精品解析：吉林省辽源市跨世纪学校2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

辽源市跨世纪学校2025-2026学年下学期期中测试卷 九年级数学试题 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.00000113立方米，数据0.00000113用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第二象限内，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．下列结论错误的是（　　） A. B. C. B，E两点之间的距离为8 D. A，C，E三点共线 6. 如图，内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：___________． 8. 计算：___________． 9. 某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每名学生分4本，还缺10本，那么这批图书共_________本． 10. 一个矩形与一个正五边形如图放置，矩形的一条边与正五边形的一条边完全重合，点在正五边形的边上，则___________度． 11. 如图，扇形中，，连接，以A为旋转中心，将旋转得到，若，则阴影部分的面积为__________．（结果保留） 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 2025年宿迁马拉松比赛于3月30日7：30在项王故里鸣枪开跑．张先生和王女士报名参加了此次比赛，在经过的某路口有三个车道（分别记为、、），假设每个人经过此路口时走每个车道是等可能的． （1）王女士经过此路口时走车道的概率为____； （2）请用列表或画树状图的方法求张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率． 14. 某水果店购进一批柚子和橘子，用31元可以购进柚子和橘子，用12元可以购进柚子和橘子，求购进的这两种水果的单价． 15. 如图，在矩形中，点在边上，连接，，求证：． 16. 图①、图②均是的正方形网格，图③是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均为格点，图③中的外接圆圆心为．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的高； （2）在图②中作的中位线，使点，．分别在，上； （3）在图③中找到一点，使得为的平分线． 17. 某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用表示，单位：分），现将20名学生的成绩分为四组进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩如下：78，84，85，92，93，94，94，100，100，100． 八年级的测试成绩在组中的数据如下：83，84，86，88． 根据以上信息，解答下列问题． （1）所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是___________分，所抽取的九年级学生测试成绩的众数是___________分； （2）补全频数分布直方图，并求出所抽取的九年级学生测试成绩的平均数； （3）若该中学八年级与九年级各500名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 18. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图①，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动，（摆线的长度变化忽略不计） 如图②，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，．当摆球运动至点时，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） （参考数据：）， 19. 如图，在等边中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作交折线于点，以为边在右侧作等边，设等边与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． （1）当时，用含的代数式表示的长； （2）当点落在上时，求此时的值； （3）在点运动过程中，求与之间的函数关系式． 20. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油或一勺水，油温比水温升高得快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式； （2）在实验过程中，可测得在此地水的沸点为______；若某一时刻两温度计的示数相差，则加热的时间为______ 21. 将正方形和正方形按图①方式摆放，且三点在一条直线上． （1）正方形的边长为，正方形的边长为，当时，四边形的面积___________； （2）若正方形可以绕点进行顺时针旋转，且旋转角度小于． ①如图②，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图③，连接，在旋转过程中，若点为的中点，连接，可证． 理由如下：延长至点，使，连接，请补全余下的证明过程． （3）在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出此时的面积． 22. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ． 【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式． 【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围． 【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽源市跨世纪学校2025-2026学年下学期期中测试卷 九年级数学试题 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵被除数为负数，运算结果为负数， ∴内的数应为正数，且不为0， 观察选项，只有B选项的符合要求． 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中，看不见但存在的线用虚线表示． 【详解】解：从左面看，可得选项D的图形． 故选：D． 3. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.00000113立方米，数据0.00000113用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 已知点在第二象限内，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查第二象限内点的坐标特点、解一元一次不等式组等知识点，属于基础题，熟练掌握各个象限内点的坐标特点是解题关键．根据点P在第二象限知它的横坐标小于0，纵坐标大于0，列一元一次不等式组，求解集即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．下列结论错误的是（　　） A. B. C. B，E两点之间的距离为8 D. A，C，E三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到，， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴是等边三角形，， ∴，A，C，E三点共线，故C、D选项正确，不符合题意； 根据题意，无法得到的度数，则无法得到与的位置关系，故B选项错误，符合题意． 故选：B 6. 如图，内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，然后根据圆的切线的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每名学生分4本，还缺10本，那么这批图书共_________本． 【答案】 【解析】 【分析】列代数式解答即可，本题考查了列代数式，正确理解题意，列出代数式是解题的关键． 【详解】根据题意，得本， 故答案为：． 10. 一个矩形与一个正五边形如图放置，矩形的一条边与正五边形的一条边完全重合，点在正五边形的边上，则___________度． 【答案】18 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角度数，结合矩形内角为求出． 【详解】解：多边形内角和公式：， 正五边形内角和：， 单个内角度数：， 又矩形的内角为， ． 11. 如图，扇形中，，连接，以A为旋转中心，将旋转得到，若，则阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于E，先证明是等边三角形，，从而得到，，继而求得，，即可由，求解． 【详解】解：连接交于E， ，， ， 由旋转可知， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 2025年宿迁马拉松比赛于3月30日7：30在项王故里鸣枪开跑．张先生和王女士报名参加了此次比赛，在经过的某路口有三个车道（分别记为、、），假设每个人经过此路口时走每个车道是等可能的． （1）王女士经过此路口时走车道的概率为____； （2）请用列表或画树状图的方法求张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用树状图或列表法求概率，解题的关键是列出所有的情况，再利用公式求概率； （1）直接利用概率公式求概率； （2）利用列表法进行求解即可． 【小问1详解】 解：有三个车道（分别记为、、），每个人经过此路口时走每个车道是等可能的 王女士经过此路口时走车道的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：利用列表列表如下： 张先生 王女士 共有种等可能的情况，张先生和王女士经过此路口时走不同车道的有种情况， 故张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率为：． 14. 某水果店购进一批柚子和橘子，用31元可以购进柚子和橘子，用12元可以购进柚子和橘子，求购进的这两种水果的单价． 【答案】 购进的柚子的单价为元，橘子为元． 【解析】 【分析】设购进的柚子的单价为元，橘子为元，根据用31元可以购进柚子和橘子，用12元可以购进柚子和橘子，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设购进的柚子的单价为元，橘子为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：购进的柚子的单价为元，橘子为元． 15. 如图，在矩形中，点在边上，连接，，求证：． 【答案】证明：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，，由已知可得，则，即可证明． 【详解】略． 16. 图①、图②均是的正方形网格，图③是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均为格点，图③中的外接圆圆心为．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的高； （2）在图②中作的中位线，使点，．分别在，上； （3）在图③中找到一点，使得为的平分线． 【答案】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，为所求： 【解析】 【分析】（1）取格点K连接，交于点D，即可； （2）取格点P，N，K，Q，连接交于点F，连接交于点E，即可； （3）取格点，连接交于点，由垂径定理可得，进而得到． 【小问1详解】 解：由作法得：， ∵， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：由作法得：四边形是矩形， ∴点E，F分别是边的中点， ∴是的中位线； 【小问3详解】 解：由作法得：， ∴， ∴为的平分线． 17. 某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用表示，单位：分），现将20名学生的成绩分为四组进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩如下：78，84，85，92，93，94，94，100，100，100． 八年级的测试成绩在组中的数据如下：83，84，86，88． 根据以上信息，解答下列问题． （1）所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是___________分，所抽取的九年级学生测试成绩的众数是___________分； （2）补全频数分布直方图，并求出所抽取的九年级学生测试成绩的平均数； （3）若该中学八年级与九年级各500名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）， （2）补全频数分布直方图如下： 所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为 92 分． （3）估计此次测试成绩达到 90 分及以上的学生有 450 人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的定义求解即可得； （2）先求出所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩在组的人数为 2 名，据此补全频数分布直方图，再根据平均数的公式计算即可得； （3）利用该中学八年级与九年级的学生人数乘以测试成绩达到 90 分及以上的学生所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：将所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩按从小到大进行排序后，第 5 个数和第 6 个数的平均数即为中位数， ， ∴按从小到大进行排序后，第 5 个数和第 6 个数在组， 又 ∵八年级的测试成绩在组中的数据为：， ∴所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是（分）， ∵在所抽取的 10 名九年级学生的测试成绩中， 100 分的人数最多， ∴所抽取的九年级学生测试成绩的众数是 100 分； 【小问2详解】 解：所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩在组的人数为（名）， 补全频数分布直方图略， 所抽取的九年级学生测试成绩的平均数分， 答：所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为 92 分． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测试成绩达到 90 分及以上的学生有 450 人． 18. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图①，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动，（摆线的长度变化忽略不计） 如图②，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，．当摆球运动至点时，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） （参考数据：）， 【答案】的长为． 【解析】 【分析】先求解，再求解，从而可得答案． 【详解】解：由题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴的长为． 19. 如图，在等边中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作交折线于点，以为边在右侧作等边，设等边与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． （1）当时，用含的代数式表示的长； （2）当点落在上时，求此时的值； （3）在点运动过程中，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由，可得，直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解； （2）根据是等边三角形可得，，又因为可得，证明，得到，由，即可求解； （3）根据点D的移动轨迹，可分成时，时，时，三种情况讨论． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意知时，， ∴， 由勾股定理，得； 【小问2详解】 解：当点E落在边上时，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分类讨论（三种情况），如图所示： ①如图1：当时，等边与重叠部分为等边的面积， 即；                                                                    ②如图2：当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理，得， ∵， ∴， ∴ ， ∴； ③如图3，当时， 同理，得， ∴， ∴， ； 综上，． 20. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油或一勺水，油温比水温升高得快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式； （2）在实验过程中，可测得在此地水的沸点为______；若某一时刻两温度计的示数相差，则加热的时间为______ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出菜籽油在加热过程中的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，然后即可得到水沸腾的温度，再求出水从开始到沸腾对应的函数解析式，即可计算出某一时刻两温度计的示数相差时对应的时间． 【小问1详解】 解：设菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式为， 由图象可知，点，在该函数图象上， ， 解得， 即菜籽油在加热过程中与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：将代入，得： ， 即在实验过程中，可测得在此地水的沸点为； 设水从开始到沸腾对应的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即水从开始到沸腾对应的函数解析式为； 令， 解得， ， 不符合题意； 令， 解得：． 故答案为：，． 21. 将正方形和正方形按图①方式摆放，且三点在一条直线上． （1）正方形的边长为，正方形的边长为，当时，四边形的面积___________； （2）若正方形可以绕点进行顺时针旋转，且旋转角度小于． ①如图②，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图③，连接，在旋转过程中，若点为的中点，连接，可证． 理由如下：延长至点，使，连接，请补全余下的证明过程． （3）在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2）①， 理由：∵正方形和正方形中，，，， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：如图③，延长至M，使，连接，则， ∵点P为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）将四边形的面积转化为求梯形和的面积，计算时将算式变形为与的形式即可求解； （2）①证明即可求证；②利用倍长中线法构造，再证明即可求解； （3）利用全等三角形进行等面积转化即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形的面积，且，， ∴四边形的面积． 【小问2详解】 ①略； ②略； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 即的面积为9． 22. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ． 【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式． 【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围． 【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围． 【答案】【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 【解析】 【详解】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值； 【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； 【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； 【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1； 分三部分进行讨论： ①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可； ②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方； ③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4． 试题解析：【问题】 ∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O， ∴0=a（0﹣2）2﹣， a=； 【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣， 对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0）， 沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+ 如图②，图象G对应的函数解析式为：y=； 【探究】：如图③，由题意得： 当y=1时，（x﹣2）2﹣=0， 解得：x1=2+，x2=2﹣， ∴C（2﹣，1），F（2+，1）， 当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0， 解得：x1=3，x2=1， ∴D（1，1），E（3，1）， 由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大； 【应用】：∵D（1，1），E（3，1）， ∴DE=3﹣1=2， ∵S△PDE=DE•h≥1， ∴h≥1； ①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]， ∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1， （m﹣2）2≥10， m﹣2≥或m﹣2≤﹣， m≥2+或m≤2﹣， ②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N， ∵H（2，）， ∴HM=﹣1=＜1， ∴当点P不可能在DE的上方； ③∵MN=1， 且O（0，0），a（4，0）， ∴P与O或A重合时，符合条件， ∴m=0或m=4； 综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 考点：二次函数综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $