2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册期末复习模拟卷

**基本信息** 以沪教版七年级下册第15-18章为范围，通过新定义“解集中点值”（23题）、“倍长中线法”阅读理解（25题）等创新设计，融合抽象能力、推理意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式识别（1题）、平行线判定（2题）|3题辨析假命题，强化推理意识| |填空题|12/36|等腰三角形底边长（15题）、几何最值（18题）|10题动点最值问题，发展空间观念| |解答题|6/52|三角形全等证明（24题）、倍长中线应用（25题）|25题阅读理解结合探究，培养创新意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等 式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 第一部分（选择题共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.每小题列出的四个备选项中只有一个 符合题目要求) 1.下列f:50:@5-110,9x=49@2+,；@2r+1s42 其中是不等式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.人、、5为同平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与 () A.一定不平行 B.一定平行 C.一定互相垂直 D.可能相交或平行 3.下列命题是假命题的是() ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且 只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 试卷第1页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒 田危先乡笔 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 4.现有长为l44cm的铁丝，要截成n小段(n>2),每段的长度不小于lcm,如果其中任 意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为() A.9 B.10 C.11 D.12 5.下列图形中，是全等图形的是( A.a,b,c,dB.a与b C.b,c,d D.a与c 6.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向外作△ABD,使∠ADB=120°，再以点C为 旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则给出下列结论：①D,A,E三点共线；②DC平分 ∠BDA:③∠E=∠BAC:④DC=DB+DA.其中正确的有(). ⊙ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共88分） 二、填空题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 7.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最 多可打 折. 8.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 -2-101234 9.如图，己知AB∥CD,FE⊥DB,∠1=50°，则∠2等于一 试卷第2页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 B 10.如图，∠MON=45,OP平分∠MON,点A为射线OM上一点，OA=4,点E,F别 为射线OP,OM上的动点，连接AE,EF,则AE+EF的最小值为 N E 11.如图，将长方形纸条折叠，若∠1=50°，则∠2的度数为 12.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,边BC上的高AD=8,点P为BC上一 点，且PE⊥AB,PF⊥AC.则PE+PF的值为 P D 13.(1)判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 (2)试找出图中的全等图形： 试卷第3页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 g约 ① ② ③ (④ ⑤ ⑥ (⑦ ⑨ ⑩ ① ② 14.如图，C是AB的中点，CD=BE,请添加一个条件 使△ACD≌ACBE 15.己知等腰三角形的三边长分别为13,10-x,x+6,则该等腰三角形的底边长为 16.如图，在△ABC中，∠A=∠BCA,∠ABC=I00°，D为AC的中点，延长BC至点E, 使CE=CD,连接BD和DE,则∠BDE的大小为· 17.如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条QPQ组成，两根木条在点Q处相连 并可绕点O转动.另有长度与QS相等的两根木条MS,MT,其中木条MS的一端S固定 在木条QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的 位置可改变∠PQ的大小.若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满 足：ST=SM,则此时∠TMR=° 试卷第4页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田兔先乡笔 R M 18如图，等腰△M8C底边BC长为4cm,面积2c.腰4B的垂直平分线EF交4C于 点F,若D为BC边上中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为 cm 三、解答题（本大题共有6题，第19~21题每题6分，第22ˇ24题每题8分，第25题10分， 满分52分) 19.如图，在△ABC中，BECF分别是AC、AB边上的中线，若AE=4,BF=6,且 △ABC的周长为30，求BC的长. E B 2(x+1)>x-1 20.解不等式组： x+5 >3x 2 21.如下图，己知三角形ABC,点P在边BC上. 试卷第5页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 (I)过点P画AB的平行线交AC于点T: (2)过点C画MN∥AB: (3)直线PT MN(填位置关系)· 22.感悟 如图1，在△ABE中，点C,D在边BE上，AB=AE,BC=DE.求证：∠BAC=∠EAD 图1 应用 (1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧)，使得 ∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法，保留作图痕迹)； B 图2 (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得 ∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法，保留作图痕迹)· B 图3 a+b 23.定义：若一个不等式组4有解且解集为a<r<ba<b),则称2为4的解集中点值； 试卷第6页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 若A的解集中点值是不等式（组）B的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式 (组)B包含不等式组A的解集中点值. 「5-x>0 A: (1)已知关于x的不等式组 3x-7>2以及不等式组B:2≤x<5,证明不等式组B包含不 等式组A的解集中点值： x+3>m C: (2)已知关于x的不等式组3x<9m+15以及不等式组 D:m-4sx<5m+13 3,若不等式 组D包含不等式组C的解集中点值，求m的取值范围： x<2m x-n<5 E: n<m) F: (3)已知关于x的不等式组x>2n 和不等式组2x-m>3n若不等式组F包含 不等式组E的解集中点值，且所有符合要求的整数m之和为9，求的取值范围， 24.如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点 E E (I)求证：△BDE≌aCDA. (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE 25.【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件 中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造 全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三 角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”，此方法在解决几 何问题中有着广泛的应用， 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在△ABC中，AB=5,AC=9,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值 范围.经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 可以判定△ADC≌△EDB,从而得到AC=EB=9.这样就能把线段AB,AC,2AD集中 在△ABE中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线AD的取值范围. 试卷第7页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 请你直接写出AD的取值范围： (2)如图2，∠ABD=∠ECD=∠ADE=90°，点D为BC的中点，AB=10,CE=22，,求AE: (3)如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE.连接DE, BC,点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.请猜想DE和AF的数量关 系并说明理由， E B D C 图1 图2 图3 试卷第8页，共22页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求) 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 2．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 3．下列命题是假命题的是（　　） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判断，对顶角相等、点到直线的距离、平行公理、平行线的性质的知识，牢记相关定义与定理是解题的关键． 根据对顶角相等、点到直线的距离、平行公理、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：对顶角相等，故①是真命题； 直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故④是假命题； 所以假命题有②③④， 故选：B． 4．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 5．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 6．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线； ②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA； ③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC． ④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA． 【详解】解：如图， ①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， ∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度， ∴D、A、E三点共线；故①正确； ②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠BDC=∠E=60°， ∴∠CDA=120°-60°=60°， ∴DC平分∠BDA；故②正确； ③∵∠BAC=60°， ∠E=60°， ∴∠E=∠BAC．故③正确； ④由旋转可知AE=BD， 又∵∠DAE=180°， ∴DE=AE+AD． ∵△CDE为等边三角形， ∴DC=DB+DA．故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 7．某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【答案】8.8 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 8．关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 9．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 10．如图，平分，点A为射线上一点，，点E，F别为射线上的动点，连接，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径，在上截取，连接，过点A作于点H，可得的最小值为的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，过点A作于点H．   ，， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 11．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 12．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 14．如图，C是的中点，，请添加一个条件________，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 15．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为_________． 【答案】3或13 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分，和三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解． 【详解】解：分以下三种情况： ①当， 解得， ，， 三角形的三边分别为8、8、13，， ∴此时能组成三角形； ∴底边长为13； ②， 解得， ， 三角形的三边分别为13、13、3，， ∴此时能组成三角形，底边为3； ③， 解得， 综上所述，该三角形的底边等于3或13． 故答案为：3或13 16．如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为________°． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，根据三角形的性质得和，结合题意得和，利用三角形外角和性质得即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：110． 17．如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，可得为等边三角形，再利用，求得即可解答，熟知等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 为等边三角形， ， ， ， , ， ， 故答案为：． 18．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 三、解答题(本大题共有6题，第19~21题每题6分，第22~24题每题8分，第25题10分，满分52分) 19．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键． 先根据三角形中线的定义求出的长度，再利用的周长为30求的长即可． 【详解】解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． ∵的周长为30， ∴． 20．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 21．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 22．感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 23．定义：若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； (2)已知关于的不等式组以及不等式组，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组和不等式组若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的取值范围为或 【分析】（1）先求解不等式组的解集，在求取中点值，即可确定不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （2）先求解不等式组，由不等式组必须有解，可确定，确定不等式组的解集中点值，的解集中点值是不等式（组）的解，得到，解得，结合，即可确定的取值范围． （3）由不等式组的解集，确定不等式组的解集中点值，求解不等式组的解集，不等式组包含不等式组的解集中点值，得到，解得，此时存在两种情况，若取正整数值，仅可取，此时；可取负整数，则仅可取，此时． 【详解】（1）解：解不等式组得， 的解集中点值为． 不等式组包含不等式组的解集中点值． （2）解不等式组，得 显然不等式组必须有解， 故，即， 不等式组的解集中点值为． 由不等式组知， 即解得即． 又， （3）由不等式组，得，其解集中点值为 由不等式组，得． ， 即解得 存在两种情况 ①取正整数值，即仅可取， 则显然，此时； ②可取负整数，则仅可取， 此时， 此时． 综上所述，的取值范围为或． 不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为， 【点睛】本体考查新定义、求解不等式组解、求不等式组的参数、整数解等问题，理解不等式解集中点值、分情况讨论是解题关键． 24．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 25．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 试卷第8页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $