专题03幂的运算与乘法公式期末复习讲义 (24大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题03幂的运算与整式乘法期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方运算法则，掌握零指数幂、负整数指数幂的定义及底数取值要求。 2.理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，牢记平方差、完全平方两大乘法公式。 3.厘清幂的运算与整式乘法知识关联，区分易混淆公式与运算规则，夯实基础概念。 1.能熟练进行幂的基础运算、混合运算，掌握公式正向、逆向变形运用。 2.规范完成各类整式乘法计算，准确处理符号、漏项、合并同类项等问题。 3.具备观察、归纳、逻辑推理能力，能结合运算法则分析式子结构，灵活解题。. 1.基础题零失误，快速准确解答幂运算、整式乘法的选择、填空、基础计算题。 2.突破符号判断、公式混用、漏项等高频易错点，降低答题失误率。 3.熟练应对公式应用、幂的大小比较、化简求值等期末常考题型，能解决简单综合题型。 题型01.同底数幂乘法及逆用 题型02.幂的乘方及逆用 题型03.积的乘方及逆用 题型04.同底数幂除法及逆用 题型05.零指数幂与负整数指数幂 题型06.科学记数法表示大数与小数 题型07.幂的混合运算 题型08.单项式乘单项式计算 题型09.单项式乘多项式及求值 题型10.单项式乘多项式的应用 题型11.多项式乘多项式 题型12.多项式乘多项式与图形面积 题型13..(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型14.单项式乘法求字母或代数式值 题型15.单项式乘多项式并求字母的值 题型16.多项式乘积不含某项求字母的值 题型17.多项式乘法中的规律性问题 题型18.平方差公式计算与几何应用 题型19.完全平方公式计算与几何应用 题型20.整式乘法混合运算 题型21.多项式乘多项式--化简求值 题型22.完全平方变形求值与系数确定 题型23.整式混合运算 题型24.新定义运算 知识点01:幂的运算 前提：a0，b0)，m、n、p为整数，所有公式均可逆用 运算类型 计算公式 法则口诀 易错提示 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 底数不同不能套用；指数相加，非相乘 同底数幂相除 am÷an=am−n 底数不变，指数相减 底数不能为 0 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 区分 “指数相乘” 与同底数幂乘法 “指数相加” 积的乘方 (ab)n=anbn 各因式分别乘方，再相乘 所有因式都要乘方，切勿漏项 零指数幂 a0=1 非零数的 0 次幂等于 1 00无意义，底数必须不为 0 负整数指数幂 a−p= 负指数转倒数，指数变正 结果不是负数，而是分式 补充要点 1.符号判断：(-a)n，n 为偶数结果为正，n 为奇数结果为负。 2.运算顺序：先乘方，再乘除，有括号先算括号内。 3.公式逆用：常用于化简、求值、比较幂的大小。 知识点02:公式逆向运用（期末拔高、压轴必考） 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 am−n=am÷an am÷an=am−n 已知高次幂求低次幂 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点03.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 3.易错规范 (1)a 绝对不能大于等于 10 或小于 1 (2)小数科学记数法极易写错指数绝对值 知识点04:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05:整式乘法 运算类型 运算法则 运算步骤 常见错误 单 × 单 系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数保留 1. 系数相乘；2.同字母用幂运算计算；3. 保留独有字母 漏写单独字母、符号计算出错 单 × 多 依据乘法分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mc 单项式乘多项式每一项，再把积相加 漏乘项、忽略负号 多 × 多 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 逐项相乘，最后合并同类项 漏项、重复相乘、合并不彻底 知识点06:乘法公式（重难点，期末必考，正用、逆用、变形全覆盖） 1. 平方差公式 标准公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 常见变形：(b+a)(-b+a)=a2-b2、(-a+b)(-a-b)=a2-b2 逆用（因式分解）：a2-b2=(a+b)(a-b)，用于化简、简便计算。 2. 完全平方公式 标准公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 易错提醒：严禁写成 (a b)2=a2b2，漏掉中间项 2ab。 高频常用变形（化简、求值压轴题常考）： a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 拓展：三项完全平方 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 知识点07:期末三大必考题型分类 题型 解题思路 出题形式 化简求值 先化简，优先套用公式，后代入；条件式优先整体代换 常规计算题 参数问题 不含某项⇒该项系数 = 0 求字母k、m的值 简便运算 凑平方差、凑完全平方、逆用积的乘方 大数快速计算 知识点08:高频易错清单 1.幂运算混淆：乘法加指数、乘方乘指数； 2.完全平方丢2ab、平方差找不对相同项与相反项； 3.零、负指数忽略a≠0； 4.带负号整式乘除去括号变号出错 . 题型01.同底数幂乘法及逆用 1．已知，求的值是__________． 【答案】 【分析】根据得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．已知，，则___________． 【答案】 71 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的逆用， 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知值的组合，然后代入计算． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：71． 3．下列式子，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则计算每个选项的结果，即可得到答案． 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意． 4．已知，，则的值为（   ） A．18 B．30 C．54 D．50 【答案】C 【分析】利用幂的乘方，和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 6．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】（1）由可得，然后将变形为代入计算即可； （2）由，得出，进而可求出的值． 【详解】（1）解：由可得， 所以 ； （2）解：因为， 所以， 所以． 题型02.幂的乘方及逆用 7．已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是由，得出，的值． 由，可得，，再由即可求解． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 8．已知，，，则、、之间的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【分析】利用幂的乘方将各数统一为相同底数，再比较指数大小得到结果． 【详解】解：， ，，且，当底数大于时，底数相同，指数越大，幂越大， ，即． 9．若正整数满足，则（    ） A．32 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法可知8个相加可表示为，根据幂的乘方可知8个相乘可表示为，进而可知即可求出的值． 【详解】解：8个相加可表示为，8个相乘可表示为， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 10．若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 【答案】D 【分析】将所求式子利用幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 11．若，求的值． 【答案】或 【分析】根据幂的乘方将已知转化为，可求出的值，再根据幂的乘方的逆运算将已知转化为，可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，时，； 当，时，； ∴的值为或． 题型03.积的乘方及逆用 12．计算的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，表示，利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．计算： ____． 【答案】 【详解】解：原式 . 14．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 15．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方，逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数形式，再逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则简便计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 16．化简求值 (1)； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，再合并同类项； （2）根据幂的乘方逆运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴ ． 题型04.同底数幂除法及逆用 17．计算： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 18．已知，，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 19．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法和同底数幂的乘法，熟练掌握并运用该定理是解决本题的关键． 根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，逐项判定即可． 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意； B、，该选项正确，不符合题意； C、，该选项正确，不符合题意； D、，该选项错误，符合题意； 故选D． 20．若，，则（  ） A． B． C．20 D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∵原式． 21．已知，，求的值． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴ ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，属于基础题型，计算时注意运算法则的准确运用． （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算单项式的乘除； （2）原式变形为，将看成整体，根据同底数幂的除法法则计算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05.零指数幂与负整数指数幂 23．若实数，满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质与方程的求解，先根据已知方程用y表示x，代入含绝对值的方程，再根据绝对值的性质分类讨论去绝对值符号，求出，的值后，代入计算结果． 【详解】解：由移项得， 将代入，得： ， 整理得， 由绝对值的非负性得， 解得， 分两种情况讨论：当，即时， 原方程可化为 ， 移项合并同类项得，解得 ， 将代入，得， 则； 当，即时，原方程可化为， 整理得，等式不成立，此情况无解， 综上，，故答案为． 24．若关于，的方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】由二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，求出m和n的值，再根据负整数指数幂求解即可． 【详解】解：由二元一次方程定义得且，， 故，； 则． 25．若算式（m，k均为正整数），则m的最小值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】解：，且m，k均为正整数， 当时，，是正整数． 因m为正整数， 的最小值为1． 26．若，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的大小比较；解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算出各数的值后再进行大小比较． 【详解】解：先分别计算a，b，c，d的值： ；；；． 比较大小：，即． 27．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型06.科学记数法表示大数与小数 28．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为千克．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 29．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值是解题关键，对于小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数，据此解答即可． 【详解】解：左起第一个非零数字为，原数小数点需向右移动位得到，满足， ． 30．已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ______________． 【答案】0.0000213 【分析】将一个数表示成 的形式，其中 为整数，这种记数方法叫做 科学记数法，据此即可得出答案； 【详解】解：， 故答案为：0.0000213． 【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数，并根据科学记数法表示的小数写出原数，熟练掌握科学记数法表示数的方法是解题的关键 31．随着技术的发展，在芯片的硅晶片上雕刻的电路间距已经可以小到几纳米．纳米（记为）是长度单位，等于的十亿分之一．用科学记数法表示：__________mm． 【答案】 【分析】把米化为毫米，即，可求得，从而可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 32．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 题型07.幂的混合运算 33．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 34．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及整式的加减运算． 解题的关键是严格遵循幂的运算规则，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） 35．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 36．计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【详解】（1）解： （2）解：， ， 题型08.单项式乘单项式计算 37．计算： _______ 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，主要涉及幂的乘方、同底数幂的乘除法等运算法则，需要逐步计算乘方部分，再处理乘除运算，最后合并指数即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 38．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项法则、单项式乘单项式法则，根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则进行判断即可求解． 【详解】解：A.，故A不符合题意； B.，故B符合题意； C.和不是同类项，不能合并，故C不符合题意； D.与不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选：B． 39．计算： 【答案】 【详解】解：原式 40．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方及整式的乘法混合运算． （1）先计算积的乘方，单项式乘单项式，再合并即可得解； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型09.单项式乘多项式及求值 41．若，那么代数式的值为___． 【答案】 【分析】本题考查了代数值求值，根据已知条件求出，再将所求代数式化简，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 42．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式与多项式相乘等于单项式与多项式的每一个项相乘是解题的关键． 根据单项式与多项式相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10.单项式乘多项式的应用 44．若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用整体的思想进行代数式求值，单项式与多项式的乘法．由可得 ，将其代入所求表达式 中，通过代数变形降次，合并同类项后计算常数值得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 45．公园里有一个长方形花坛，原来长，宽，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛的面积将增加（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，用改变后的花坛的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， ， ， 这个花坛的面积将增加：， 故选：A． 46．某市的环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，正方体贮水池的棱长为分米． 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式以及积的乘方的计算方法是解题的关键，根据单项式乘以单项式以及积的乘方法则计算即可得到答案． 【详解】解：存在．理由如下： ∵长方体废水池的容积为立方分米， ∴该正方体贮水池的棱长为分米． 题型11.多项式乘多项式 47．若且，则代数式_________________． 【答案】1 【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整理式运算法则是解题的关键．先运用多项式乘以多项式法则化简为，再变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：1． 48．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 49．计算：． 【答案】 【详解】解：原式. 50．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式以及整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则并按步骤进行计算； （1）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项即可； （3）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相减，合并同类项； （4）先分别根据多项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项； （5）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． （5）解： ． 题型12.多项式乘多项式与图形面积 51．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块． 【答案】 【分析】分别计算出A、B、C板材的面积，再计算出长方形墙壁的面积，根据多项式的乘积判断需要的板材数量，求和即可． 【详解】解：由图可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，块B板材， 块C板材，一共块． 52．计算图中梯形面积，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用梯形面积公式列式，再利用多项式乘以多项式展开计算即可． 【详解】解：由题意可得梯形的面积为， 53．网络教师李永乐有一次讲“计算”时，介绍了如下方法： 计算： 步骤1： 步骤2： 步骤3： 步骤4： 小明不理解这样计算的算理，哥哥画出了示意图帮助小明理解． (1)请根据示意图，写出理解这种算法的过程； (2)请利用李永乐老师方法计算：的值，要求写出类似步骤； (3)约定当、为正整数时，；若、、、为正整数，且，请计算：（结果用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用面积割补（大正方形减两块矩形加重叠小正方形），结合整式乘法推导速算原理； （2）模仿例题四步速算流程计算； （3）先把两位数用数位代数式表示，再结合代换化简． 【详解】（1）略 （2）解：步骤1：； 步骤2： 步骤3： 步骤4：． （3）解：由， ， ． 题型13..(x+p)(x+q)型多项式乘法 54．已知，则的值是______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，对比等式两边对应项系数，得到关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 整理得， 对比对应项系数得：，， 解得：，， ． 55．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先对进行运算，然后进行对比一次项系数即可求出的值，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， 故选：． 56．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 57．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，． 题型14.单项式乘法求字母或代数式值 58．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 59．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 60．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 题型15.单项式乘多项式并求字母的值 61．若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 62．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 63．若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 题型16.多项式乘积不含某项求字母的值 64．已知的结果中不含的一次项，则的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则展开原式，合并同类项后，利用结果中不含的一次项即一次项的系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 结果中不含的一次项， ， 解得． 65．已知的展开式中不含和项，则______，______． 【答案】 2 3 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后根据题意得出且，求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含和项， ∴且， 解可得， 将代入可得， 解得． 66．已知的乘积中不含和项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法，先利用乘法法则计算得，再利用乘积中不含和项，即和项的系数为，计算即可，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵乘积中不含和项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 67．关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 题型17.多项式乘法中的规律性问题 68．“杨辉三角”由一系列数字排列成三角形形状，用于呈现（为正整数）展开式的系数规律，展开式按照的次数从大到小的顺序排列．如图，请仔细观察上下相邻两行数字之间的关系，并推测展开式中含项的系数是_____________． 【答案】20 【分析】根据杨辉三角的规律（下一行首尾为1，中间数为上一行相邻两数之和）推导出展开式的各项系数． 【详解】解：由图可知，展开式的系数对应杨辉三角的第行， 第5行（对应）系数为， 第6行（对应）系数为， 第7行（对应）系数为， ∴， ∴展开式中含项的系数是20． 69．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 根据规律求出的值，再减去1即可解答． 【详解】∵； ； ； …… （为正整数） 当时， ∴ ． 故选：A． 70．下图是杨辉三角与（其中n为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． …… …… …… …… (1)直接写出：______；______． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：______，______； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①1；6；②64 【分析】（1）由可求展开式，由杨辉三角可得展开式中系数为，即可求解展开式； （2）①由系数为，即可求解；②把代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 将用替代可得， 由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴； （2）解：①由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴系数为， ∴中系数； ②当时，， 即． 题型18.平方差公式计算与几何应用 71．若，则的值为_______． 【答案】26 【详解】解：， ， 原式 ． 72．，分别表示两个边长为，的正方形的面积．若，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．22 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，， ∴， 由，得， ∵， ∴， 故． 73．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 74．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 75．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张 (3)①；② (4) 【分析】（1）根据图2是由2张A纸片，1张B纸片，3张C纸片组合，进而可得出答案． （2）根据多项式乘多项式计算即可得出答案． （3）①根据图3面积公式求解即可． ②利用平方差公式计算即可． （4）构造平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图2的面积为：， ∴． （2）解： 故需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张． （3）解：①根据图3面积公式可得出． ②． （4）解： ． 题型19.完全平方公式计算与几何应用 76．若有理数m使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则__________． 【答案】9或/或9 【分析】根据完全平方公式的结构特征，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：二次三项式能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式，可得 一次项系数满足， 即， 当时，解得， 当时，解得． 综上可知，或． 77．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，A计算错误； B、，B计算错误； C、，C计算正确； D、，D计算错误． 78．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】设两个正方形的边长分别为和，根据题意可得， ，阴影部分为直角三角形，其面积等于，利用完全平方公式变形求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，为线段上的一点，且， ， 两正方形的面积和 ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长与交于点，延长与交于点，则 ， 阴影部分的面积 ． 79．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ； ∴当时，则原式． 80．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值，例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，则？ (2)如图，已知两个正方形的边长分别为，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)19 (3)11 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值及其几何应用，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将，，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， ∴ ． 题型20.整式乘法混合运算 81．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算； （2）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 82．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 83．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型21.多项式乘多项式--化简求值 84．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为18 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 85．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法法则化简原式后代入的值． 【详解】解：原式 当时，原式． 86．先化简再求值：，其中且． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可． 【详解】原式 ； 且， ，解得，代入得， 故化简式为，其值为． 题型22.完全平方变形求值与系数确定 87．已知，，则的值是________． 【答案】 10 【分析】利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出的值． 【详解】解：， ∴，， ， 整理得， ∴． 88．若关于x的二次三项式是完全平方式，则常数a的值为______． 【答案】或10 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将代数式写成完全平方的形式，然后计算、比较即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 又∵， ∴， 可得， 解得或10． 故答案为：或10． 89．已知实数、满足，且，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，将用表示，代入得到关于的二次代数式，结合的限制得到的范围，再验证选项得到结果． 【详解】解：， ， ， 又， ， ∴， ， ∴， A、，不符合； B、，不符合； C、，不符合； D、，符合条件． 90．多项式加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．根据完全平方式的特征进行分类讨论：当和1为首项和尾项时，当为中间项时，当1为中间项时，即可解答． 【详解】解：设满足条件的单项式为a， 当和1为首项和尾项时：，均为完全平方式， ∴； 当为中间项时，是完全平方式， ∴； 当1为中间项时，， ∴，不是整式，不符合题意，舍去， 综上：满足条件的单项式有3个， 故选：C． 91．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； （3）解：原式 ， ，， ，， ． 题型23.整式混合运算 92．若，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】先将原整式化为，根据得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解： 将代入得，原式 93．先化简，再计算：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 94．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 题型24.新定义运算 95．我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据同底数幂的乘法的逆用，即可求解． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）根据规定，因为，所以，同理， 因为，所以，所以， 所以． 96．若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 97．现定义某种运算“”：对于任意两个数和，有，例如：，请按定义计算______． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 98．定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义，分别化简、,再结合方程求解； （2）利用多项式不含一次项则一次项系数为0求解． 【详解】（1）解：根据定义，化简 ， ， ， 解得：． （2）解：根据定义，化简： ， 的代数式中不含的一次项， ， 解得：． 99．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义得出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：． 100．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)记，，．说明：． 【答案】(1)①4；②4；③0；④ (2)见详解 【分析】（1）根据题意及零次幂，负指数幂可进行求解； （2）根据题意易得，，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①∵，∴； ②∵，∴； ③∵，∴； ④∵，∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03幂的运算与整式乘法期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方运算法则，掌握零指数幂、负整数指数幂的定义及底数取值要求。 2.理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，牢记平方差、完全平方两大乘法公式。 3.厘清幂的运算与整式乘法知识关联，区分易混淆公式与运算规则，夯实基础概念。 1.能熟练进行幂的基础运算、混合运算，掌握公式正向、逆向变形运用。 2.规范完成各类整式乘法计算，准确处理符号、漏项、合并同类项等问题。 3.具备观察、归纳、逻辑推理能力，能结合运算法则分析式子结构，灵活解题。. 1.基础题零失误，快速准确解答幂运算、整式乘法的选择、填空、基础计算题。 2.突破符号判断、公式混用、漏项等高频易错点，降低答题失误率。 3.熟练应对公式应用、幂的大小比较、化简求值等期末常考题型，能解决简单综合题型。 题型01.同底数幂乘法及逆用 题型02.幂的乘方及逆用 题型03.积的乘方及逆用 题型04.同底数幂除法及逆用 题型05.零指数幂与负整数指数幂 题型06.科学记数法表示大数与小数 题型07.幂的混合运算 题型08.单项式乘单项式计算 题型09.单项式乘多项式及求值 题型10.单项式乘多项式的应用 题型11.多项式乘多项式 题型12.多项式乘多项式与图形面积 题型13..(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型14.单项式乘法求字母或代数式值 题型15.单项式乘多项式并求字母的值 题型16.多项式乘积不含某项求字母的值 题型17.多项式乘法中的规律性问题 题型18.平方差公式计算与几何应用 题型19.完全平方公式计算与几何应用 题型20.整式乘法混合运算 题型21.多项式乘多项式--化简求值 题型22.完全平方变形求值与系数确定 题型23.整式混合运算 题型24.新定义运算 知识点01:幂的运算 前提：a0，b0)，m、n、p为整数，所有公式均可逆用 运算类型 计算公式 法则口诀 易错提示 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 底数不同不能套用；指数相加，非相乘 同底数幂相除 am÷an=am−n 底数不变，指数相减 底数不能为 0 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 区分 “指数相乘” 与同底数幂乘法 “指数相加” 积的乘方 (ab)n=anbn 各因式分别乘方，再相乘 所有因式都要乘方，切勿漏项 零指数幂 a0=1 非零数的 0 次幂等于 1 00无意义，底数必须不为 0 负整数指数幂 a−p= 负指数转倒数，指数变正 结果不是负数，而是分式 补充要点 1.符号判断：(-a)n，n 为偶数结果为正，n 为奇数结果为负。 2.运算顺序：先乘方，再乘除，有括号先算括号内。 3.公式逆用：常用于化简、求值、比较幂的大小。 知识点02:公式逆向运用（期末拔高、压轴必考） 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 am−n=am÷an am÷an=am−n 已知高次幂求低次幂 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点03.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 3.易错规范 (1)a 绝对不能大于等于 10 或小于 1 (2)小数科学记数法极易写错指数绝对值 知识点04:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05:整式乘法 运算类型 运算法则 运算步骤 常见错误 单 × 单 系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数保留 1. 系数相乘；2.同字母用幂运算计算；3. 保留独有字母 漏写单独字母、符号计算出错 单 × 多 依据乘法分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mc 单项式乘多项式每一项，再把积相加 漏乘项、忽略负号 多 × 多 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 逐项相乘，最后合并同类项 漏项、重复相乘、合并不彻底 知识点06:乘法公式（重难点，期末必考，正用、逆用、变形全覆盖） 1. 平方差公式 标准公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 常见变形：(b+a)(-b+a)=a2-b2、(-a+b)(-a-b)=a2-b2 逆用（因式分解）：a2-b2=(a+b)(a-b)，用于化简、简便计算。 2. 完全平方公式 标准公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 易错提醒：严禁写成 (a b)2=a2b2，漏掉中间项 2ab。 高频常用变形（化简、求值压轴题常考）： a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 拓展：三项完全平方 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 知识点07:期末三大必考题型分类 题型 解题思路 出题形式 化简求值 先化简，优先套用公式，后代入；条件式优先整体代换 常规计算题 参数问题 不含某项⇒该项系数 = 0 求字母k、m的值 简便运算 凑平方差、凑完全平方、逆用积的乘方 大数快速计算 知识点08:高频易错清单 1.幂运算混淆：乘法加指数、乘方乘指数； 2.完全平方丢2ab、平方差找不对相同项与相反项； 3.零、负指数忽略a≠0； 4.带负号整式乘除去括号变号出错 . 题型01.同底数幂乘法及逆用 1．已知，求的值是__________． 2．已知，，则___________． 3．下列式子，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（   ） A．18 B．30 C．54 D．50 5．已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 6．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型02.幂的乘方及逆用 7．已知，，则________． 8．已知，，，则、、之间的大小关系为______（用“”连接）． 9．若正整数满足，则（    ） A．32 B．4 C．8 D．16 10．若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 11．若，求的值． 题型03.积的乘方及逆用 12．计算的结果是________． 13．计算： ____． 14．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 15．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 16．化简求值 (1)； (2)若，求的值． 题型04.同底数幂除法及逆用 17．计算： ___________． 18．已知，，则______． 19．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 20．若，，则（  ） A． B． C．20 D． 21．已知，，求的值． 22．计算： (1)； (2)． 题型05.零指数幂与负整数指数幂 23．若实数，满足，，则的值为_____． 24．若关于，的方程是二元一次方程，则______． 25．若算式（m，k均为正整数），则m的最小值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 26．若，，，，则（     ） A． B． C． D． 27．计算：． 题型06.科学记数法表示大数与小数 28．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为千克．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 29．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 30．已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ______________． 31．随着技术的发展，在芯片的硅晶片上雕刻的电路间距已经可以小到几纳米．纳米（记为）是长度单位，等于的十亿分之一．用科学记数法表示：__________mm． 32．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 题型07.幂的混合运算 33．化简：． 34．计算： (1)； (2)； (3)． 35．计算：． 36．计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 题型08.单项式乘单项式计算 37．计算： _______ 38．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 39．计算： 40．计算： (1) (2)． 题型09.单项式乘多项式及求值 41．若，那么代数式的值为___． 42．计算（    ） A． B． C． D． 43．计算： (1)； (2)． 题型10.单项式乘多项式的应用 44．若实数x满足，则______． 45．公园里有一个长方形花坛，原来长，宽，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛的面积将增加（    ） A． B． C． D． 46．某市的环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由． 题型11.多项式乘多项式 47．若且，则代数式_________________． 48．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 49．计算：． 50．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型12.多项式乘多项式与图形面积 51．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块． 52．计算图中梯形面积，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 53．网络教师李永乐有一次讲“计算”时，介绍了如下方法： 计算： 步骤1： 步骤2： 步骤3： 步骤4： 小明不理解这样计算的算理，哥哥画出了示意图帮助小明理解． (1)请根据示意图，写出理解这种算法的过程； (2)请利用李永乐老师方法计算：的值，要求写出类似步骤； (3)约定当、为正整数时，；若、、、为正整数，且，请计算：（结果用含和的代数式表示）． 题型13..(x+p)(x+q)型多项式乘法 54．已知，则的值是______． 55．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 56．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 57．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 题型14.单项式乘法求字母或代数式值 58．，求的值_______． 59．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 60．先化简，再求值：，其中． 题型15.单项式乘多项式并求字母的值 61．若的展开式中不含项，则______． 62．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 63．若恒成立，求的值． 题型16.多项式乘积不含某项求字母的值 64．已知的结果中不含的一次项，则的值为________． 65．已知的展开式中不含和项，则______，______． 66．已知的乘积中不含和项，则（　　） A． B． C． D． 67．关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 题型17.多项式乘法中的规律性问题 68．“杨辉三角”由一系列数字排列成三角形形状，用于呈现（为正整数）展开式的系数规律，展开式按照的次数从大到小的顺序排列．如图，请仔细观察上下相邻两行数字之间的关系，并推测展开式中含项的系数是_____________． 69．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（    ） A． B． C． D． 70．下图是杨辉三角与（其中n为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． …… …… …… …… (1)直接写出：______；______． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：______，______； ②求的值． 题型18.平方差公式计算与几何应用 71．若，则的值为_______． 72．，分别表示两个边长为，的正方形的面积．若，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．22 73．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 74．先化简，再求值：，其中． 75．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 题型19.完全平方公式计算与几何应用 76．若有理数m使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则__________． 77．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 78．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 79．先化简，再求值：，其中． 80．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值，例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，则？ (2)如图，已知两个正方形的边长分别为，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 题型20.整式乘法混合运算 81．计算： (1)； (2)． 82．计算： (1)； (2)． 83．计算： (1)． (2)． 题型21.多项式乘多项式--化简求值 84．先化简，再求值：，其中． 85．先化简，再求值：，其中 86．先化简再求值：，其中且． 题型22.完全平方变形求值与系数确定 87．已知，，则的值是________． 88．若关于x的二次三项式是完全平方式，则常数a的值为______． 89．已知实数、满足，且，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 90．多项式加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 91．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 题型23.整式混合运算 92．若，则代数式的值为______． 93．先化简，再计算：，其中． 94．先化简，再求值：，其中． 题型24.新定义运算 95．我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 96．若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 97．现定义某种运算“”：对于任意两个数和，有，例如：，请按定义计算______． 98．定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 99．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 100．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．利用上述规定可说明等式成立．说明如下： 设，，则，． 所以，所以， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)记，，．说明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $