精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年高二下学期数学月考1试题

泉州五中2027届高二（下）数学月考1 一、单选题 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程得到，结合离心率公式即可求解. 【详解】由双曲线方程得：，即，， 又，代入得，即， 所以双曲线离心率. 2. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 5. 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B选项，对与两边同时取自然对数化简即可判断；对于C、D选项，构造，将问题转化为比较的大小，利用导数研究的单调性即可求解. 【详解】选项 A、B：比较与 对两边同时取自然对数： 两者的对数相等，因此，A、B 均错误， 选项 C、D：比较与 令，则， ， 当时，，所以在上单调递减，且， 所以，即， 所以，故D正确. 6. 已知函数，，则（ ） A. 图象一定存在对称中心 B. 一定存在极值点 C. 若存在极小值点和极大值点，且，则 D. 若，则存在极小值点和极大值点，且 【答案】C 【解析】 【分析】AB举反例；CD求导，分别讨论、、、、时函数的单调性即可. 【详解】对于A选项，若，则，无对称中心，故A错误； 对于B选项，若，则，则， 则在上单调递增，无极值点，故B错误； 对于D选项，， ①若，则， 则由得或；得， 则在，上单调递减，在上单调递增， 则在处取极小值，在处取得极大值，则有，符合题意； ②若，则， 则由得或；得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取得极小值，则有，不符合题意； ③若，则， 则由得或；得， 则在，上单调递减，在上单调递增， 则在处取极大值，在处取得极小值，则有，符合题意； ④若，则，则由，得或； 由，得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取极小值，在处取得极大值，则有，不符合题意； ⑤若，则，则， 则在上单调递减，无极值点，故D错误； 综上可知，若存在极小值点和极大值点，且，则必有，故C正确. 7. 将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（ ） A. 12 B. 30 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】先利用总排列数公式（考虑重复元素）计算所有可能的排列，及“两个1相邻”和“两个2相邻”和“两个3相邻”的排列数，和“两个1，两个2，两个3都相邻”的排列数，再利用容斥原理从而得出满足“相同数字不相邻”的排列数. 【详解】总排列数：， 两个1相邻的排列数：， 两个2相邻的排列数：， 两个3相邻的排列数：， 两个1相邻且两个2相邻的排列数：， 两个1相邻且两个3相邻的排列数：， 两个2相邻且两个3相邻的排列数：， 两个1，两个2，两个3都相邻的排列数：， 由容斥原理得：两个1相连或两个2相连或两个3相邻的排列数为：. 所以相同的数字牌不相邻的排法总数为. 8. 已知函数，其中，，若存在实数b，使得对任意，有，则正整数a的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】当时，（因为变化得比快），若存在使得， 则由零点定理可知存在使得，那么有，不满足条件， 故对任意有，同时对任意有即对任意有， 所以由函数的连续性可知，代入得，对求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 则应有且即即，由即得， 所以，所以正整数的最小值为. 二、多选题 9. 已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. 是等比数列 B. C. 是递减数列 D. 中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 10. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行的第1013个数最大 C. 210在杨辉三角中出现了6次 D. 记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6行第4个数代入即可；选项B：根据组合数的性质，即可找到第2026行中的最大数；选项C：列举出值为210的组合数即可；选项D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为， 故第6行从左到右第4个数是，故A正确； 选项B：第2026行的第个数可表示为，， 由组合数的性质可知，最大， 因此，，故第2026行的第1014个数最大，B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此， 令，则， 即，故D正确. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上单调递增 B. 若，则函数在上有2个极值点 C. ，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D. 若函数在上单调递增，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性，可以依据导函数的正负情况判断；函数的极值，即判断导函数是否有变号的零点. 【详解】对于选项A，当时，， 则， 当时，， 当时，则， 故当时，，故函数在上单调递增.故A正确； 对于选项B，当时，， 令=0，即， 而，， ， 故的函数图象在上有两个不同的交点， 如图： 可知，则函数在上有2个极值点.故B正确； 对于选项C，，使得函数在上递增，在上递减， 则函数在取最大值， 由为指数型函数在上不存在最大值，为有界函数， 故没有最大值.故C错误； 对于选项D，函数在上单调递增， 则恒成立，故在上恒成立， 若即或（）时，， 若，则， 则， 其中， 令，则， 令，则，得，. 当时，，时，， 故在为增函数， 在为减函数， 故的极大值为，其中， 诸极大值中最大值为，故即的最小值为.故D正确. 三、填空题 12. 的展开式中的常数项为________． 【答案】70 【解析】 【详解】.要求原式的常数项，等价于求展开式中项的系数. 的通项公式，令，得， 因此项的系数，即原展开式的常数项为. 13. 甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有______种. 【答案】420 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的计算方法求解即可. 【详解】甲、乙选看的电影中最多有1部相同包括： （1）两人选看的电影均不相同，不同选法有（种）； （2）两人选看的电影有且仅有一部相同，不同选法有（种）， 不同的选法总共有（种）. 故答案为：420. 14. 对，恒有，则实数a的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对不等式进行变形，构造函数，利用函数单调性求解的最小值. 【详解】令，则， 令，有 当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在单调递增， 则 令，则， 当时,，当时, 于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得 所以实数a的最小值为 故答案为： 四、解答题 15. 已知的展开式中所有项的系数之和为729. （1）求； （2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （3）求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【答案】（1） （2）240 （3）140 【解析】 【分析】（1）赋值得到关于的等式，进而求出结果. （2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可. （3）根据二项式定理求出所求项的系数. 【小问1详解】 令，得，得. 【小问2详解】 的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，则， 所以展开式中各项系数的最大值为. 【小问3详解】 中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的系数为. 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法? （2）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? （3）唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? （4）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【答案】（1）240 （2）432 （3）144 （4）72 【解析】 【分析】（1）先排唱歌节目，再排其他节目，由乘法原理可得答案； （2）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【小问1详解】 先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； 【小问2详解】 将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； 【小问3详解】 将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. 【小问4详解】 将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 18. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线过定点，并求点的坐标； （3）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质计算； （2）联立与椭圆方程，然后根据的直线方程和韦达定理求定点； （3）利用韦达定理求，然后计算面积求范围即可. 【小问1详解】 由题意得，，则，，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，则， 联立得，，， ，则直线： 整理， 所以直线恒过，. 【小问3详解】 ， 点到直线的距离， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，所以， 所以面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 19. 已知函数. （1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②不存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （2）①结合（1）可得，，当且仅当时等号成立，进而得到，可得当时，，进而利用裂项相消法求证即可； ②先假设存在，先得到，再结合成等比数列，得到，再由，得到推出矛盾即可求证. 【小问1详解】 由，， 则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①由（1）知，当时，，， 即，，当且仅当时等号成立， 因为方程的根为，所以，且， 则，即， 当时，， 则, 当时，也满足，则. ②数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列，证明如下： 由，，则， 当时，，则函数在上单调递增， 结合题意，方程有唯一的根为，即， 而， 则，即， 假设成等比数列，则其公比，且， 又，则，， 所以，则， 即，所以， 则，由于， 则，即， 则，则， 由，， 两式相减得， 则，即，这与矛盾， 故数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2027届高二（下）数学月考1 一、单选题 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，则（ ） A. 图象一定存在对称中心 B. 一定存在极值点 C. 若存在极小值点和极大值点，且，则 D. 若，则存在极小值点和极大值点，且 7. 将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（ ） A. 12 B. 30 C. 60 D. 90 8. 已知函数，其中，，若存在实数b，使得对任意，有，则正整数a的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. 是等比数列 B. C. 是递减数列 D. 中存在连续三项成等差数列 10. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行的第1013个数最大 C. 210在杨辉三角中出现了6次 D. 记第行的第个数为，则 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上单调递增 B. 若，则函数在上有2个极值点 C. ，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D. 若函数在上单调递增，则的最小值为 三、填空题 12. 的展开式中的常数项为________． 13. 甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有______种. 14. 对，恒有，则实数a的最小值为________. 四、解答题 15. 已知的展开式中所有项的系数之和为729. （1）求； （2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （3）求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法? （2）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? （3）唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? （4）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 18. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线过定点，并求点的坐标； （3）求面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $