8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定定理同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ ） A．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β B．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β C．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β 2．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是 （ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于 （ ） A． B． C． D． 4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面的交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于 （ ） A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 5．在中国古代数学典籍《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，四面体A－BCD是一个“鳖臑”，且AB⊥平面BCD，BD⊥CD.在下列判断中 ①CD⊥平面ABD； ②AD⊥CD； ③平面ACD⊥平面ABD； ④若AB＝BD＝CD＝1，点P在棱AC上运动(不包括A，C两点)，则三棱锥A－PBD的体积y是AP长度x的正比例函数． 判断正确的共有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多项选择题 6．下列命题正确的是 （ ） A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 7．如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论正确的是 （ ） A．平面VAC⊥平面ABC B．平面VAB⊥平面ABC C．平面VAC⊥平面VBC D．平面VAB⊥平面VBC 三、填空题 8．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB＝20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路从A走到B后升高________m. 9．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③m⊥β；④n⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________． 四、解答题 10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE. 11．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形． （1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD； （2）求二面角B1－CD－A的余弦值． 能力提升练 12．（多选）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，PB＝，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是 （ ） A．平面PAD⊥平面ABCD B．异面直线AD与PB所成的角为60° C．二面角P－BC－A的大小为45° D．三棱锥P－ABD外接球的表面积为 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝BC，PA＝AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N，使得平面PCD⊥平面AMN，则＝________． 14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝BC＝1，PD＋DC＝AB＝，AB∥CD，AB⊥BC，M在线段AB上(不含端点)，PM⊥底面ABCD. （1）证明：平面PAB⊥平面PBC. （2）设PD＝x，x∈(1，)，请写出三棱锥M－PAD的体积V关于x的函数表达式，并求出V的最大值． 8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定定理同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ ） A．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β B．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β C．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β 解析： 对于A，若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β相交或平行，故错误．对于B，若m⊥α，则由m∥n，可得n⊥α.又因为n⊥β，所以α和β平行，故错误．对于C，若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m，n可能平行、相交或异面，故错误．对于D，若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α.当n⊂α时，由n⊥β，可得α⊥β；当n∥α时，如图，平面α内必有一条直线l与n平行，由n⊥β，可得l⊥β，所以由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故正确．故选D. 答案：D 2．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是 （ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定 解析：∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.过点E作l的垂线，垂足为O，连接OE，OF，易知l⊥OE，l⊥OF，且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，当点P的位置如图①所示， 　 此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，∴二面角α－l－β的平面角为120°.当点P的位置如图②所示，此时，∠FOE＝∠EPF，∴二面角α－l－β的平面角为60°. 答案：C 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于 （ ） A． B． C． D． 解析： 如图，连接AC，交BD于点O，则AO⊥BD，连接A1O，则A1O⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，所以tan ∠A1OA＝＝＝. 答案：C 4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面的交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于 （ ） A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 解析：连接AB′，A′B(图略).由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，则BB′＝2a sin ＝a，A′B＝2a cos ＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1. 答案：A 5．在中国古代数学典籍《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，四面体A－BCD是一个“鳖臑”，且AB⊥平面BCD，BD⊥CD.在下列判断中 ①CD⊥平面ABD； ②AD⊥CD； ③平面ACD⊥平面ABD； ④若AB＝BD＝CD＝1，点P在棱AC上运动(不包括A，C两点)，则三棱锥A－PBD的体积y是AP长度x的正比例函数． 判断正确的共有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由AB⊥平面BCD可得AB⊥CD，又BD⊥CD，AB∩BD＝B，所以CD⊥平面ABD，故①正确；因为AD⊂平面ABD，由①知，AD⊥CD，故②正确； 由CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，故③正确；过P作PE∥CD，交AD于E，则PE⊥平面ABD，如图所示．因为AB＝BD＝CD＝1，所以BC＝＝，AC＝＝.由＝，知PE＝＝x，所以y＝VA－PBD＝VP－ABD＝×AB·BD·PE＝·PE＝x，故④正确． 答案：D 二、多项选择题 6．下列命题正确的是 （ ） A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以A不对；实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C不对；由定义知D正确． 答案：BD 7．如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论正确的是 （ ） A．平面VAC⊥平面ABC B．平面VAB⊥平面ABC C．平面VAC⊥平面VBC D．平面VAB⊥平面VBC 解析：由题设知VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA⊂平面VAB，VA⊂平面VAC，∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A、B正确；又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC⊂平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，故D正确；假设平面VAC⊥平面VBC，在平面VAC中，过A作AD⊥VC，垂足为D，连接BD，则AD⊥平面VBC，∴AD⊥BC，又∵BC⊥AB，AB∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD.由选项D已证BC⊥平面VAB，所以平面DAB与平面VAB为同一平面，AD⊥VC与VA不垂直VC相矛盾，故C不正确． 答案：ABD 三、填空题 8．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB＝20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路从A走到B后升高________m. 解析： 如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC垂直于坡脚线，连接BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在Rt△ABC和Rt△BCH中，因为AB＝20 m，所以BC＝AB sin 30°＝10 m，所以BH＝BC sin 30°＝5 m. 答案：5 9．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③m⊥β；④n⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________． 解析：若①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β成立，则n与α可能平行也可能相交，也可能n⊂α，即④n⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④n⊥α成立，则m与β可能平行也可能相交，也可能m⊂β，即③m⊥β不一定成立；若①m⊥n，③m⊥β，④n⊥α成立，则②α⊥β成立；若②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α成立，则①m⊥n成立． 答案：①③④⇒②或②③④⇒① 四、解答题 10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE. 证明： 如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC. ∵AB＝AD，E是AD的中点， ∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE. ∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD. 在四边形BCDE中，CD⊥MN， 又∵MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N. ∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交． 又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE. 又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE. 11．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形． （1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD； （2）求二面角B1－CD－A的余弦值． 解：（1）证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，所以AA1⊥AD，AA1⊥AB. 又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD. 因为AA1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABCD. （2）延长AB，DC相交于点E，过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H(图略). 由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD， 又BH∩BB1＝B， 所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD， 所以∠BHB1为二面角B1－CD－A的平面角． 在Rt△BCE中，易得BM＝2，CM＝， 由等面积法可得BH＝1×2，即BH＝， 所以B1H＝＝， 故cos ∠BHB1＝＝. 能力提升练 12．（多选）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，PB＝，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是 （ ） A．平面PAD⊥平面ABCD B．异面直线AD与PB所成的角为60° C．二面角P－BC－A的大小为45° D．三棱锥P－ABD外接球的表面积为 解析：取AD中点E，连接PE，BE，△PAD和△BAD都是等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∠PEB是二面角P－AD－B的平面角，PE＝BE＝，又PB＝，所以PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，所以二面角P－AD－B是直二面角，所以平面PAD⊥平面ABCD，A正确；AD∥BC，所以∠PBC是异面直线AD与PB所成的角或其补角，由此可得PE⊥平面ABCD，而EC⊂平面ABCD，所以PE⊥EC，EC＝＝， 所以PC＝＝，PB2＋BC2＝PC2，PB⊥BC，∠PBC＝90°，B错；由BE⊥AD知BC⊥BE，所以∠PBE是二面角P－BC－A的平面角，在△PEB中，可得∠PBE＝45°，C正确；由上述分析可知PE⊥平面ABD，同理BE⊥平面PAD，设M，N分别是△ABD和△PAD的中心，如图，作NO∥EB，MO∥PE，NO与MO交于点O，则NO⊥平面PAD，MO⊥平面ABD，所以O是三棱锥P－ABD外接球的球心，由于NE＝ME＝BE＝，ONEM是正方形，OM＝，而BM＝，所以OB＝＝＝，即为外接球的半径，则三棱锥P－ABD外接球的表面积为S＝4π×()2＝，D正确．故选ACD. 答案：ACD 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝BC，PA＝AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N，使得平面PCD⊥平面AMN，则＝________． 解析：如图所示，取PC的中点E，PE的中点N，连接BE，MN，AN， ∵AM⊥平面PBC，PB⊂平面PBC， ∴AM⊥PB. ∵PA＝AB，∴M为PB的中点． ∵PB＝BC，E为PC的中点， ∴BE⊥PC. ∵M，N分别为PB，PE的中点， MN∥BE，∴MN⊥PC. ∵AM⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AM. ∵AM∩MN＝M，∴PC⊥平面AMN. ∵PC⊂平面PCD，∴平面AMN⊥平面PCD. ∵E为PC的中点，N为PE的中点， ∴PN＝PE＝PC，∴＝. 答案： 14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝BC＝1，PD＋DC＝AB＝，AB∥CD，AB⊥BC，M在线段AB上(不含端点)，PM⊥底面ABCD. （1）证明：平面PAB⊥平面PBC. （2）设PD＝x，x∈(1，)，请写出三棱锥M－PAD的体积V关于x的函数表达式，并求出V的最大值． 解：（1） 证明：因为PM⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PM⊥BC. 又因为AB⊥BC，AB∩PM＝M，所以BC⊥平面PAB. 因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. （2）过点P作PN⊥AD，交AD于N，连接MN，BD. 由PD＝x，得CD＝－x，因为BC＝1，AB＝，CB⊥BA，所以AD＝，则PD2＋PA2＝AD2，所以PD⊥PA，则PN＝＝，AN＝＝， BD＝＝. 因为PM⊥底面ABCD，所以PM⊥AD，PM∩PN＝P，所以AD⊥平面PMN， 所以AD⊥MN. 因为cos ∠BAD＝＝，所以AM＝＝，则MN＝＝，PM＝＝，所以V＝·PM·S△AMD＝····＝.因为PN>MN，所以 x∈(1，)，V＝＝＝. 所以当x＝时，V取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $