第18章等腰三角形 章节检测卷 2025-2026学年沪教版五四制数学七年级下册

**基本信息** 本初中数学单元卷（期末使用）聚焦三角形性质与变换，通过基础辨析、能力提升及创新应用梯度设计，融合“将军饮马”等模型，培养几何直观与转化思想，适配全等三角形、轴对称综合单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|等腰三角形周长（题1）、全等判定（题2）|基础巩固，易错点辨析| |填空题|12题36分|角平分线性质（题9）、折叠性质（题11）、最短路径（题12）|能力提升，如题12用对称求周长最小值，体现转化思想| |解答题|6题52分|垂直平分线（题19）、网格作图（题21）、综合实践（题25）|创新应用，如题25结合“将军饮马”模型解决巡检路径，培养应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充光多第 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置 上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.每小题列出的四个备选项中只有一个 符合题目要求) 1.已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为() A.12 B.15 C.12或15 D.9或15 2.如图，已知LADB>LB>∠C,下列说法正确的是() B D A.AC>AB>AD B.AC>AD>AB C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD 3.在ABC中，∠A=70°，∠C=40°，则ABC的形状是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30,将ABC绕点C顺时针旋转a角 (0°<a<180)至△A'B'C,使得点A恰好落在AB边上，则a等于() 试卷第21页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 甲充光今第 A.150 B.90 C.30 D.60 5.如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心A,B,C围成的ABC区域内修建一个电视信号 发射塔0，使得该发射塔0到三个乡镇中心A,B,C三地的距离相等，以下选址正确的是() 6.如图，在ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个 是等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为在ABC关于点B的二分割线.例 如：如图(1)在Rt△ABC中，LA=90°，LC=20°，则直线BD是ABC关于点B的二分割 线.如图(2)，己知∠C=18°，钝角ABC同时满足两个条件①∠C为最小的角，②存在关 于点B的二分割线，当∠A=45°时，则∠CBD的度数为() A B 图(1) 图(2) A.18° B.27 C.72 D.90° 第二部分（非选择题共88分） 试卷第22页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒 里充光多第 二、填空题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 7.如图，在三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂.如果 调整架身，使重垂线正好经过点A,那么就能确认BC处于水平位置.这种做法依据的数学 原理是 C B 8.在ABC,已知AB=6cm,BC=4cm,那么∠A ∠C.(填“>=”或“<”) 9.如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB 于点D,交AC于点E,若BD=4,DE=7,则线段CE的长为 10.如图，在ABC中，∠A=∠BCA,∠ABC=I00°，D为AC的中点，延长BC至点E, 使CE=CD,连接BD和DE,则∠BDE的大小为°. D 11.如图，己知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使 点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC,则∠EFD的度数为一 12.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上 的动点，∠AOB=30°，则△PMN周长的最小值是 试卷第21页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 甲危光今第 B M 13.如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条QP,QR组成，两根木条在点Q处相连并可 绕点Q转动.另有长度与QS相等的两根木条MS,MT,其中木条MS的一端S固定在木条 QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可 改变∠PQR的大小.若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足： ST=SM,则此时∠TMR= Q ▣R M 14,如图，已知线段AB,分别以点A,B为圆心，5为半径作弧相交于点C,D.连接CD, 点E在CD上，连接CA,CB,EA,EB.若ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为 D B 15.刻图，在A8C中，C4=CB,∠C=80,分别以点4，C为圆心，大于4C的长为 半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交AC于点D,交AB于点E,则∠AED= M D E B 16.问题：如图1，己知ABC为钝角三角形，∠B=30°，用尺规作ABC的高AD. 试卷第22页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 甲充光今第 A 130° AD B130° C /E 图1 图2 作法：如图2，①分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点E;②连接AE ;③延长BC交AE于点D.线段AD即为ABC的高 判定AD为ABC高的依据是 17.如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D,连接OA.若 ∠BAC=7O°，AB=AC,则∠ADP的度数为 A D B 18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,如果点D,E分别为BC,AB 上的动点，那么AD+DE的最小值是 B D 三、解答题（本大题共有6题，第19~21题每题6分，第2224题每题8分，第25题10分， 满分52分】 19.如图， ABC中，AB=AC,∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度 数 试卷第21页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里花先多笔 20.已知a,b,C是ABC的三边长， (1)若a,b,c满足a-b+(b-c2=0,试判断ABC的形状： (2)化简：a+b-c+b-c-a 21.图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的5×5网格，点A、B均在格点上，请 用无刻度的直尺完成下列作图. B B 图1 图2 图3 (1)在图1中作出一个等腰ABC,点C在格点上. (2)在图2中作出一个面积为5的直角△ABD,点D在格点上. (3)在图3中作出等腰直角三角形ABE,点E在格点上 22.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点分别在格点上， (1)将ABC向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的△A,B,C1: (2)将ABC以点B为中心，顺时针旋转90°，请在网格图中画出旋转后的△A2BC2; 试卷第22页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒 甲危光今第 (3)请仅用无刻度直尺在线段AC,上确定一点P,使∠BCP=45°（保留作图痕迹，不需要证 明). 23.如图，点O是等边ABC内一点，D是ABC外的一点，∠A0B=110°，∠B0C=Q, △BOC≌△ADC,连接OD. 110 (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当a=150°时，试判断△A0D的形状，并说明理由； (3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形， 24.如图，ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿 CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G. B (I)求∠DCE的大小； (2)求证：△CEG是等边三角形. 25.综合与实践 问题情境：“哨塔观测与物资调度”问题一如何为巡逻哨兵设计最短巡查路径？如何让补给 车队以最低成本抵达前线？这类问题在军事物流、城市规划、网络路由等领域有着广泛的应 用。 问题原型：如图1，一位将军每日需从军营A出发，到河边（直线1）饮马后，再前往哨所 B.如何选择饮马点P,使得总路程AP+PB最短？ 数学模型：作点A关于直线I的对称点A;连接A'B,与直线I交于点P；点P即为所求饮马 试卷第21页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒 里充光今笔 点，路径AP+PB最短. 基站)》 M A 小河W 图1 图2 图3 备用图 (1)利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的 思想.（填选 项字母) A.转化与化归B.数形结合C.方程D.分类讨论 (2)如图2，在等边ABC中，E是AB上的动点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的动 点，若AD=6,求PE+PB的最小值. (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站A,需定期对一片扇形检修区（由射线OM 和ON构成，∠MON=30°)进行无人机巡检.无人机从电站A出发，需先到地面基站边缘 OM进行数据采集，再到河边ON取水冷却设备，最后返回A站.已知OA=5km,请在备用 图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹），并根据所画图示计算全程最短路程， 试卷第22页，共22页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期第十八章 （等腰三角形）章末检测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：沪教版（五四制）新教材七年级数学下册第18章（等腰三角形）． 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求) 1．已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（   ） A．12 B．15 C．12或15 D．9或15 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形的周长，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 分腰长为和，根据三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是和， ∴当腰长为时，，三角形的周长为； 当腰长为时，，不能构成三角形； ∴此等腰三角形的周长为， 故选：B ． 2．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 3．在中，，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定；求出即可判断出三角形的形状．解题的关键是求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形． 故选：B． 4．如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 5．如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等， 则， ∴点在线段、的垂直平分线上， 即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔， 选项B符合题意． 故选：B． 6．如图，在中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为在关于点B的二分割线．例如：如图（1）在中，，则直线是关于点B的二分割线．如图（2），已知，钝角同时满足两个条件①为最小的角，②存在关于点B的二分割线，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，直角三角形，等腰三角形的定义，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键．根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】如图所示：作于点D， ∵， ∴， ∴为等腰三角形，为直角三角形， ∴为在关于点B的二分割线． ∵， ∴． 故选C． 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 7．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是________． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 8．在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 9．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 10．如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为________°． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，根据三角形的性质得和，结合题意得和，利用三角形外角和性质得即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：110． 11．如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 12．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在． 13．如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，可得为等边三角形，再利用，求得即可解答，熟知等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 为等边三角形， ， ， ， , ， ， 故答案为：． 14．如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 15．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，结合，再进一步的解答即可. 【详解】解：，， , ∴ 垂直平分 ∴ ∴． 故答案为：． 16．问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【答案】三线合一 【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高． 【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， (三线合一)， 是的高． 故答案为：三线合一． 17．如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________． 【答案】85°/85度 【分析】根据题意利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=35°，进而结合三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC， ∴∠OAC=35°，AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA=35°， ∴∠AOC=110°， ∵△OCP为正三角形， ∴∠COP =60°， ∴∠AOP=∠AOC -∠COP =50°， ∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°． 故选：85°． 【点睛】本题主要考查三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC=∠OCA=35°是解题的关键． 18．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题(本大题共有6题，第19~21题每题6分，第22~24题每题8分，第25题10分，满分52分) 19．如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等边对角及三角形内角和可得，再利用垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， 又 ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， ． 20．已知，，是的三边长． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)化简： 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可． 【详解】（1）解：， 且， 是等边三角形； （2）解：，，是的三边长，， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，绝对值的非负性，掌握以上知识是解题的关键． 21．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上， (1)将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的； (2)将以点B为中心，顺时针旋转90°，请在网格图中画出旋转后的； (3)请仅用无刻度直尺在线段上确定一点P，使（保留作图痕迹，不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （3）连接，由旋转的性质可得，，易得，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 23．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 24．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 25．综合与实践 问题情境：“哨塔观测与物资调度”问题——如何为巡逻哨兵设计最短巡查路径？如何让补给车队以最低成本抵达前线？这类问题在军事物流、城市规划、网络路由等领域有着广泛的应用． 问题原型：如图1，一位将军每日需从军营出发，到河边（直线）饮马后，再前往哨所．如何选择饮马点，使得总路程最短？ 数学模型：作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． (1)利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的___________，思想．（填选项字母） A．转化与化归    B．数形结合    C．方程    D．分类讨论 (2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值． (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从电站A出发，需先到地面基站边缘进行数据采集，再到河边取水冷却设备，最后返回站．已知，请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹），并根据所画图示计算全程最短路程． 【答案】(1)A (2)6 (3)整个巡检过程的最短路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的性质与判定； （1）利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的转化与化归的思想； （2）如图，连接，，过点作于点，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）利用对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的转化与化归的思想； 故选：A． （2）如图1，连接，，过点作于点． 在等边中，是的平分线， 点关于直线对称， ， ， 的最小值为的长． 和都是等边三角形的高， ， 的最小值为6． （3）如图2，如图，分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．   由题意，得． ， ， 为等边三角形， ． ， ， 整个巡检过程的最短路程为． 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $