第18章 等腰三角形（单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第18章 等腰三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 4．如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 5．如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D、E，延长交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 6．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 8．如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么_____． 9．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 11．如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 12．如图，在中，，点D在AC上，且．写出图中的等腰三角形：____________________________． 13．如图，在中，和分别平分和，过点D作分别交于点E，F，若则 _____． 14．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 15．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 16．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 17．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，______． 18．如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 20．（6分）已知：线段，，． (1)用尺规作出，使，，（保留作图痕迹）； (2)画出边上的中线． 21．（6分）如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 22．（6分）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、，过点作交于点． (1)若，，求的度数． (2)猜想之间的数量关系并证明． 23．（6分）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． (1)如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； (2)如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 24．（9分）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 25．（9分）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 26．（10分）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第18章等腰三角形.参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 6 A C A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.72°8.769.AB=BC(答案不唯一)10.12 11.4012. ABC,△ABD,△BCD 13.7 14.3 15.56°或124° 16.11 17.11或12 18.82° 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(6分) 【详解】(1)解：：三角形的三边长分别为2cm,acm和7cm, .7-2<a<7+2, 5<a<9;…(3分) (2)解：5<a<9, ∴当a=7时，该三角形为等腰三角形， .该三角形的周长为2+7+7=16， 答：该三角形的周长为16cm.…(6分) 20.(6分) 【详解】(1)解：如图所示， ABC即为所求；…(3分) (2)解：如图，AD为所求作的三角形BC边上的中线.…(6分) 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 21.(6分) 【详解】解：结论：∠AEF=∠DEF…(2分) 理由： 因为AD平分∠BAC(己知)，所以∠1=∠2（角的平分线的意义）.…(3分) 因为LB=∠EAC,(己知)，所以∠1+∠B=∠2+∠EAC,(等式性质) 而∠EDA=∠1+∠B.(三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)…(4分) 所以∠EDA=∠EAD(等量代换). 所以EA=ED(等角对等边)，…(5分) 又因为AF=DF(线段中点的意义) 所以∠AEF=∠DEF(等腰三角形的三线合一).·(6分) 22.(6分) 【详解】(1)解：：∠A=∠ABC=70°，BP/1AC, ∴.∠ABP=∠A=70°=∠ABC, ∠PBF=180°-2×70°=40°， ∠BPD=LF+∠PBF=25°+40°=65°；…(3分) (2):∠F+∠FEC=180°-∠C,LA+LABC=180°-LC, LF+∠FEC=2LA=2LABP.…(6分) 23.(6分) 【详解】(1)证明：：BC平分∠ABD, ∠ABC=∠CBD, ACII BD, ,∠ACB=LCBD, 411 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠ACB, :AB=AC, ABC是等腰三角形；…(3分) (2):AB=AC, ∠B=∠C, :AE平分LCAD, ∴.∠CAD=2∠EAC, :∠CAD是ABC的外角， ∴∠DAC=∠B+∠C=2∠C, .∠EAC=∠C, :AE∥BC.…(6分) 24.(9分) 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形， .∠A=∠B=∠C=60°， :P为ABC的完美点， .△ADE≌△PDE,△BDP和aPEC是等腰三角形， :∠B=∠C=60°， ·△BDP和aPEC是等边三角形， :BD=DP,PE=CE, 又：AD=DP,AE=PE, :AD-BD=AB.AE=CE-AC, :DE=IBC, 2 :DE=4, .BC=2DE=8, :等边三角形ABC的周长为8×3=24， 故答案为：24.…（3分) (2)连接AP,设∠DAP=O,∠EAP=B, 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :DE为ABC的完美翻折线， ∴△ADE≌△PDE, .AD DP,AE PE, ∴.∠DPA=∠DAP=a,∠EPA=∠EAP=B, ∴.∠BDP=2a,∠PEC=2B, :△BDP和△PEC是等腰三角形，且LB,LC都为顶角 .BD=BP,CP=CE ∴.∠BPD=∠BDP=2a,∠CPE=∠PEC=2B, :∠BPD+∠DPE+∠CPE=I80°， ∴.30+3β=180°， ∴.0+B=60°， 即∠BAC=60°，…(6分) (3)解：连接AP,过P作PH⊥AB于点H,PN⊥AC于点N, A D :DE为ABC的完美翻折线， ∴：△ADE≌△PDE,△BDP和aPEC是等腰三角形， 设∠DAP=a,∠EAP=B, ∴∠DPA=∠DAP=,∠EPA=∠EAP=B, ∴∠BDP=2a,∠PEC=2B, :∠B,∠EPC为顶角， .BD BP,PE=PC, ∴∠BPD=∠BDP=2a,∠PEC=∠PCE=2B, ∴.∠EPC=180°-4β， 4/1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BPD+∠DPE+∠EPC=180°， 2a+a+B+180°-4β=180°， .o=B,AP为∠BAC的平分线， :PH =PN 所以，点P到边AB、AC的距离相等.…(9分) 25.(9分) 【详解】(1)解：由折叠可知∠BNM=∠B'WM :∠BNM+∠B'NM=180°， ∴.∠BNM=90°， .MN⊥BC.·(3分) (2) ① ② ③ M 解： ● B N B'C ①过点P折叠纸片，使得点B落在BC上的B处，展平纸片，得到折痕MW. ②过点P再次折叠纸片，使得点N落在射线PM上. ③展平纸片，得到折痕a.…(6分) (3)解： CF B CF ①过点A折叠纸片，使得点C落在AB上的C处，展平纸片，得到折痕AF. ②过点P再次折叠纸片，使得点C落在C℉的C"处，展平纸片，得到折痕PG· ③过点P再次折叠纸片，使得点G落在射线GP上.展平纸片，得到折痕DE,DE即为所求.·(9分) 26.(10分) 【详解】(1)证明：AE⊥BD,CF⊥BD, 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AEB=∠BFC=90°， :∠ABC=90°， :∠ABE+LCBF=∠BCF+∠CBF=90°， ∠ABE=∠BCF, 又：AB=BC, ∴.△ABE≌△BCF(AAS)…(3分) (2)解：过点C作CM⊥EH,交EH的延长线于点M,如图： B H M :AE⊥BD,CM⊥EH, .∠AEB=∠M=90°， :∠ABC=90°， .∠ABE+∠BAE=∠ABE+∠CBM=90°， ∠BAE=∠CBM, 在△ABE和△CBM中， ∠AEB=∠M=90° ∠BAE=∠CBM, AB=BC ∴△ABE≌ACBM(AAS), :CM=BE =4,BM=AE=3, BG=BE, .BG=CM :BG⊥BE, ∴.∠GBH=∠M=90°， 在△GBH和△CMH中， 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠BHG=∠MHC ∠GBH=∠M, BG=CM .aGBH≌ACMH(AAS), BH=MH=IBM=1x3=3 2 21 5am8h.Cw-×3x ×二×4=3；…(7分) Γ22 (3)证明：延长BE至G,使EG=BE,连接DG,BF,GF,如图： A CE DE,ZBEC=ZGED,BE =GE, G B .△BEC≌GED(SAS, BC=DG=AB,∠CBE=LDGC, :EF⊥BE,BE=GE, :FB=FG, 又AF=DF,AB=DG, △ABF≌△DGF(SSS, ∠AFB=∠DFG,∠ABF=∠DGF, .ZAFD ZAFB+ZBFD=Z DFG Z BFD ZBFG ∠ABF+∠CBE=∠DGF+DGE=LBGF, BF=GF, .∠GBF=∠BGF, ∴LABF+LCBE=∠GBF, :∠ABC=90°， ∠GBF=∠BGF=45°， .∠BFG=90°， LAFD=∠BFG=90°，…(10分) 7/7 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第18章 等腰三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 4．如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 5．如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D、E，延长交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 6．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 8．如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么_____． 9．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 11．如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 12．如图，在中，，点D在AC上，且．写出图中的等腰三角形：____________________________． 13．如图，在中，和分别平分和，过点D作分别交于点E，F，若则 _____． 14．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 15．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 16．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 17．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，______． 18．如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 20．（6分）已知：线段，，． (1)用尺规作出，使，，（保留作图痕迹）； (2)画出边上的中线． 21．（6分）如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 22．（6分）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、，过点作交于点． (1)若，，求的度数． (2)猜想之间的数量关系并证明． 23．（6分）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． (1)如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； (2)如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 24．（9分）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 25．（9分）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 26．（10分）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第18章 等腰三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵等腰中，． ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 2．已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2， 2， 9， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9， 9， 2， ∵，满足三角形三边关系． ∴周长为． 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得． 的周长为． ∵，， ∴周长为； 故选：A． 4．如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即 ∴为中线，则， 故选：C ． 5．如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D、E，延长交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【详解】解；设与交于点H， 将绕点C顺时针旋转得到， ， 在中，， ， 故A选项正确； 由旋转可知，， 设， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定成立， 故D选项错误； 若平分，则垂直平分线段， ， 、， ， 是等边三角形，与题目条件矛盾， 故B选项错误； 若，则是等边三角形，与题目条件矛盾， 故C选项错误； 故选：A． 6．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵为边边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，故④正确； 在中，， ∵， ∴， ∴F不是的中点，故③不正确； 假设G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴与、相交相矛盾， 故假设错误，即G不是的中点，故⑤错误， 即正确的有①②④． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 8．如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么_____． 【答案】76 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：76． 9．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 【答案】12 【详解】解：∵AB＝AC，OB＝OC， ∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AO是线段BC的垂直平分线， ∵AO与BC交于点D， ∴BD＝CD， ∵BD＝6， ∴BC＝2BD＝12， 故答案为：12． 11．如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 【答案】40 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 12．如图，在中，，点D在AC上，且．写出图中的等腰三角形：____________________________． 【答案】，， 【详解】解：， 是等腰三角形； ， 是等腰三角形； ， 是等腰三角形； 因此，图中的等腰三角形是． 故答案为：． 13．如图，在中，和分别平分和，过点D作分别交于点E，F，若则 _____． 【答案】7 【详解】解：因为， 所以， 因为平分， 所以 所以， 所以， 同理， 所以， 即． 故答案为：7． 14．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 15．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 16．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】11 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 17．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，______． 【答案】11或12 【详解】解：设运动时间为t秒． 由题意可知，当点P运动到点B时两点停止运动，则， 当点Q在边上运动时，此时， ①当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ， ，． ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ． 故答案为：11或12． 18．如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ；……（3分） （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为．……（6分） 20．（6分）已知：线段，，． (1)用尺规作出，使，，（保留作图痕迹）； (2)画出边上的中线． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；……（3分） （2）解：如图，为所求作的三角形边上的中线．……（6分） 21．（6分）如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 【详解】解：结论：……（2分） 理由： 因为平分（已知），所以（角的平分线的意义）．……（3分） 因为，（已知），所以．（等式性质） 而．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）……（4分） 所以（等量代换）． 所以（等角对等边），……（5分） 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）．……（6分） 22．（6分）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、，过点作交于点． (1)若，，求的度数． (2)猜想之间的数量关系并证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ；……（3分） （2），， ．……（6分） 23．（6分）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． (1)如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； (2)如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形；……（3分） （2）， ， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ．……（6分） 24．（9分）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24．……（3分） （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即．……（6分） （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等．……（9分） 25．（9分）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【详解】（1）解：由折叠可知 ∵， ∴， ∴．……（3分） （2） 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕．……（6分） （3）解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕． ③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕即为所求．……（9分） 26．（10分）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 又∵， ……（3分） （2）解：过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；……（7分） （3）证明：延长至，使，连接，，如图： ，，， ， ，， ，， ， 又，， ， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ．……（10分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $