奥数培优专题——归一与归总问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优专题讲义——归一归总问题 姓名： 用时： 评价： 知识精讲 （一）核心定义 归一归总问题是小升初奥数典型基础应用题，主要研究单一量、份数、总量三者之间的数量关系，是各类复合应用题的解题基础。 1. 归一问题：题目中给出多份量对应的总量，需要先求出1份的量（单一量），再根据单一量计算对应份数的总量或所需份数。核心逻辑是“由多求一，再由一求多”。 2. 归总问题：题目中先给出单一量和份数，求出总数量（总量），再根据新的单一量或新的份数，求解对应的未知量。核心逻辑是“先求总量，再均分总量”。 常见单一量：单位时间工作量、单位物品价格、单位面积产量、单人效率、单个物品用量等。 （二）三大核心数量关系 1. 总量 = 单一量 × 份数 2. 单一量 = 总量 ÷ 份数 3. 份数 = 总量 ÷ 单一量 （三）归一问题详细分类 1. 一次归一（单归一） 仅需一步除法即可求出单一量，分为正归一、反归一两类。 （1）正归一：求单一量后，用乘法求新总量。题型特征：已知几份对应总量，求若干份的总量。 公式：总量 = 原有总量 ÷ 原有份数 × 新份数 （2）反归一：求单一量后，用除法求新份数。题型特征：已知几份对应总量，求新总量对应的份数。 公式：份数 = 新总量 ÷（原有总量 ÷ 原有份数） 2. 两次归一（双归一） 需要两步除法才能求出单一量，多用于多人、多机器、多设备的效率问题，核心求单人、单台、单位时间的工作量。 公式：单一量 = 总工作量 ÷ 人数 ÷ 时间 衍生公式：总工作量 = 单人效率 × 人数 × 时间；时间 = 总工作量 ÷ 人数 ÷ 单人效率 （四）归总问题解题要点 归总问题的核心是总量不变，无论单一量和份数如何变化，总数量始终恒定。解题第一步必须先算出固定总量，再根据变化后的条件计算未知量。 常见题型：工程用料、行程路程、购物总价、工程总量不变问题。 （五）通用解题步骤 1. 审题：判断题型（归一/归总），锁定不变量（归一找单一量，归总找总总量）； 2. 列式：归一先求单一量，归总先求总总量； 3. 计算：根据核心数量关系，求解题目所求未知量； 4. 验算：代入题意验证数据是否符合逻辑。 易错指引 1. 双归一问题漏除人数或时间，导致单一量计算错误； 2. 归总问题混淆变量与不变量，忘记先求固定总量； 3. 正、反归一混淆，误用乘法、除法； 4. 单位不统一，未提前换算单位导致结果错误。 真题拔高 基础题（1-10题） 1. 3支钢笔售价15元，照这样计算，买8支钢笔需要多少钱？ 【详解】本题属于一次正归一问题，先求单支钢笔价格（单一量），再求8支总价。 单支钢笔价格：15÷3=5（元） 8支钢笔总价：5×8=40（元） 【答案】40元 2. 4小时加工20个零件，照这样的效率，加工35个零件需要几小时？ 【详解】本题属于一次反归一问题，先求每小时加工零件数，再求加工35个所需时间。 每小时加工零件：20÷4=5（个） 所需时间：35÷5=7（小时） 【答案】7小时 3. 工人修路，每天修6米，12天可以修完。如果每天修8米，多少天可以修完？ 【详解】本题属于归总问题，先求道路总长度（总量不变），再求新天数。 道路总长：6×12=72（米） 新天数：72÷8=9（天） 【答案】9天 4. 5千克苹果30元，买12千克同样的苹果需要多少元？ 【详解】一次正归一，先求单价，再求总价。 苹果单价：30÷5=6（元/千克） 12千克总价：6×12=72（元） 【答案】72元 5. 一台抽水机3小时抽水18吨，照这样计算，7小时抽水多少吨？ 【详解】一次正归一，先求每小时抽水量，再求7小时总抽水量。 每小时抽水：18÷3=6（吨） 7小时抽水：6×7=42（吨） 【答案】42吨 6. 一批货物，每次运8吨，15次可以运完。如果每次运10吨，需要运多少次？ 【详解】归总问题，货物总量不变，先求总吨数，再求新次数。 货物总量：8×15=120（吨） 新次数：120÷10=12（次） 【答案】12次 7. 小明5分钟走300米，照这样的速度，走480米需要几分钟？ 【详解】一次反归一，先求速度，再求行走时间。 每分钟速度：300÷5=60（米/分钟） 所需时间：480÷60=8（分钟） 【答案】8分钟 8. 制作一批零件，每人每天做12个，10天可以完成。如果每人每天多做3个，几天能完成？ 【详解】归总问题，零件总数量不变，先求总量，再求新效率下的天数。 零件总量：12×10=120（个） 新效率：12+3=15（个/天） 新天数：120÷15=8（天） 【答案】8天 9. 6本笔记本24元，40元可以买多少本同样的笔记本？ 【详解】一次反归一，先求单价，再求可购买数量。 笔记本单价：24÷6=4（元/本） 可购买数量：40÷4=10（本） 【答案】10本 10. 一辆货车每次运6吨，20次运完一批粮食。如果要15次运完，每次需要运多少吨？ 【详解】归总问题，粮食总量不变，先求总量，再求新单次运量。 粮食总量：6×20=120（吨） 新单次运量：120÷15=8（吨） 【答案】8吨 进阶题（11-15题） 11. 3名工人2小时加工36个零件，照这样计算，1名工人1小时加工多少个零件？5名工人4小时加工多少个零件？ 【详解】双归一问题，先求单人单小时效率，再求总工作量。 1名工人1小时加工：36÷3÷2=6（个） 5名工人4小时加工：6×5×4=120（个） 【答案】6个；120个 12. 4台机器3小时生产120个产品，照这样计算，1台机器5小时生产多少个产品？ 【详解】双归一，先求单台机器每小时产量，再计算对应总量。 1台1小时产量：120÷4÷3=10（个） 1台5小时产量：10×5=50（个） 【答案】50个 13. 一批布料，每套衣服用布3米，可做20套。如果每套衣服节约用布0.5米，这批布料可做多少套衣服？ 【详解】归总进阶题，布料总量不变，先求总米数，再求新每套用量和新套数。 布料总长：3×20=60（米） 新每套用量：3-0.5=2.5（米） 可做套数：60÷2.5=24（套） 【答案】24套 14. 2名同学5天背诵100个单词，照这样的速度，5名同学背诵300个单词需要几天？ 【详解】双归一进阶，先求单人单日背诵量，再求所需天数。 1名同学1天背诵：100÷2÷5=10（个） 5名同学1天背诵：10×5=50（个） 所需天数：300÷50=6（天） 【答案】6天 15. 一辆汽车4小时行驶240千米，照这样的速度，行驶420千米需要多少小时？ 【详解】一次反归一，先求车速，再求行驶时间。 汽车速度：240÷4=60（千米/小时） 所需时间：420÷60=7（小时） 【答案】7小时 考点练习 16. 5台收割机4小时收割小麦80亩，照这样计算，8台收割机6小时可以收割小麦多少亩？ 【详解】双归一培优题，先求单台单机效率，再计算多台多时总量。 1台收割机1小时收割：80÷5÷4=4（亩） 8台6小时收割：4×8×6=192（亩） 【答案】192亩 17. 一项工程，6人做12天可以完成。现在增加2人，多少天可以完成这项工程？ 【详解】归总工程问题，工程总量用“人天数”表示，总量不变。 工程总人天数：6×12=72（人天） 现有人数：6+2=8（人） 所需天数：72÷8=9（天） 【答案】9天 18. 3个水龙头6分钟放水90升，照这样计算，5个水龙头放250升水需要几分钟？ 【详解】双归一混合题型，先求单一量，再反向求时间。 1个水龙头1分钟放水：90÷3÷6=5（升） 5个水龙头1分钟放水：5×5=25（升） 所需时间：250÷25=10（分钟） 【答案】10分钟 19. 一批物资，原计划8辆车15次运完，实际每辆车多装2吨，10次就运完了。每辆车原计划装多少吨？ 【详解】归总培优难题，物资总量不变，通过方程/算术法求解单一量。 总运输车次（等量关系）：总量=原计划每车吨数×8×15=实际每车吨数×8×10 算术法：10次运输比15次每次少用次数，总量恒定，多出的吨位弥补次数差。 8辆车10次多装总吨数：8×10×2=160（吨） 原计划剩余次数：15-10=5（次） 原计划每次总运量：160÷5=32（吨） 原计划每辆车运量：32÷8=4（吨） 【答案】4吨 20. 4名工人7天可以制作280个工艺品，照这样的效率，增加3名工人后，10天可以制作多少个工艺品？ 【详解】双归一综合培优题，分步求效率、人数、总量。 1名工人1天制作：280÷4÷7=10（个） 现有工人数量：4+3=7（名） 7名工人10天制作：10×7×10=700（个） 【答案】700个 学科网（北京）股份有限公司 $