命题大赛 福建高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修三第六章）

**基本信息** 福建高二数学选择性必修三第六章单元卷，聚焦排列组合与二项式定理，通过原创情境（如《哪吒2》观影、环校跑接力）和分层设计，融合数学抽象、运算推理与模型应用素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|分类加法计数原理、排列数计算、二项式系数|原创题（如第7题整除余数、第9题组合恒等式）考查推理能力| |填空题|3/15|分步乘法计数原理、展开式常数项、有限制条件排列|第14题结合全排列限制条件，体现数学抽象| |解答题|5/77|二项式定理综合、排列应用题（相邻/不相邻）、循环排列|第18题以《哪吒2》为情境设计分配问题，第19题引入环排列新定义，培养创新意识与应用能力|

福建高二数学下学期阶段测试（人教A版选择性必修三第六章）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A C D A D BC ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】已知每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有趟，动车有6趟， 由分类加法原理，完成这件事共有种． 2．D 【分析】按照②③①④分步进行即可，计算出每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 3．D 【分析】根据题意，分3步：①，从中取一个排个位，有种安排方法，②，不能在百位，则百位的安排方法有种，③，在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况，从而求解. 【详解】根据题意，①从中取一个排个位，有种安排方法， ②不能在百位，则百位的安排方法有种， ③在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况， 故奇数的个数为：. 故选：D. 4．A 【分析】逆用二项展开式定理即可得答案. 【详解】 故选：A. 5．C 【详解】从件产品中任意抽出件有种取法， 因为件产品中有7件合格品，所以不含次品的取法有种， 所以至少有件是次品的抽法种数为种. 6．D 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为. 故选：D 7．A 【分析】借助二项式的展开式计算即可得. 【详解】 . 因为能被9整除， 所以被9除所得的余数为1． 故选：A. 8．D 【分析】根据拿10元纸币的人是否相邻分类讨论求解. 【详解】根据拿10元纸币的人是否相邻可分为两类： 第一类：拿10元纸币的2人不相邻，则先安排拿5元纸币的人共有种不同的排列； 拿10元纸币的2人只能排在除排头外的3个位置，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 第二类：拿10元纸币的2人相邻，看作一个元素，其内部排列有种不同排列； 先排拿5元纸币的3人有种不同的排列，则排列后从左往右形成4个空位， 再从3人排列后形成的最右边2个空位中选择一个排列相邻2人构成的元素，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 综上，这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序共个. 故选：D. 9．BC 【分析】根据排列数公式和组合数公式验证． 【详解】对于A，根据排列数的计算可得，，A错； 对于B，根据组合数的计算可得，，B正确； 对于C，根据组合数的性质可得，，C正确； 对于D，根据组合数的性质可得， 若，则或 所以 又当时，原式为不符合组合数的定义，因此，舍去 故，D错误． 故选：BC． 10．ABD 【分析】由二项式定理判断A，通过赋值法判断BCD. 【详解】对于A，由二项式定理科登，故A正确 对于B，令，则；令，则 两式相加得 ∴，故B正确 对于C，∵的各项系数绝对值与的各项系数对应相等 的各项系数绝对值和（）等于的各项系数和 对于，令得，的各项系数和为，即 对于，令得，则，即 ∴，故C错误； 对于D，两边同时求导可得 令得，，故D正确 故选：ABD． 11．BCD 【分析】A选项，由杨辉三角形的特征，可直接判断A错；B选项，由题意易知，根据累加法即可判断B正确；C选项，根据，可判断C正确；D选项，逆用二项展开式，得到 ，即可判断D正确. 【详解】A选项，第行的第个位置的数是，故A错； B选项，由题意可得，，， 则,，,......，， 以上各式相加得：， 因此，故B正确； C选项，由于，不妨设，令， 当时，，所以； 当时，，无正整数解； 当时，，当时，；当时，；而递增，从而，无正整数解； 当时，，当时，；而是第九行最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于， 所以当时，，70在杨辉三角中共出现了3次，故C正确； D选项，第行的第个数为，则， 因为 ， 所以.故D正确； 故选：BCD 12．729 【详解】每人都可以从这三个智力项目中选报一项，各有3种不同的报名方法， 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有（种）. 13． 【分析】根据条件，利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为的通项公式为， 则的展开式中的项为或， 所以常数项为， 故答案为：. 14．25 【分析】通过，，讨论求解即可. 【详解】要求​且​，因此一定是三个位置中最小的数， 情况1：， 此时剩余数为 ，，要求，：没有比2小的剩余数，共种； ：仅剩余比3小，此时，​从 选，剩下数为，共种， ：剩余比4小的数有 ，此时从中选一下，为5和剩下的一个，全排列，故共种； ：剩余所有数都比5小，此时可为剩下3个数的全排列，共种； 本类合计：； 情况2：， 此时剩余数为，， ：此时，此时为的全排列，共种； ：若此时，则为全排列，共种， 若此时，则，1种， 故总共种； ：若此时，为全排列，共种， 若此时，为全排列，共种， 故共种； 本类合计：种； 情况3： 此时剩余数为，， ：​只能选，此时为的全排列，共种； ：只能选，此时为的全排列，共种； 本类合计：， 情况4： 此时没有足够两个比大的数给，共种， 将所有情况相加， ，即满足条件的排列共个. 15．(13分)(1) (2)60 (3) 【分析】（1）根据二项式系数和公式得到方程，求出答案； （2）得到展开式通项公式，进而得到展开式中的常数项为； （3）二项式系数最大的项为第四项，由（2）可知，得到答案. 【详解】（1）由题意得， ……2分 故； ……3分 （2）的展开式通项公式为， ……5分 令，解得， ……7分 所以展开式中的常数项为； ……8分 （3），展开式共有7项，二项式系数最大的项为第四项， ……10分 由（2）可知， ……12分 故展开式中二项式系数最大的项为. ……13分 16．(15分)(1)240 (2)3720 (3)720 (4)1440 (5)840 【分析】(1)先安排甲乙站在两端，其他位置进行全排列即可; (2)利用间接法求解即可; (3)利用捆绑法求解即可; (4)利用插空法求解即可; (5)利用定序法求解即可. 【详解】（1）首先，甲、乙站在第一棒和最后一棒的排法有种；其次，其余5人在中间5个不同位置的排法有种，根据分步乘法计数原理，不同排法有种． ……3分 （2）第1类，乙排第一棒，共有种不同的排法； ……4分 第2类，乙不排第一棒，由于甲也不能排第一棒，所以，第一棒有种排法，由于有一个人第一棒，乙又不最后一棒，因此最后一棒有种排法，中间5个位置有种排法， ……5分 故共有种不同的排法． ……6分 （3）第1步，把甲、乙、丙作为一个整体“捆绑”成一个元素与另4人排成一排有种排法，第2步，甲、乙、丙全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的排法． ……9分 （4）第1步，除甲、乙、丙三人外的4人有种排法，第2步，其余4人之间及两端有5个空位，将甲、乙、丙三人排入这5个空位，有种排法，故共有种不同的排法． ……12分 （5）七个位置中，先将甲、乙、丙三人外的4人排列，有种排法，然后将甲、乙、丙按规定顺序安排到剩下的3个位置上，故共有种不同的排法． ……15分 17．（15分）(1) (2) 【详解】（1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项， ……2分 故． ……3分 （2）当，时，二项式为． ……4分 展开式的通项为（，1，2，…，6）， ……6分 设第项系数最大，则， ……8分 即， ……10分 整理得，解得， ……12分 又，所以． ……13分 所以二项式的展开式中系数最大的项为． ……15分 18．（17分）(1)（i）243 （ii）150 (2)（i）126 （ii）1001 【详解】(1)（i）每人都有 3 种选择，根据分步乘法计数原理：35=243，故共有243种合影方案。 ……3分 （ii）每款玩偶都有人合影，即把 5 人分成非空三组，再对应三款玩偶，用分组分配求解：人数分组只有两种情况：3,1,1和 2,2,1。 ……4分 分组一：按3,1,1分组，则共有种方案。 ……6分 分组二：按2,2,1分组，则共有种方案。 ……8分 故每款玩偶都有人合影时，共有60+90= 150 种方案。 ……9分 (2) 相同元素分配，使用隔板法 （i）每人至少1个，10个元素形成9个空，插 4 块隔板, 故共有种分配方法。 ……13分 （ii）允许有人不分到，先找每个人借一个，因此总共有15只，再分给5人，每人要还一个 则每人至少1个，15个元素形成14个空，插 4 块隔板， 故共有种分配方法。 ……17分 19．（17分）(1)或； (2)（i）11；（ii）证明见解析； (3). 【分析】（1）应用组合数及圆排列模型求不同排列个数； （2）（i）由将4个元素分为2个圆排列的方案数，应用分类计数并结合（1）结论求解；（ii）讨论在已有的n个元素在个圆排列中的情况下，新增第个元素时的情况数，应用分类计数求解； （3）由，结合（2）结论求解. 【详解】（1）从n个人中选择m个人有种，再将他们围成一圈有种， 也可以将个人全排列，由于这个人的相对顺序不变，故有, 所以排列个数有或； ……3分 （2）（i）是指将4个元素分为2个圆排列的方案数，共有两种情况， 一种是分为一个含有3个元素的圆排列和含有1个元素的圆排列，另一种是分为两个含有2个元素的圆排列． 对于第一种情况，情况数为，另一种情况，情况数为， 因此； ……6分 （ii）我们只需讨论在已有的n个元素在个圆排列中的情况下，新增第个元素时的情况数， 若原有的n个元素已经分布在前m个圆排列，则第个元素一定在第个圆排列，共种情况； 若原有的n个元素分布在个圆排列中，则第个元素可以插入进任意一个圆排列的任意两个元素之间，共种情况； 两种情况求和即为， 因此； ……10分 （3）设，则 ， ……13 分 由于，故，， 而，，，…，，依次相乘得， 综上所述，总方案数为． ……17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建高二数学下学期阶段测试（人教A版选择性必修三第六章） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有趟，动车有6趟．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 3．从这五个数字中任取个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 5．在件产品中，有件合格品，件次品，从这件产品中任意抽出件，抽出的件中至少有件是次品的抽法种数为（    ） A． B．63 C． D． 6．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 7．（原创）被9除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的0分. 9．（原创）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 10．（原创），则（   ） A． B． C． D． 11．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（    ） A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．有六名同学报名参加三个智力项目，每人恰好参加一项，每项人数不限，则不同的报名方法有_____种. 13．在的展开式中，常数项为_______________. 14．在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，的排列的个数是________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知的展开式二项式系数和为64． (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项． 16．（原创）（15分）某校举办环校跑接力赛，每班选派 7 名同学排成一纵队依次完成接力。高一（1）班共 7 名同学参赛，根据下列不同要求，分别求出对应的排队方法总数。 (1) 甲、乙两名同学速度突出，限定两人安排在第一棒或最后一棒，共有多少种不同排法？ (2) 甲不排在第一棒，乙不排在最后一棒，共有多少种不同排法？ (3) 甲、乙、丙三人配合默契，要求三人必须相邻排列，共有多少种不同排法？ (4) 甲、乙、丙三人交接棒易失误，要求三人互不相邻，共有多少种不同排法？ (5) 甲、乙、丙三人速度依次递减，要求三人按甲、乙、丙从快到慢的顺序排列，共有多少种不同排法？ 17．（15分）已知（）. (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 18．（原创）（17分）国产动画电影《哪吒 2》上映后收获广泛好评，影片中哪吒、敖丙、申公豹等角色深受观众喜爱。结合场景解答下列问题： (1) 影院摆放哪吒、敖丙、申公豹三款打卡玩偶，现有 5 名观众前来合影，每人仅选择其中一款玩偶拍照。 （i）求不同的合影方案总数； （ii）若要求每款玩偶都有人合影，求不同的合影方案总数。 (2) 现有 10 个完全相同的哪吒毛绒玩偶，全部分给 5 名观众： （i）若每名观众至少分得 1 个玩偶，求分配方法总数； （ii）若不限制每人分得数量（允许有人不分到玩偶），求分配方法总数。 19．（17分）循环排列（也称圆排列）是指从n个不同元素中取出m个不同的元素排成一个环形，既无头也无尾．循环排列视所有循环的情形为同一种排列，例如123，231，312在循环排列中便为同一种排列．循环排列将顺时针和逆时针视为两种排列，例如123和132便是两种不同的循环排列．（本题中，m，n均为正整数，且） (1)若从n个人中选择m个人围坐成一个圆桌，直接写出这样的排列个数； (2)定义：将n个不同元素划分成m个非空循环排列（即每个排列中都有至少一个元素），所有这样的排列的个数用符号表示．并规定，． （i）求； （ii）证明：，其中； (3)已知某饭店有n张圆桌，每张圆桌最多可以容纳n个人，最少可以不坐人．现在有n个人来到饭店就餐，若将每张桌上围坐多人时不同的循环排列视为不同方案，将相同循环排列坐在不同桌视为同种方案，求总方案数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 分类加法计数原理 0.95 2 单选题 5 涂色问题 0.9 3 单选题 5 数字问题 0.9 4 单选题 5 二项式定理的逆运用 0.8 5 单选题 5 组合（至少问题） 0.8 6 单选题 5 二项式定理（三项式问题） 0.75 7 单选题 5 余数问题 0.7 8 单选题 5 排列组合综合问题 0.65 9 多选题 6 排列数与组合数的计算 0.9 10 多选题 6 二项式定理（公式法，赋值法） 0.75 11 多选题 6 杨辉三角问题 0.6 12 填空题 5 分步乘法计数原理 0.9 13 填空题 5 二项式定理（乘积问题） 0.8 14 填空题 5 排列组合综合问题 0.5 15 解答题 13 二项式定理（二项式系数和，常数项，二项式系数最大） 0.9 16 解答题 15 排列（固定位置、捆绑法、插空法、除序法等） 0.8 17 解答题 15 二项式定理（二项式系数最大值，系数最大值） 0.7 18 解答题 17 排列组合（分配问题、相同元素、不同元素） 0.6 19 解答题 17 排列组合综合问题 0.4 Sheet2 Sheet3 $