16.1～18.4 尺规作图专题训练 2025-2026学年沪教版(五四制)七年级下册

**基本信息** 从工具原理到综合应用的系统化训练，以“概念-原理-应用”逻辑链整合8大作图模块，注重逻辑推理与空间观念培养，适配中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础作图|5类核心作图+12道真题|SSS全等判定、中垂线性质、同位角转化|工具功能→基本操作→复合作图| |三角形作图|3类全等+2类特殊三角形|已知边/角作图原理、垂直平分线定位|基本作图→三角形判定→性质应用| |最短路径|将军饮马+4类变式|轴对称转化、垂线段最短|几何直观→模型构建→逻辑推理|

尺规作图专题训练 1. 作角平分线 2. 作中垂线(垂直平分线) 3. 作一个角等于已知角 4. 过直线外一点作已知直线的平行线 5. 作已知角的和、差、倍角 6. 作三角形全等于已知三角形 7. 作已知角、边的三角形 8. 最短路径问题 尺规作图专题 一 尺规作图:是古希腊数学中一种非常经典且严谨的几何作图方法。它的核心概念不仅仅是“怎么画”，更在于“允许使用什么工具”以及“能解决什么问题”。简单来说，尺规作图就是仅使用没有刻度的直尺和圆规，在有限步骤内完成几何图形的绘制， 二 尺规作图的核心概念解析： 1. 直尺:没有刻度、无限长、功能唯一 (1) 不能用来测量长度。 (2) 理论上可以画任意长的直线。 (3) 只能用来连接两个已知点画直线（或线段、射线），或者延长已知线段。 2. 圆规：功能唯一，画圆、弧、取相等的线段长度等 只能以已知点为圆心，以已知两点间的距离为半径画圆或圆弧。注：虽然现代圆规可以保持张开角度移动，但在严格的古希腊公理中，圆规提起后就会闭合不过后来数学家证明，这两种圆规在作图能力上是等价的。 三 基本操作原则:所有的复杂图形都必须由以下基本操作组合而成： 1.过两个已知点作一条直线。 2.以已知点为圆心，已知长度为半径作圆。 3.找出直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点。 四 学习尺规作图的意义 中学生学习尺规作图，其价值不仅仅是学习绘图技能，更是提升学生数学思维能力和数学核心素养、实现深度学习。尺规作图为通过“文字语言、符号语言与图形语言”的相互转化，将抽象的几何定理（将军饮马求最短路径问题）直观化、可视化，从而有效发展空间观念与几何直观。其次，在思维训练上，它要求学生在严格的工具限制下构思图形、设计流程并验证结果，这一过程深刻培养了学生的逻辑推理能力、严谨的科学态度以及化归等核心数学思想。尺规作图不仅蕴含着中国古代“没有规矩不成方圆”的传统哲学智慧，还能引导学生感受几何图形的结构美与对称美。 尺规作图总结 I.作一条线段等于已知线段 (I)作射线AP (2)用圆规量已知线段长度a (3)点A为圆心，画弧交射线AP于点B，则线段AB即为所求 2.作一个角等于已知角∠ABC (1) 以O为圆心，任意长为半径，画弧交OA，OB于点C、D (2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径，画弧，交O'A'于点C'， (3)以点C'为圆心，CD长为半径，画弧，交于D'， (4)过D'点作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求 3.作一个角的角平分线 (I)以点O为圆心，任意上为半径画弧，两弧交∠AOB的两边OA、OB于点M、N。 (2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C. (3)作射线OC 4.过一点作已知直线的垂线 点O在直线上 (I)以点O为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于M、N两点; (2)以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在直线两侧画弧，分别交交于点A、B两点; (3)作直线AB. 点P在直线外 (I)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线于A、B两点; (2)以点A、B为圆心，以大于AB长为半径在直线一侧画弧，交于Q点; (3)作直线CQ. 5.作一条线段的垂直平分线 (I) 分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于C，D两点. (2)作直线CD. 6. P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线. 法一: (1)在直线AB上取一点N，过作直线NP (2)分别以点N，点P为圆心，任意长为半径画弧，交于E，F，G，Q四点 (3)取EF长度为半径，点P为圆心画弧，交弧于点Q (4)作直线PQ，直线MQ或CD就是所求直线 法二: (1)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于点M， N (2)分别以M和N为圆心，大于MN长度为半径画弧，交于点C (3)连接PC直线 (4)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线PC于X，Y点 (5)分别以X，Y为圆心，任意长为半径画弧，交直线EF于点Q (6)连接直线PQ，既PQ//AB 法三: 在AB上取点M、N， 作PQ=MN，N Q=MP 法四: 在AB上任取一点M，连接PM， 作∠PMB的角平分线，以P为圆心，PM为半径作弧与角分线，交于点Q，连接PQ. 7. 已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形 ①已知三边作三角形 原理：作3条已知线段作线段AB=c; 以A为圆心， b为半径作弧； 以B为圆心， a为半径作弧； 相交于点C，连接AC、BC ②已知两边及其夹角作三角形 原理：作已知线段+已知角 ③已知两∠及其夹边作三角形 原理：作已知线段+已知角 8.已知底边及底边上的高线 作等腰三角形 原理：作已知线段+垂直平分线 9.已知一直角边和斜边作直角三角形 原理：作垂线+作已知线段 任意一条直线，在直线上截取AB=h 以A为圆心，AB为半径作弧得新线段长度为2h; 作新线段的垂直平分线(构造出直角); 以B为圆心，l为半径作弧，交垂直平分线于点C; 连接BC. 1. 作角平分线 例题 按下列要求尺规作图，保留作图痕迹． 作的角平分线；     【分析】本题考查了基本作图，作垂直平分线，作角平分线： 根据尺规作图，以任意长度为半径，为圆心，交射线、于点、，以点、为圆心，大于的长为半径，在的内部作弧，两弧交于点，作射线，则射线即为所求； 针对性训练 1. （24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 【答案】图形见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可； 2. （25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图所示在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D； (2)在（1）中作出的图形中，计算的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：∵平分， ， ， 在中，， ， ． 3. （19-20七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，按下列要求作图： （1）作角平分线AD； （2）作的中线BE； （3）作中AC边上的高BF． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析． 【分析】（1）利用量角器量出∠BAC的度数，再除以2，算出度数，然后画出线段AD即可； （2）首先找出AC的中点E，然后画线段BE即可； （3）利用直角三角板，一个直角边与AC重合，另一条直角边过点B，画线段BF即可． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示； （3）如图所示． 【点睛】本题考查了画三角形的高、中线、角平分线，关键是注意三角形的高、中线、角平分线都是线段． 4. （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的边上的高． (1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，以及三角形内角和定理的应用． （1）（1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用三角形内角和定理可得，，再结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：是的边上的高， ， ， ，， ，， 平分， ， ． 5. （22-23七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，． (1)尺规作图（保留作图痕迹）：作的角平分线； (2)在满足（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，平行线的判定，角平分线的定义等知识， （1）根据要求作出图形； （2）证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）证明：， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，平分， ， ， ． 6. （25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线； （2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高． 【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线； （2）解：如图，为三角形的三条高． 7. （17-18七年级下·江苏泰州·期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上， （1）用直尺和圆规作出∠CAD的角平分线AE（保留作图痕迹）； （2）若∠B=∠C，求证：AE∥BC． 【答案】(1)作图见解析；（2）证明见解析. 【详解】分析：（1）利用角平分线的性质作图得出即可；     （2）利用角平分线的性质以及平行线的判定得出即可． 详解：（1）如图所示：     （2）∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE．     ∵∠B=∠C，∠B+∠C=∠CAD，∴∠CBA=∠DAE，∴AE∥BC． 点睛：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定等知识，根据已知得出∠CBA=∠DAE是解题的关键． 8. （22-23七年级下·河南新乡·期末）下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 执“规”“矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规、“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的角平分线呢？    办法1： 1．以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 2．分别以M、N为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C． 射线即为的角平分线．    办法2： 1．两个“矩”如图放置，顶点重合于C，一边重合于直线； 2．以点C为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 3．使点M在射线上，点N在射线上，调整“矩”直至直线经过点O； 射线即为的角平分线，    办法3： 1．作，使； 2．在射线上截取，使； 3．做射线； 射线OC即为的角平分线．    经过测量，上述三种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： (1)填空：“办法1”判断三角形全等的依据是______； (2)请在小明的办法2和办法3中选择一种，证明其合理性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先根据尺规作图得到，，然后利用即可得到； （2）办法2证明：根据题意证明，得到即可求解； 办法3证明：根据等边对等角得到，然后根据三角形外角的性质和证明即可． 【详解】（1）根据尺规作图可得， ∴， 又∵ ∴ ∴“办法1”判断三角形全等的依据是； （2）办法2证明： 根据尺规作图可得， 又∵， ∴ ∴ ∴射线即为的角平分线； 办法3证明： ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴射线即为的角平分线． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，等边对等角等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9. （23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，点C在的内部，且；是的角平分线． (1)作； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹．） (3)若射线分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线表示 方向； (4)在图中找出与互余的角是 ； (5)在图中找出与互补的角是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)北偏西 (4)和 (5)和 【分析】（1）由题意知，，则，过作，如图1，即为所作； （2）作的平分线即可； （3）由射线分别表示从点O出发的北、东两个方向，可知射线表示北偏西方向； （4）由题意知，，由，，作答即可； （5）由题意知，，由，作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 过作，如图1，即为所作； （2）解：作的平分线，如图2，即为所作； （3）解：∵射线分别表示从点O出发的北、东两个方向， ∴射线表示北偏西方向， 故答案为：北偏西； （4）解：由题意知，， ∵，， ∴与互余的角是和， 故答案为：和； （5）解：由题意知，， ∴， ∴与互补的角是和． 【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，方向角，互补和互余等知识．熟练掌握作垂线，作角平分线，方向角，互补和互余是解题的关键． 2. 作中线、垂线和中垂线 例题1.已知：如图，在中，请用尺规作出边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】据中线的定义，要得到边上的中线，只需要先确定边的中点，再连接点和中点即可，可通过作的垂直平分线确定的中点， 【详解】解：分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于点，连接 线段即为所求作的边上的中线． 例题2.如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）作的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图， 高即为所作； （2）如图所示： 垂线即为所作； （3）如图，点即为所求； 例题3.阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段． 小芸的作法如图： 如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； （2）作直线． 请你回答： (1)作图第一步为什么要大于的长？ (2)小芸的作图是否正确？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确；理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交，即可得出答案； （2）依据证明，即可得出是的对称轴，从而得解． 【详解】（1）解：如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交， 所以作图第一步要大于的长； （2）解：小芸的作图是正确的． 理由：由作图知：，，而是两个三角形的公共边． ∵在和中， ∴． ∴是的对称轴 ∴是的垂直平分线． 针对性训练 1. （24-25七年级下·上海·期末）用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了垂线的尺规作图，熟悉掌握垂线的作图方法是解题的关键． 根据垂直的作图方法直接作图即可． 【详解】解：如图所示即为所求： 2. 尺规作图 ：作线段的垂直平分线．（要求：写作法，保留作图痕迹）． 解:分别以，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线，即为线段的垂直平分线．如图所示，即为所求； 3. （25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）按要求完成尺规作图 (1)已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线； (2)已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线； 【答案】(1)如图所示，直线为所求平行线， (2)如图所示，直线为所求垂线， 【分析】（1）过点任意作一条直线与相交，利用同位角相等两直线平行画一个角等于已知角即可； （2）以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画圆，交于两点，作两点之间线段的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 4. （24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （2）按照作一个角等于已知角的尺规作图法，过M点作，则直线平行于直线． 本题考查了基本的尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线和做一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 5. （24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，点C是线段外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段的垂直平分线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质定理，熟练掌握以上知识点是关键． 法一：如图1，以为圆心，的长为半径画弧，若弧过点，则证明点C在线段的垂直平分线上； 法二：如图2，直接利用尺规作图—作的中垂线，观察点是否在中垂线上即可． 【详解】解：如图所示，两种方法确定点C在线段的垂直平分线上． 6. （17-18七年级下·山东烟台·期末）如图，已知线段． （1）作的垂直平分线； （2）在直线上（的上方）作一点，使．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 【答案】（1）详情见解析；（2）详情见解析 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别在AB上下两处相交，连接两处交点即可； （2）以A点为圆心，AB长为半径画弧交l于D，则DA=AB，利用等边三角形性质即可得出，据此从而画出D点. 【详解】（1）如图所示，直线l即为所求； （2）如图所示，点D即为所求； 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的画法以及等边三角形性质的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 7. （22-23八年级上·广东广州·期中）如图，已知 (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于E，作的角平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不用写作法） (2)若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线及角平分线的作图方法作图即可； （2）利用三角形内角和及角平分线定义，由三角形外角性质求出，根据线段垂直平分线得到，即可求出的大小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了基本作图—线段垂直平分线和角平分线，角平分线的定义求角度，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8. （23-24七年级下·上海·期末）已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，直角三角形性质，等腰三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F，点E、F即为所求作； （2）根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据直角三角形性质得到，，得到，得到，即得是等腰三角形． 【详解】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点， 作直线，分别交线段、与点E、F， E、F 即为所求作； （2）是等腰三角形，理由： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 3. 作一个角等于已知角 例题 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：如图，．求作：一个以O为顶点的角，使它等于． 作法： ①在射线上任取一点C，以O为圆心，为半径作，与射线交于点D； ②连接，以点C为圆心，为半径作，与交于点P； ③作射线，则即为所求． 根据上述作法，请回答： （1）在右图中利用尺规补全图形；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）补全下面的推理过程：连接，在中 ∵________（填线段的名称） ∴（_______________）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析；（2）CD；在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据圆的对称性回答即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求． （2）如图，连接，在中， ∵CD， ∴（在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）， 故答案为：CD；在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 【点睛】本题考查了圆的对称性，熟练掌握圆的对称性定理是解决本题的关键，在同圆或等圆中，两条弦，两条弧或者两个圆心角这三组量中有一组量相等，那么所对的另外两组量也分别相等． 针对性训练 1. （2024七年级下·全国·专题练习）用尺规作图．如图，以点B为顶点，射线为一边，在外再作一个角，使其等于． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于E、F，再以F为圆心，以的长为半径交圆B于点G，作射线，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； 以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于E、F，再以F为圆心，以的长为半径交圆B于点G，作射线，则即为所求． 2. （2021·湖南长沙·一模）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：∠AOB，求作：一个角∠A'O'B'，使它等于∠AOB． 作法：如图， ①作射线O'A'； ②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D； ③以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'； ④以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'； ⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角． 请完成下列问题： (1)该作图的依据是________（填序号）． ①ASA    ②SAS    ③AAS    ④SSS (2)请证明∠A'O'B'=∠AOB． 【答案】(1)④ (2)详见解析 【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS，即可求解； （2）由作法得已知：OC＝，，，从而，即可求证． 【详解】（1）解：由作法得OD＝OC＝O'D'＝O'C'，C'D'＝CD， 所以根据“SSS”可判断， 所以∠O'＝∠O． 故答案为：④； （2）证明：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D' 在△OCD和△O'C'D'中， ， ∴△OCD≌△O'C'D'（SSS）， ∴∠A'O'B'＝∠AOB． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法． 3. （23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（    ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤ 【答案】B 【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①③②⑤④． 故选：B． 4. （24-25七年级上·河北邢台·期中）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图所示． （1）画射线；（第1步） （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；（第2步） （3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（第3步） （4）以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点；（第4步） （5）过点作射线．（第5步） 就是所求作的角． 以上作法中，错误首先出现在（   ） A．第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步 【答案】D 【分析】本题考查作图—作角等于已知角，掌握基本作图方法是解题关键．根据作一个角等于已知角的步骤解答即可． 【详解】解：由步骤可知（4）应为以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点， 故错误首先出现在第4步． 故选D． 4. 过直线外一点作已知直线的平行线 例题.求作：P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线. 【详解】解： (1)在直线AB上取一点N，过作直线NP (2)分别以点N，点P为圆心，任意长为半径画弧，交于E，F，G，Q四点 (3)取EF长度为半径，点P为圆心画弧，交弧于点Q (4)作直线PQ，直线MQ或CD就是所求直线 针对性训练 1. （2018·北京·中考真题）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点．求作：，使得PQ // 作法：如图， ①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵_______，_______， ∴PQ //（____________）（填推理的依据）． 【答案】(1)作图见解析（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边． 【详解】分析：根据作图过程，补全图形即可. 详解：（1）尺规作图如下图所示： （2），，三角形中位线平行于三角形的第三边． 点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键. 2. 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②的平分线； ③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ④作直线． 则直线就是所求作的直线． 请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线和线段，平行线的判定，等腰三角形的性质； 根据尺规作角平分线和作线段的方法进行作图即可． 【详解】解：如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 3. （24-25七年级下·广东河源·期末）在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究． 方法一：用尺规作图的方法画平行线 （1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作． A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． （2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示． B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． 方法二：用折纸的方法画平行线 （3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）． 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 【答案】（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据作图，可得到，即内错角相等，两直线平行； （2）根据作图，可得到，即同位角相等，两直线平行； （3）根据折叠，可得到根据折叠的性质，折痕垂直于两点的连线，利用同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，可得到结果． 【详解】（1）A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是平行，依据是：同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 4. （21-22七年级下·北京东城·期末）下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程． 已知：点在直线上，点在直线外，且． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在线段的延长线上任取一点； ②以为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作； ③将射线反向延长． 直线就是所求作的直线． 根据小红的作图过程，解决以下问题： (1)补全图形，并完成证明过程； 证明：∵，， ∴． ∴（____________）（填推理的依据）． (2)在（1）的条件下，过点作的垂线，交直线于点．求的度数． 【答案】(1)图见详解；同位角相等，两直线平行 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得到答案； （2）根据平角为求出，再根据两直线平行，同位角相等得出． 【详解】（1）证明：如下图所示 ∵，， ∴， ∴（_同位角相等，两直线平行_）; （2）如下图所示，作交DC于点F， ∵， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同位角相等． 5. 作已知角的和、差、倍角 例题 .如图，已知，请用尺规作，使． 【分析】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，分别作出即可 【详解】解：以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交于点M，N，再以点E为圆心，以的长为半径画圆，交于点Ｆ，以的长为半径，以点Ｆ为圆心画圆，两圆相交于点Ｇ，作射线即可得出．同理，在外侧可作，从而可得出． 针对性训练 1. （24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍． （2）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查作图－基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据作一个角等于已知角的方法，作出图形即可； （2）以点M为圆心，一定长度为半径画弧，交于点G，以点G为圆心，为半径画弧，交原来的弧于点E，连接，则，再作的角平分线，则即为所求． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 根据作图可知：为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴． 2. （21-22七年级下·福建三明·期中）作图题，如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】先作∠EOC=∠A，再作∠DOC=∠B，则∠DOE为所作． 【详解】解：如图，∠DOE为所作． ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3. （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果． 【详解】解：如图，． 46．（19-20六年级下·上海静安·单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求． 【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 4. （22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【答案】见解析 【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则． 【详解】如图所示，即为所求．    【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 5. （2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，已知和，利用尺规作（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查角的尺规作图，熟练掌握角的尺规作图是解题的关键；作射线，再作，以为一边，在的外部作，就是所求作的角． 【详解】解：所作图形如图所示： 6. （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知，，请用尺规作图法求作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据题意，作直线，先作出，在的左侧作，则，即为所求作的角． 【详解】解：如图，即为所求作的角． 7. （24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）． (1)求作：的补角； (2)求作：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了利用尺规作角的和差，熟练掌握尺规作图法是解题的关键． （1）延长到，即为所求； （2）在的左侧作，即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 6. 作三角形全等于已知三角形 例题 . 如图，．用直尺和圆规作，使得．（要求：保留作图痕迹）    【分析】本题主要考查了作一个三角形的全等三角形，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：如图所示， 作直线l，并截取EF使得EF=BC，再以点E为圆心，BA长为半径，画弧，再以F为圆心，AC长为半径画弧，交于D、F两点，则就是所求作的三角形．   针对性训练 1. （18-19七年级下·福建三明·阶段检测）作图题：已知，选择适当的方法，求作，使．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】作射线，在射线上截取线段，以点E为圆心，为半径画弧，以点F为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、，根据，则． 【详解】解：如图，即为所求三角形，    【点睛】此题考查了三角形的作图和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 2. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】在的上方作，在射线上截取线段，使得，在射线上截取线段，使得，连接，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 3. （22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】先作，再截取，再作，记另外一边的交点为D，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求．    【点睛】本题考查的是作三角形，熟练的利用两角与两角的夹边作三角形是解本题的关键． 4. （17-18七年级下·全国·课后作业）尺规作图:如图，小明在作业本上画的△ABC被墨迹污染，他想画一个与原来完全一样的△A'B'C'，请帮助小明想办法用尺规作图法画出△A'B'C'(不写作法，保留作图痕迹)，并说明你的理由． 【答案】见解析 【分析】先用圆规作出B'C'，使得B'C'=BC，然后再作∠B'=∠B和∠C'=∠C，两个角边延长线的交点即为A'. 【详解】作出△A'B'C'如图所示．在△ABC和△A'B'C'中， ∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'， 所以△ABC≌△A'B'C'． 【点睛】本题考查尺规作图，解题关键是用尺规作出∠B'=∠B和∠C'=∠C. 5. （18-19八年级上·河北石家庄·期中）尺规作图：如图，已知△ABC，求作△ADE≌△ABC，使所作的△ADE和△ABC有一个公共的顶点A，且DE∥BC．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】延长CA到M，在射线AM上截取AE＝AC，延长BA到N，在射线AN上截取AD＝AB，连接DE，△ADE即为所求． 【详解】如图，△ADE即为所求． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7. 作已知角、边的三角形 例题1.已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 例题2.已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】解：如图：即为所作． 例题3（24-25七年级上·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形；根据题意作，．连接，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求 针对性训练 1. 尺规作图（不写作法，保留痕迹）； 已知：线段， 求作：，使得．    【答案】见解析 【分析】利用已知角作出，进而利用得出． 【详解】解：作出边， 作出， 作出边， 连接，   为所求三角形． 【点睛】本题考查的是复杂作图，作三角形，同时考查的是全等三角形的判定与性质，理解作图的依据是解本题的关键． 2. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，． 【答案】解：如图，就是所求作的直角三角形． 【分析】在射线上截取，使得，在射线上 截取，使得，连接，即为所求． 【详解】略 3. （25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线，再以点A为圆心，线段的长为半径画弧交射线于D，接着以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于B，再接着作，最后以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，连接，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 4. （24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的尺规作图，先作射线，在射线上截取，作，作，交于点C，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； 5. （25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 6. （24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图的基本技能，特别是利用垂直平分线和圆弧截取特定长度的方法构造直角三角形．解题的关键是通过作垂线确定直角，并利用圆规精确截取2单位和4单位长度，最终连接斜边完成三角形． 【详解】如图，任画一条直线，在线上取点B，以B为圆心画弧交直线于两点； 分别以为圆心，大于的等长半径画弧，交于点F； 连接，得直角（依据线段垂直平分线性质）． 在上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交于C，则边的长为4倍的单位长度； 在直线上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交于A，则边的长为2倍的单位长度： 最后用直尺连接两点． 则直角三角形就是所作的三角形． 7. （24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，尺规作线段等于已知线段，尺规作线段的垂直平分线， 对于（1），作射线，以点F为圆心，为半径画弧，再以点A为圆心，为半径画弧，再以点G为圆心，为半径画弧，两弧交于点H，作射线，然后在射线上截取，同理作，交于点C，可知即为所求作的三角形； 对于（2），以点A为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点I，J，再以点I，J为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线，交的延长线于点D，则即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，即为所求作． 8（24-25七年级下·上海·期中）已知：线段，，． (1)用尺规作出，使，，（保留作图痕迹）； (2)画出边上的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，作垂线．熟练掌握尺规作线段和垂直平分线，尺规作角的方法，是解题的关键． （1）根据尺规作线段，尺规作角的方法画出即可； （2）作的垂直平分线，交于点D，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，为所求作的三角形边上的中线． 8. 最短路径问题 例题 1.综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，整个过程所行的路程为． 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 例题 2.作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求， 1. 解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等 例题 3.按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题； （1）作点关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求； （2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可． （4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求． 【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可） （2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）如图④，即为所求的桥． 根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． （4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 针对性训练 1. 笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 (2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 【分析】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点，点为所选的位置。 【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 【点睛】本题考查了两点之间线段最短求点的位置，掌握对称点作法及轴对称性质与两点之间线段最短是解题的关键。 2. （23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）如图， 已知直线， ， ， 三点， ， 两点在直线的异侧， 请按下列要求作图． (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (1)在直线上求作一点 ，使到，两点距离之和最短； (2)在直线上求作一点 ， 使 ； (3)求作一点，使点到，，三点距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接交于点，则点即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点，则点即为所求； （3）作的垂直平分线，交的垂直平分线于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 3. （24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 4. -26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短： （1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小； （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可； 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求： （2）解：如图所示． 5. （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．由题意分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 6. （25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线、作垂直平分线，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．连接，作的垂直平分线，作的平分线，与两直线的交点即为超市所在的位置． 【详解】解：如图所示，点即为所求超市的位置． 7. （25-26七年级上·山东东营·阶段检测）作图 (1)如图（1），某地有两所大学，求作一娱乐场所在直线，使其到两所大学的距离相等．（要求保留作图痕迹） (2)如图（2），求作的平分线．（要求保留作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了尺规作图-角平分线、线段垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质． （1）作的垂直平分线即可． （2）根据尺规作角平分线的方法解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． ． 8. （25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， ； （2）解：如图，另任意作桥，连接，，， ， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 9. （25-26七年级上·全国·单元复习）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画线段AB． (2)连接CD，并将其反向延长至点E，使得． (3)在平面内找到一点F，使点F到A，B，C，D四点距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接即可． （2）根据要求画出点即可． （3）连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求． （2）解：如图所示，． （3）解：如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查线段，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （25 10. （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面上有四个点，，，，按要求完成下列作图． (1)作射线． (2)连接并延长，与射线交于点． (3)在平面内找一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据射线的定义作图即可． （2）根据线段的定义按要求画图即可． （3）连接，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，连接，相交于点，则点即为所求． 9. 其他 1. （2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作的平分线交的垂直平分线于点P，连接即可． 【详解】解：如图，点P即为所求， ∵平分，， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴． 2. 如图，已知线段AB和射线AC. (1)在图1中，在射线AC上求作一点D，使DA=DB; (2)在图2中，在射线AC上求作一点E，使∠EBA=2∠BAC. 3. （24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）作的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图， 高即为所作； （2）如图所示： 垂线即为所作； （3）如图，点即为所求； 4. （18-19七年级下·上海·阶段检测）画图题： （1）画△ABC，使BC=5cm，∠B=45°，∠C=60°； （2）画出（1）中△ABC的角平分线AD（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）用尺规画△ABC即可； （2）根据用尺规作角平分线的方法即可得△ABC的角平分线AD. 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 5. （25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）按要求作图： (1)尺规作图，在边上找一点N，使得．（保留作图痕迹） (2)在边上找到点D，使得平分；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查作图—复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的性质把复杂的作图拆解成基本作图， （1）作线段的垂直平分线，交于点N，根据线段垂直平分线的性质得到，则； （2）延长至格点E，使，连接，取的中点F，连接交于点D； 【详解】（1）解：如图，点N即为所求； （2）解：如图，点D即为所求； 6. （2025·河南周口·二模）如图，在中，D为边上一点，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线交于E，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，等腰三角形的判定； （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）根据，得到，根据等角对等边得到． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：由题意得，，， ， ， ． 7. （25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，作角平分线， 先以点A为圆心，以为半径画弧，交于点H，再分别以点B，H为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交于点D；然后以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点H，I，作直线交于点E，连接；接下来以点B为圆心，以为半径画弧，交于点K，再以点J，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线交于点F，则即为所求作． 【详解】解：如图所示，即为所求作； 8. （23-24八年级下·江西九江·期中）已知：如图，求作：一点，使在上，且点到的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，点到的两边的距离相等则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于P，点P即为所求． 9. （25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，已知长方形，点在线段上，将沿直线翻折后，点落在线段上的点． (1)用圆规和直尺画出（保留作图痕迹）； (2)如果的周长为，的周长为，用含有的代数式表示的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作线段以及作线段的垂直平分线，折叠的性质， （1）作交于点，再作的垂线交于点，连接，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，根据已知表示出，，根据长方形的对边相等，列出等量关系，化简后即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵将沿直线翻折后，点落在线段上的点， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. （24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，根据下列要求作图并回答问题： (1)定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接.如果平分，那么的度数为________； (3)在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）作出线段的垂直平分线交于，点即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角结合角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）以为圆心，为半径画弧交于，连接交于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， ， 证明：由作图可得：垂直平分，， ∴，即点是的外心； （2）解：如图： ， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，以为圆心，为半径画弧交于，连接交于，点即为所求， 由作图可得、关于直线对称， ∴， ∴由两点之间，线段最短可得，，此时点到点和点的距离和最短． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11. （24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 【答案】(1)的度数为； (2)见解析． 【分析】（）由，则，，又沿着直线翻折得，点的对应点为点，所以，然后通过角度和差即可求解； （）根据作一个角等于已知角的方法作出，交于点，则即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵沿着直线翻折得，点的对应点为点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：如图，即为所求． 12. （25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）延长，以为半径，点C为圆心作圆弧交直线于点G，再分别以A、G为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接，交于点D，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）根据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）解：边上的高如图所示： （2）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图所示： （3）解：根据作图有：， ∴点B到直线的距离是线段的长度， 13. (25-26七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论） 【答案】作图见解析 【分析】分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，由“”易证，可知四边形为轴对称四边形，故即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 尺规作图专题训练 1. 作角平分线 2. 作中垂线(垂直平分线) 3. 作一个角等于已知角 4. 过直线外一点作已知直线的平行线 5. 作已知角的和、差、倍角 6. 作三角形全等于已知三角形 7. 作已知角、边的三角形 8. 最短路径问题 尺规作图专题 一 尺规作图:是古希腊数学中一种非常经典且严谨的几何作图方法。它的核心概念不仅仅是“怎么画”，更在于“允许使用什么工具”以及“能解决什么问题”。简单来说，尺规作图就是仅使用没有刻度的直尺和圆规，在有限步骤内完成几何图形的绘制， 二 尺规作图的核心概念解析： 1. 直尺:没有刻度、无限长、功能唯一 1.不能用来测量长度。 2.理论上可以画任意长的直线。 3.只能用来连接两个已知点画直线（或线段、射线），或者延长已知线段。 2. 圆规：功能唯一，画圆、弧、取相等的线段长度等 只能以已知点为圆心，以已知两点间的距离为半径画圆或圆弧。注：虽然现代圆规可以保持张开角度移动，但在严格的古希腊公理中，圆规提起后就会闭合不过后来数学家证明，这两种圆规在作图能力上是等价的。 三 基本操作原则:所有的复杂图形都必须由以下基本操作组合而成： 1.过两个已知点作一条直线。 2.以已知点为圆心，已知长度为半径作圆。 3.找出直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点。 四 学习尺规作图的意义 中学生学习尺规作图，其价值不仅仅是学习绘图技能，更是提升学生数学思维能力和数学核心素养、实现深度学习。尺规作图为通过“文字语言、符号语言与图形语言”的相互转化，将抽象的几何定理（将军饮马求最短路径问题）直观化、可视化，从而有效发展空间观念与几何直观。其次，在思维训练上，它要求学生在严格的工具限制下构思图形、设计流程并验证结果，这一过程深刻培养了学生的逻辑推理能力、严谨的科学态度以及化归等核心数学思想。尺规作图不仅蕴含着中国古代“没有规矩不成方圆”的传统哲学智慧，还能引导学生感受几何图形的结构美与对称美。 尺规作图总结 I.作一条线段等于已知线段 (I)作射线AP (2)用圆规量已知线段长度a (3)点A为圆心，画弧交射线AP于点B，则线段AB即为所求 2.作一个角等于已知角∠ABC (1) 以O为圆心，任意长为半径，画弧交OA，OB于点C、D (2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径，画弧，交O'A'于点C'， (3)以点C'为圆心，CD长为半径，画弧，交于D'， (4)过D'点作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求 3.作一个角的角平分线 (I)以点O为圆心，任意上为半径画弧，两弧交∠AOB的两边OA、OB于点M、N。 (2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C. (3)作射线OC 4.过一点作已知直线的垂线 点O在直线上 (I)以点O为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于M、N两点; (2)以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在直线两侧画弧，分别交交于点A、B两点; (3)作直线AB. 点P在直线外 (I)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线于A、B两点; (2)以点A、B为圆心，以大于AB长为半径在直线一侧画弧，交于Q点; (3)作直线CQ. 5.作一条线段的垂直平分线 (I) 分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于C，D两点. (2)作直线CD. 6. P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线. 法一: (1)在直线AB上取一点N，过作直线NP (2)分别以点N，点P为圆心，任意长为半径画弧，交于E，F，G，Q四点 (3)取EF长度为半径，点P为圆心画弧，交弧于点Q (4)作直线PQ，直线MQ或CD就是所求直线 法二: (1)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于点M， N (2)分别以M和N为圆心，大于MN长度为半径画弧，交于点C (3)连接PC直线 (4)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线PC于X，Y点 (5)分别以X，Y为圆心，任意长为半径画弧，交直线EF于点Q (6)连接直线PQ，既PQ//AB 法三: 在AB上取点M、N， 作PQ=MN，N Q=MP 法四: 在AB上任取一点M，连接PM， 作∠PMB的角平分线，以P为圆心，PM为半径作弧与角分线，交于点Q，连接PQ. 7. 已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形 ①已知三边作三角形 原理：作3条已知线段作线段AB=c; 以A为圆心， b为半径作弧； 以B为圆心， a为半径作弧； 相交于点C，连接AC、BC ②已知两边及其夹角作三角形 原理：作已知线段+已知角 ③已知两∠及其夹边作三角形 原理：作已知线段+已知角 8.已知底边及底边上的高线 作等腰三角形 原理：作已知线段+垂直平分线 9.已知一直角边和斜边作直角三角形 原理：作垂线+作已知线段 任意一条直线，在直线上截取AB=h 以A为圆心，AB为半径作弧得新线段长度为2h; 作新线段的垂直平分线(构造出直角); 以B为圆心，l为半径作弧，交垂直平分线于点C; 连接BC. 1. 作角平分线 例题 按下列要求尺规作图，保留作图痕迹． 作的角平分线；     【分析】本题考查了基本作图，作垂直平分线，作角平分线： 根据尺规作图，以任意长度为半径，为圆心，交射线、于点、，以点、为圆心，大于的长为半径，在的内部作弧，两弧交于点，作射线，则射线即为所求； 针对性训练 1. （24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 2. （25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图所示在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D； (2)在（1）中作出的图形中，计算的度数． 3. （19-20七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，按下列要求作图： （1）作角平分线AD； （2）作的中线BE； （3）作中AC边上的高BF． 4. （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的边上的高． (1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的度数． 5. （22-23七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，． (1)尺规作图（保留作图痕迹）：作的角平分线； (2)在满足（1）的条件下，求证：． 6. （25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 7. （17-18七年级下·江苏泰州·期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上， （1）用直尺和圆规作出∠CAD的角平分线AE（保留作图痕迹）； （2）若∠B=∠C，求证：AE∥BC． 8. （22-23七年级下·河南新乡·期末）下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 执“规”“矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规、“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的角平分线呢？    办法1： 1．以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 2．分别以M、N为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．射线即为的角平分线． 办法2： 1．两个“矩”如图放置，顶点重合于C，一边重合于直线； 2．以点C为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 3．使点M在射线上，点N在射线上，调整“矩”直至直线经过点O；射线即为的角平分线，    办法3： 1．作，使； 2．在射线上截取，使； 3．做射线；射线OC即为的角平分线．   经过测量，上述三种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： (1)填空：“办法1”判断三角形全等的依据是______； (2)请在小明的办法2和办法3中选择一种，证明其合理性． 9. （23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，点C在的内部，且；是的角平分线． (1)作； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹．） (3)若射线分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线表示 方向； (4)在图中找出与互余的角是 ； (5)在图中找出与互补的角是 ． 2. 作中线、垂线和中垂线 例题1.已知：如图，在中，请用尺规作出边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 例题2.如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 例题3.阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段． 小芸的作法如图： 如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； （2）作直线． 请你回答： (1)作图第一步为什么要大于的长？ (2)小芸的作图是否正确？请说明理由． 针对性训练 1. （24-25七年级下·上海·期末）用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 2. 尺规作图 ：作线段的垂直平分线．（要求：写作法，保留作图痕迹）． 3. （25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）按要求完成尺规作图 (1)已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线； (2)已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线； 4. （24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 5. （24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，点C是线段外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段的垂直平分线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．） 6. （17-18七年级下·山东烟台·期末）如图，已知线段． （1）作的垂直平分线； （2）在直线上（的上方）作一点，使．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 7. （22-23八年级上·广东广州·期中）如图，已知 (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于E，作的角平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不用写作法） (2)若，，求的大小． 8. （23-24七年级下·上海·期末）已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 3. 作一个角等于已知角 例题 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：如图，．求作：一个以O为顶点的角，使它等于． 作法： ①在射线上任取一点C，以O为圆心，为半径作，与射线交于点D； ②连接，以点C为圆心，为半径作，与交于点P； ③作射线，则即为所求． 根据上述作法，请回答： （1）在右图中利用尺规补全图形；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）补全下面的推理过程：连接，在中 ∵________（填线段的名称） ∴（_______________）（填推理的依据） 针对性训练 1. （2024七年级下·全国·专题练习）用尺规作图．如图，以点B为顶点，射线为一边，在外再作一个角，使其等于． 2. （2021·湖南长沙·一模）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：∠AOB，求作：一个角∠A'O'B'，使它等于∠AOB． 作法：如图， ①作射线O'A'； ②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D； ③以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'； ④以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'； ⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角． 请完成下列问题： (1)该作图的依据是________（填序号）． ①ASA    ②SAS    ③AAS    ④SSS (2)请证明∠A'O'B'=∠AOB． 3. （23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（    ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤ 4. （24-25七年级上·河北邢台·期中）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图所示． （1）画射线；（第1步） （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；（第2步） （3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（第3步） （4）以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点；（第4步） （5）过点作射线．（第5步） 就是所求作的角． 以上作法中，错误首先出现在（   ） A． 第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步 4. 过直线外一点作已知直线的平行线 例题.求作：P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线. 针对性训练 1. （2018·北京·中考真题）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点．求作：，使得PQ // 作法：如图， ①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵_______，_______， ∴PQ //（____________）（填推理的依据）． 2. 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②的平分线； ③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ④作直线． 则直线就是所求作的直线． 请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 3. （24-25七年级下·广东河源·期末）在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究． 方法一：用尺规作图的方法画平行线 （1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作． A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． （2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示． B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． 方法二：用折纸的方法画平行线 （3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）． 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 4. （21-22七年级下·北京东城·期末）下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程． 已知：点在直线上，点在直线外，且． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在线段的延长线上任取一点； ②以为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作； ③将射线反向延长． 直线就是所求作的直线． 根据小红的作图过程，解决以下问题： (1)补全图形，并完成证明过程； 证明：∵，， ∴． ∴（____________）（填推理的依据）． (2)在（1）的条件下，过点作的垂线，交直线于点．求的度数． 5. 作已知角的和、差、倍角 例题 .如图，已知，请用尺规作，使． 针对性训练 1. （24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍． （2）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于． 2. （21-22七年级下·福建三明·期中）作图题，如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3. （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 46．（19-20六年级下·上海静安·单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 4. （22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 5. （2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，已知和，利用尺规作（不写作法，保留作图痕迹） 6. （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知，，请用尺规作图法求作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 7. （24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）． (1)求作：的补角； (2)求作：． 6. 作三角形全等于已知三角形 例题 . 如图，．用直尺和圆规作，使得．（要求：保留作图痕迹）      针对性训练 1. （18-19七年级下·福建三明·阶段检测）作图题：已知，选择适当的方法，求作，使．（不写作法，保留作图痕迹）    2. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3. （22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 4. （17-18七年级下·全国·课后作业）尺规作图:如图，小明在作业本上画的△ABC被墨迹污染，他想画一个与原来完全一样的△A'B'C'，请帮助小明想办法用尺规作图法画出△A'B'C'(不写作法，保留作图痕迹)，并说明你的理由． 5. （18-19八年级上·河北石家庄·期中）尺规作图：如图，已知△ABC，求作△ADE≌△ABC，使所作的△ADE和△ABC有一个公共的顶点A，且DE∥BC．（保留作图痕迹，不写作法） 7. 作已知角、边的三角形 例题1.已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 例题2.已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 例题3（24-25七年级上·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 针对性训练 1. 尺规作图（不写作法，保留痕迹）； 已知：线段， 求作：，使得．    2. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，． 3. （25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 4. （24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 5. （25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 6. （24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 7. （24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 8（24-25七年级下·上海·期中）已知：线段，，． (1)用尺规作出，使，，（保留作图痕迹）； (2)画出边上的中线． 8. 最短路径问题 例题 1.综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 例题 2.作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 例题 3.按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 针对性训练 1. 笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 2. （23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）如图， 已知直线， ， ， 三点， ， 两点在直线的异侧， 请按下列要求作图． (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (1)在直线上求作一点 ，使到，两点距离之和最短； (2)在直线上求作一点 ， 使 ； (3)求作一点，使点到，，三点距离相等． 3. （24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 4. -26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 5. （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 6. （25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹． 7. （25-26七年级上·山东东营·阶段检测）作图 (1)如图（1），某地有两所大学，求作一娱乐场所在直线，使其到两所大学的距离相等．（要求保留作图痕迹） (2)如图（2），求作的平分线．（要求保留作图痕迹） ． 8. （25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 9. （25-26七年级上·全国·单元复习）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画线段AB． (2)连接CD，并将其反向延长至点E，使得． (3)在平面内找到一点F，使点F到A，B，C，D四点距离之和最短． 10. （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面上有四个点，，，，按要求完成下列作图． (1)作射线． (2)连接并延长，与射线交于点． (3)在平面内找一点，使得的值最小． 9. 其他 1. （2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 2. （24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 3. （18-19七年级下·上海·阶段检测）画图题： （1）画△ABC，使BC=5cm，∠B=45°，∠C=60°； （2）画出（1）中△ABC的角平分线AD（尺规作图，保留作图痕迹） 4. （25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）按要求作图： (1)尺规作图，在边上找一点N，使得．（保留作图痕迹） (2)在边上找到点D，使得平分；（保留作图痕迹） 5. （2025·河南周口·二模）如图，在中，D为边上一点，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线交于E，求证：． 6. （25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线． 7. （23-24八年级下·江西九江·期中）已知：如图，求作：一点，使在上，且点到的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法） 8. （25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，已知长方形，点在线段上，将沿直线翻折后，点落在线段上的点． (1)用圆规和直尺画出（保留作图痕迹）； (2)如果的周长为，的周长为，用含有的代数式表示的长度． 9. （24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，根据下列要求作图并回答问题： (1)定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接.如果平分，那么的度数为________； (3)在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） 10. （24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 11. （25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 12. (25-26七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论） 1 学科网（北京）股份有限公司 $