙两种书签共个，总费用不超过元，求最多可购进甲种书签多少个？ 85．开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 题型25.分式方程和差倍分问题 86．某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 87．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 88．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 题型26.其他实际问题 89．某文具店在售的两种魔方，三阶和四阶魔方的成本分别为元和元，已知三阶魔方每个的售价是四阶魔方每个售价的，已知用元购买三阶魔方的个数比用元购买四阶魔方的个数少个． (1)求三阶和四阶魔方每个的售价分别为多少元？ (2)随着开学季魔方热潮来袭，该文具店在月份对三阶和四阶魔方的售价进行了调整，每个三阶魔方的售价上调了，每个四阶魔方的售价上调了，月底经统计月三阶魔方的销售量为个，四阶魔方的销售量为个，若要保证月的总利润为元，求的值． 90．新春佳节，大红灯笼高高挂．某超市购进甲、乙两种畅销的灯笼，已知购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼少50个，甲种灯笼的单价是乙种灯笼的2倍． (1)甲、乙两种灯笼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在甲、乙两种灯笼单价不变的条件下，该超市准备再次购进甲、乙两种灯笼共100个，且总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种灯笼？ 91．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式的定义，区分分式与整式；掌握分式有意义、无意义、值为 0 的条件。 2.熟记分式的基本性质，能熟练进行分式的约分、通分。 3.掌握分式乘除、加减、乘方运算法则，理清运算顺序。 4.了解整数指数幂在分式中的应用，能进行简单混合运算。 5.掌握分式方程的定义、解法，理解增根的概念与产生原因。 1.能准确判断分式中字母的取值范围，规范求解分式值为 0 类问题。 2.灵活运用分式基本性质，正确完成约分、通分，将分式化为最简形式。 3.熟练进行分式四则运算、化简，具备式子变形、整体代换的能力。 4.掌握分式方程完整解题步骤，会检验根、判断增根。 5.能根据实际问题列分式方程，解决简单应用题。 1.基础题不失分，稳拿分式概念、取值范围、简单约分通分题型分数。 2.规范完成分式化简、四则混合运算，规避符号、运算顺序、约分不彻底等易错点。 3.熟练解分式方程，牢记必须验根，会处理含增根的题型。 4.能应对分式化简求值、分式方程应用题两大高频大题。 5.突破含参数分式、分式变形求值等中档题型，提升综合解题能力。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减乘除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.解分式方程 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 知识点01:分式相关概念 1. 分式定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 A叫做分子，B叫做分母； 2. 分式与整式区别 整式：分母不含字母 分式：分母必须含字母 3. 分式三种取值情况（必考表格） 情况 条件 考点说明 分式有意义 B 0 分母不为 0 分式无意义 B = 0 分母等于 0 分式值为 0 A=0 且 B 分子为 0，分母不能为 0（最容易扣分） 重点强调：值为 0 题型必须两步判断，只写分子为 0 直接扣分。 4. 分式符号法则 口诀：负号挪前，一个负号分式为负，两个负号分式为正 知识点02:分式的基本性质（整章核心） 1. 基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2.两大应用：约分、通分 项目 定义 解题步骤 核心依据 约分 把分子分母的公因式约去，化为最简分式 1.分子、分母因式分解2.找出公因式3.约去公因式 分式基本性质 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母2.分子分母同乘对应整式 分式基本性质 3.最简公分母找法（必考） (1)系数：取各分母系数最小公倍数 (2)字母：取所有出现字母 (3)指数：取字母最高次幂 (4)分母是多项式：先因式分解，再找公分母 知识点03:分式的四则运算与乘方 1. 运算法则 运算类型 运算法则 公式表示 乘法 分子乘分子，分母乘分母 （b0,d0） 除法 除以一个分式，等于乘它的倒数 ==(b.c d0) 乘方 分子、分母分别乘方 ()n=（b0，n为正整数） 同分母加减 分母不变，分子相加减 ±（c0） 异分母加减 先通分，再按同分母分式计算 ±=（b0,d0） 2. 混合运算顺序 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减； (2)有括号先算括号内； (3)全程优先因式分解，能约分先约分，简化计算； (4)最终结果必须化为最简分式或整式。 3. 运算硬性扣分点（老师重点抓） (1)不先因式分解直接硬算 (2)不约分、最后不化简 (3)分子加减不加括号、符号错乱 (4)通分错误、公分母找错 知识点04:分式方程 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 2. 解分式方程标准步骤 3. 增根核心知识点（难点） (1)增根产生原因：去分母时乘了含未知数的式子，扩大取值范围 (2)增根特点：是整式方程的根，但不是分式方程的根 (3)题型：已知有增根、无解、求参数的值 4. 分式方程无解两种情况 整式方程有解，但解是增根 整式方程本身无解 知识点05:分式化简求值（期末高频大题） 考试固定题型 先化简分式（混合运算），再代入数值求值 解题规范 1.先彻底化简，不先代入 2.代入数值必须保证：使原式所有分母≠0 3.严禁代入让分式无意义的值 知识点06:分式方程解应用题 1.解题步骤 审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 双重检验（检验方程 + 检验实际意义）→ 作答。 2.常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 知识点07:本章最全易错点汇总 易错点 错误做法 正确规则 分式值为 0 只令分子 = 0 分子 = 0 且 分母≠0 分式有意义 令分子≠0 只需分母≠0 通分约分 不因式分解直接算 先因式分解，再通分约分 分式加减 分母直接相加减 分母不变，只加减分子 解分式方程 忘记验根 分式方程必须验根 混淆增根 增根不是方程的解 增根是整式方程解，不是分式解 负指数幂 当成负数 负指数是倒数，数值为正 题型01.分式的判断 1．如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张正方形卡片，则卡片上的式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义“形如，A、B都是整式且中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A：，分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 选项B：，分母为，是常数，故分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 选项C：，分母中含有未知数，故是分式，符合题意； 选项D：，分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 故选C． 2．在、、、、、中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断每个表达式是否为分式． 【详解】的分母为，含有字母，是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，含有字母，是分式． 的分母为，含有字母，是分式． 分式有 3 个．故选B． 3．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴ 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； 对于，是多项式，分母无字母，不是分式； 对于，可化为，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； ∴分式有个， 故选：． 题型02.分式规律探究 4．观察给定的分式； ， ， ， ，，猜想并探索规律，第10个分式是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式相关的规律探索，观察所给式子可得规律第n个分式为，据此可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 以此类推可知，第n个分式为， ∴第10个分式为， 故答案为：． 5．已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 6．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察数列分子、分母和对应序号的关系，总结出第n个数的规律，代入计算即可得到结果. 【详解】解：序号为1时，分子，分母； 序号为2时，分子，分母； 序号为3时，分子，分母； 序号为4时，分子，分母； ∴ 可得规律：第个数为， 将代入公式，得， 因此第8个数为. 题型03.按要求构造分式 7．（1）n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量可用式子表示成________吨． （2）轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/时，轮船在逆流中航行s千米所需要的时间可用式子表示成________小时． 【答案】 【分析】（1）利用n公顷麦田小麦总产量m吨除以n公顷即可； （2）先设出所用时间，利用逆水速度×时间=路程即可求解． 【详解】解：（1）∵n公顷麦田共收小麦m吨， ∴平均每公顷的产量为吨， 故答案为； （2）设轮船在逆流中航行s千米需要t小时， ∵静水中速度为每小时走a千米，水流速度是b千米/时， ∴逆水速度为（a-b）千米/时 ∴， ∴小时， 故答案为． 【点睛】本题考查构造分式，平均每公顷的产量，和行程问题中的逆水时间，掌握平均每公顷的产量公式为总产量÷公顷数，行程问题中的逆水时间=逆水路程÷逆水速度是解题关键． 8．今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时段天内共接待游客万人次，第二时段天内共接待游客万人次，则这两个时段内平均每天接待游客________万人次． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，列出分式，即可． 【详解】解：由题意得：（m+3m）÷（a+b）=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查根据题意列分式，掌握平均数的定义和分式的概念，是解题的关键． 9．《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 题型04.分式的求值 10．已知，则________． 【答案】 【分析】根据已知条件得到的值，再利用整体代入法将已知代数式的值代入所求式子计算，即可得到结果. 【详解】解：， ， 将，代入得： . 11．若，则的值为_____． 【答案】/0.2 【详解】解：设，则，其中，代入，得 12．已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题采用设参数法，将a，b，c用含同一参数的代数式表示，即设，将，，代入所求分式约分后即可得到结果． 【详解】解：设，根据等式的基本性质，可得，，， 将，，代入分式得． 13．如果和是互不相同的非零数，满足，那么的值是多少？（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 E．2024 【答案】E 【分析】先对已知条件进行化简变形，再将所求式子展开并利用已知条件进行代换求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 题型05.分式有无意义与值为零综合 14．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 15．若分式的值为零，则x的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式的值为零的条件，结合分式有意义的条件，即可得的值． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， ∴． 16．若代数式的值为，则实数的值是______． 【答案】 【分析】根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：∵代数式的值为 ∴且， 解得． 17．已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 18．若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为负数的条件，结合分子为正数，得到分母小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得． 19．若整数m使为正整数，则m的值为____________． 【答案】0，1，2，5 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，要使为正整数，则应是6的正因数，得到，2，3，6，从而解得m的值，熟练掌握分式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵为正整数， ∴是6的正因数， 即，2，3，6． 解得，1，2，5， 故答案为：0，1，2，5． 20．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 21．使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式值的正负性问题，解题的关键是掌握：若对于分式时，说明分子分母同号；分式时，分子分母异号． 根据分式的值为负，得到，解不等式即可． 【详解】解：∵使分式的值为负数，， ∴， 解得：， 故选：A． 题型07.分式变形的判断与条件 22．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A选项，根据积的乘方运算法则，可得，变形正确，符合题意； B选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； C选项，，原变形遗漏了项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； D选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意． 23．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 24．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 25．若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 26．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，对已知分子或分母因式分解，对比变形前后的变化，即可计算得到未知项． 【详解】（1）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都除以可得右边的分式， ∴； （2）解：∵ ， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （3）解：∵， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （4）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都乘以可得右边的分式， ∴． 题型08.分式值变化判断 27．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得， 与原分式相比，扩大倍． 28．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可． 【详解】解：和都扩大为原来的倍， 分母变为，即分母扩大为原来的倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来的倍， A、若，新分子为，符合要求； B、若，新分子为，不符合要求； C、若，新分子为，不符合要求； D、若，新分子为，不符合要求． 29．已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先利用已知条件对所求式子变形，再结合完全平方的非负性推导得到的取值范围，进而求出所求式子的最小值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵对任意实数，，都有 展开得 把，代入得 ，即 ∵，不等式两边同乘得，即 ∴ ∴，即的最小值为． 题型09.约分与最简分式 30．化简：_____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：． 31．化简分式：________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练应用分式的基本性质是解答此题的关键． 按照分式的基本性质对分式进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 32．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 33．约分：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键．先分解因式，再进行约分即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 34．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简和整体代入求值．将分式的分子、分母因式分解后约分，完成化简，由得，整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 题型10.分式乘除运算 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可． （1）约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的乘法运算求解即可； （2）根据分式的除法运算求解即可； （3）先因式分解再约分，再利用分式的乘除法运算求解即可； （4）分子分母分别进行乘方运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用分式的性质，分式的乘除法则计算即可； （2）运用分式的性质，分式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11.分式乘方及混合运算 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先计算乘方，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式. 39．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 41．计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 题型12.分式加减 42．计算： 【答案】 【分析】先运算括号内的分式减法，化简后，再运算乘法，即可作答． 【详解】解： ． 43．化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内分式的减法，再计算乘法． 【详解】解：原式     ． 44．设为正整数，化简． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，根据原式=，裂项相减即可求解． 【详解】解：原式= ． 45．分式计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 46．阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题． 计算： 原式…（第一步） …（第二步） …（第三步） (1)上述计算过程是从第______步开始出现错误； (2)请写出此题正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）第二步计算同分母分式加减时，错误去掉了公分母； （2）按照正确的分式加减计算方法计算即可． 【详解】（1）解：第一步对分母因式分解后通分，符合分式运算法则， 第二步计算同分母分式加减时，错误去掉了公分母， 因此计算过程从第二步开始出现错误； （2）解： 47．分式计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据同分母的分式的加减法进行计算即可求解； （2）根据异分母的分式的加法进行计算即可求解； （3）根据分式与整式的运算进行计算即可求解； （4）先计算括号的分式的减法，再将除法转化为乘法进行计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 题型13.通分与最简公分母 48．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可知分式与的最简公分母为． 【详解】解：， 分式与的最简公分母是． 49．分式、的最简公分母是______，通分为______． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 50．化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简，先统一分母，再合并分子化简后约分即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ 原式． 故选：． 51．的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 52．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵两个分式的分母分别为，，即各分母系数的最小公倍数为，各字母最高次数均为， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ； （2）解：第二个分母因式分解， 两个分母分别为， ， ∴最简公分母为 ． 根据分式的基本性质变形得： ， ． （3）解：∵两个分式的分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． （4）解：第二个分母因式分解得，两个分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． 题型14.分式加减混合运算 53．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 54．计算：． 【答案】 【分析】分子、分母分别因式分解；然后约去；再通分合并分式，化简即可解答． 【详解】解：原式 ． 55．观察下列各式： …… (1)请直接写出第4个等式：_______ (2)请直接写出第个等式，并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索问题、分式的应用，理解题意找到变化的规律是解题的关键． （1）通过观察规律即可得出结论； （2）通过观察规律得出第个等式，再利用算术平方根和分式的运算法则化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：第个等式为，证明如下： ． 题型15.分式加减的实际应用 56．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 通过作差法比较P和Q的大小，计算并化简，结合条件判断计算结果的符号，即可解答． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 57．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【答案】D 【分析】本题考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系，列代数式；用到的知识点为：纯墨水的体积总体积相应的浓度．算出第一次倒出溶液后乙瓶中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的体积，比较即可． 【详解】解： 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（）， 此时乙瓶中红墨水所占体积的比例为，乙瓶中蓝墨水所占体积的比例为，故A正确； 又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 此时甲瓶中蓝墨水的总量是毫升，乙瓶中红墨水有：毫升， 故B正确，D不正确； 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同，故C正确； 故选：D． 58．受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． (1)分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． (2)若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 【答案】(1)调价前行驶路程为千米，调价后行驶路程为千米 (2)调价后每月所需总费用更高，嘉嘉爸爸的观点不正确 【分析】（1）先根据“加油量总价单价”求出加油量，再乘以每升汽油行驶路程得到总路程； （2）先根据总路程求出所需汽油总量，再乘以单价得到每月总花费，通过比较大小判断观点是否正确，用到不等式的基本性质比较大小． 【详解】（1）解：已知汽油原价为元/升，总花费200元，可得调价前加油量为升， 已知每升汽油行驶千米， 因此总行驶路程为千米； 上调后价格为元/升，总花费200元，可得调价后加油量为升， 因此总行驶路程为千米； （2）解：已知每月总路程为千米，可得每月需要汽油升， 调价前每月总费用为：元， 调价后每月总费用为：元， 已知，，， 因此， 可得， 即调价后每月花费更高， 因此嘉嘉的爸爸的观点不正确． 题型16.分式加减乘除混合运算 59．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 60．化简：． 【答案】 【分析】先把括号里面的通分相加，然后再根据分式的除法法则进行计算． 【详解】解： ． ． 61．计算和化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型17.分式化简求值 62．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【详解】解：原式 ∴原式． 63．先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，分式有意义时，符合条件， 将代入得：原式． 64．化简求值：，其中，是不等式组的正整数解． 【答案】化简结果，求值结果 【分析】先利用分式的混合运算法则化简分式，然后解不等式组并确定合适的a的值，代入求值即可． 【详解】解： ； 解不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为；； ∴该不等式组的正整数解为， ∴当时，原式． 题型18.解分式方程 65．解方程： 【答案】 【分析】按照解分式方程的步骤进行即可． 【详解】解：两边同乘得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 所以原方程的解为． 66．解方程：． 【答案】 【详解】解： ． ， ， ． 经检验：是原分式方程的根． 67．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根． （2）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解． 题型19.由分式方程解的情况求值 68．若关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据增根的定义确定增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘得： ， 关于的分式方程有增根， ，即增根为， 把代入得：， 解得． 69．若关于的分式方程无解，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算即可得到的值． 【详解】解：原分式方程为， 方程两边同乘最简公分母，得 整理得：， 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解， ∵当一次项系数为0时，方程无解， ∴，解得． ②整式方程的解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为和，令分母为0，得增根可能为或， 把代入，得，等式不成立，此种情况不存在； 把代入，得 ，解得． 综上，的值为或． 70．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“和谐方程”，则________，________．（） (2)若，是“和谐方程”的两个解，求的值． 【答案】(1)2，5； (2) 【分析】（1）根据题干方法求解即可； （2）根据新定义得到，，再对分式化简代入求解即可． 【详解】（1）解：∵是“和谐方程” ∴可化为，容易检验，是方程的解， ∴的解为，； （2）解：∵，是“和谐方程”的两个解， ∴，，      ∴． 题型20.分式方程无解问题 71．若分式方程无解，则m的值是______． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论：一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为分式方程的增根，分别计算得到的值即可． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得， 移项整理得：， 原分式方程无解，因此分两种情况讨论： 当整式方程无解时，一次项系数为，即，解得； 当整式方程有解，且解为原分式方程的增根时，分式方程的增根使原方程分母为，可得或， 把代入，得，等式不成立，此种情况舍去， 把代入，得，解得； 综上，的值为或． 72．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 73．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及分式方程的解法，解题的关键是先确定增根的可能值，再将分式方程化为整式方程，最后代入增根求解参数． 先确定分式方程的分母为零的点，即增根可能为或；再将原分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后分别将增根代入整式方程，求解的值，并检验解的合理性． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，得， 整理，得， 由分式方程有增根，得，解得或． 当时，代入，得， 解得． 当时，代入，得， 解得． 经检验，或均符合题意． 故的值为或． 题型21.列分式方程 74．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 【答案】60 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 75．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找准等量关系，分别求出原计划和提速后的完成时间，再根据提前5天的条件列出方程． 【详解】解：∵总订单量为件，原计划每天做件， ∴原计划完成时间为天． ∵设每天多做件， ∴提速后每天做件，提速后完成时间为天． ∵要求提前天交货，即原计划时间比提速后时间多天， ∴列出方程得． 76．新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 【答案】66米 【分析】设原计划每天铺设路面米，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天铺设路面米，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天铺设路面66米． 题型22.分式方程行程问题 77．正在建设的京沪高铁二线经过我市，预计2028年6月贯通运营，将为我们的出行带来便捷．已知我市到南京的路程约为，高铁贯通后一列动车组列车的平均速度是普快列车的2倍，运行时间比普快列车少，求该列动车组列车的平均速度． 【答案】该列动车组列车的平均速度为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普快列车速度为，则动车组列车的平均速度为，根据走过相同路程，运行时间比普快列车少，列方程求解．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 【详解】解：设普快列车速度为，则动车组列车的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 则， 答：该列动车组列车的平均速度为． 78．司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 79．列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 【答案】(1)去年有3万人参赛，今年有万人参赛 (2)甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时 【分析】（1）设去年有万人参赛，则今年有万人参赛，根据“今年与去年共有万人参赛”列方程求解即可； （2）设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时，根据“甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年有万人参赛，则今年有万人参赛， 根据题意得， 解得， ∴今年参赛的人数为（万人）， 答：去年有3万人参赛，今年有万人参赛； （2）解：设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴乙全程的平均速度为（公里/小时）， 答：甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时． 题型23.分式方程工程问题 80．2025年为迎接高铁开通，抚顺全面推进城市更新，进行道路工程大规模改造，某参建单位进行路面施工工作，路面全长为3000米，更改施工方式后工作效率为原来的1.25倍，预计会提前15 天完成，则原计划每天施工多少米？ 【答案】原计划每天施工40米． 【分析】本题主要考查分式方程的运用．根据题意，设该工程队原计划每天施工x米，由此列式求解即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米． 根据题意，得， 解得． 检验：为原分式方程的解， 答：原计划每天施工40米． 81．近年来，我国航天科技飞速发展，某航天零件加工厂为提高生产效率，引进了新的加工设备，已知使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，且新设备每小时比旧设备多加工个零件． (1)求旧设备每小时加工多少个零件？ (2)若该厂计划加工一批零件，要求使用新设备加工的时间不超过小时，求该厂最多需要给新设备分配多少个零件的加工任务？ 【答案】(1)旧设备每小时加工个零件 (2)该厂给新设备最多分个零件 【分析】（1）设旧设备每小时加工个零件，根据使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，列分式方程求解即可； （2）设该厂给新设备分配个零件，根据使用新设备加工的时间不超过小时，列不等式求解. 【详解】（1）解：设旧设备每小时加工个零件，则新设备每小时加工个零件， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：旧设备每小时加工个零件； （2）解：设该厂给新设备分配个零件， ， ， 答：该厂给新设备最多分配个零件. 82．列方程解决下列问题： 某工厂生产端午伴手礼圆形礼盒 (1)已知一个礼盒由个盒身和个盒底组成，用张硬纸板可制作个盒身或个盒底．现有张硬纸板，应用多少张硬纸板制作盒身，多少张硬纸板制作盒底，才能使盒身与盒底刚好配套？ (2)甲、乙两个车间接到任务制作一批礼盒，若甲车间单独完成，所需时间比规定工期多天；若乙车间单独完成，所需用时比规定工期少天；若两车间先合作天，剩下部分由甲车间单独制作，最终比规定工期提前天完成．求甲车间单独完成这批礼盒需要的时间． 【答案】(1)用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． (2)甲车间单独完成这批礼盒需要30天 【分析】（1）设用x张做盒身，y张做盒底，根据“共有260张硬纸板，一个盒身和两个盒底配套”即可列出方程组，求解即可； （2）甲车间单独完成需要m天，则甲车间每天完成工程的，乙车间每天完成工程的，根据“若甲、乙两车间先合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设用x张做盒身，y张做盒底， 根据题意，得， 解得：， 答∶用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：设甲车间单独完成需要m天， 根据题意，得， 解得： 经检验：是该分式方程的解，符合题意， 答：甲车间单独完成需要30天． 题型24.分式方程经济问题 83．为推进乡村振兴，建设美丽乡村，某乡村计划安装路灯．已知每盏太阳能路灯的价格比普通路灯贵200元；用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同．求每盏太阳能路灯的价格． 【答案】800元 【分析】设每盏普通路灯的价格为x元，根据用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每盏普通路灯的价格为x元，则每盏太阳能路灯的价格为元． 根据题意得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：每盏太阳能路灯的价格为800元． 84．某书店计划购进甲、乙两种书签，已知甲种书签的单价比乙种贵元，用元购进甲种书签的数量与用元购进乙种书签的数量相同． (1)求甲、乙两种书签的单价； (2)该书店一次性购进甲、乙两种书签共个，总费用不超过元，求最多可购进甲种书签多少个？ 【答案】(1)甲元，乙元 (2)最多个 【分析】（1）设乙的单价元，则甲的单价元，根据购买两种书签的数量相同，列分式方程求解即可； （2）设甲买了个，则乙买了个，根据总费用不超过元，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙的单价元，则甲的单价元， 根据题意可得：=， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：甲书签的单价为元，乙书签的单价为元； （2）解：设甲买了个，则乙买了个， 根据题意可得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 答：最多买个甲种书签． 85．开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 【答案】(1) 机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元 (2) 共有3种进货方案，分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件 【分析】（1）设机绣挂件每件进价为元，根据“用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进手工挂件件，根据“总费用不超过500元，手工挂件至少购进10件”列不等式组求解即可. 【详解】（1）解：设机绣挂件每件进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元； （2）解：设购进手工挂件件， 根据题意，得， 解得， 整数为10或11或12， 共有3种进货方案， 分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件. 题型25.分式方程和差倍分问题 86．某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【答案】千瓦·时 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. 87．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【答案】每获得1个碳积分需要步行60步 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可． 【详解】解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步． 88．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【答案】(1)该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台 (2)每天生产标准机车的增加数量为23台 【分析】（1）设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台. （2）解：设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：每天生产标准机车的增加数量为23台． 题型26.其他实际问题 89．某文具店在售的两种魔方，三阶和四阶魔方的成本分别为元和元，已知三阶魔方每个的售价是四阶魔方每个售价的，已知用元购买三阶魔方的个数比用元购买四阶魔方的个数少个． (1)求三阶和四阶魔方每个的售价分别为多少元？ (2)随着开学季魔方热潮来袭，该文具店在月份对三阶和四阶魔方的售价进行了调整，每个三阶魔方的售价上调了，每个四阶魔方的售价上调了，月底经统计月三阶魔方的销售量为个，四阶魔方的销售量为个，若要保证月的总利润为元，求的值． 【答案】(1) 三阶魔方每个售价为元，四阶魔方每个售价为元； (2) 的值为． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）设四阶魔方每个的售价为元，则三阶魔方每个的售价为元，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设四阶魔方每个的售价为元，则三阶魔方每个的售价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：三阶魔方每个售价为元，四阶魔方每个售价为元． （2）解：根据题意可得， 解得， ∴的值为． 90．新春佳节，大红灯笼高高挂．某超市购进甲、乙两种畅销的灯笼，已知购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼少50个，甲种灯笼的单价是乙种灯笼的2倍． (1)甲、乙两种灯笼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在甲、乙两种灯笼单价不变的条件下，该超市准备再次购进甲、乙两种灯笼共100个，且总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种灯笼？ 【答案】(1)甲种灯笼的单价是元，乙种灯笼的单价是元 (2)最多购进个甲种灯笼 【分析】本题主要考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为元，然后根据“购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼的数量少50个”可列方程求解； （2）设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解． 【详解】（1）解：设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为2x元，由题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：乙种灯笼的单价为8元，则甲种灯笼的单价为16元； （2）解：设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为43； 答：最多购进43个甲种灯笼． 91．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $