精品解析：河北沧州市多校2025-2026学年高二下学期第三次阶段总结数学试题

高二年级下学期第三次阶段总结 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，必修第一册第一章～函数的奇偶性、周期性. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. 或4 B. 或1 C. 4 D. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 定向师范生是一项由各地政府制定的政策，旨在解决农村地区基础教育教师资源紧缺的现状.这一政策主要通过“三定向”来实现，即“定向招生、定向培养、定向就业”.4名定向师范生毕业后被安排到3所小学任教，其中每名定向师范生只能去一所小学，每所小学至少去一名定向师范生，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 54 C. 36 D. 18 6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（ ） 参考公式：，参考数据：，． A. 0.99 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 7. 历史老师和地理老师联合开展了让学生介绍各国历史、地理知识的活动，本周有5个学生（含甲与乙）参加，用抽签法确定出场顺序，在“甲在乙的前面出场”的条件下，“甲、乙不相邻出场”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 13. 已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 14. 已知集合中含有个元素，集合是的非空子集，且，则不同的集合对有______个．（用含的代数式表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，且，求的最小值. 16. 已知函数的图象过点和点. （1）求实数的值； （2）写出函数的定义域，并求函数的值域. 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 合计 140 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关? （2）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数. （1）若的最小值为，求； （2）在（1）的条件下，在上的最大值为，求的最小值； （3）若，且关于的方程恰有4个互不相等的实数根，求的最小值. 19. 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Poisson（），则其概率分布为． （1）当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则， （2）若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：） ②求使得最大时的值． （3）若Poisson（），求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期第三次阶段总结 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，必修第一册第一章～函数的奇偶性、周期性. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. 或4 B. 或1 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断D，取特殊值可判断A，B，C. 【详解】A选项，当时，，A错误； B选项，当时，，B错误； C选项，当时，，C错误； D选项，因为，所以，又因为，所以，D正确； 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可. 【详解】当时，即， ， 因此由能推出， 当时，显然当时成立，但是不成立， 因此由不一定能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再求，最后根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 5. 定向师范生是一项由各地政府制定的政策，旨在解决农村地区基础教育教师资源紧缺的现状.这一政策主要通过“三定向”来实现，即“定向招生、定向培养、定向就业”.4名定向师范生毕业后被安排到3所小学任教，其中每名定向师范生只能去一所小学，每所小学至少去一名定向师范生，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 54 C. 36 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】先将4名定向师范生分成3组，则有种情况， 再将3组定向师范生分配给3所小学，则有种情况. 综上，共有6×6=36种不同的安排方案. 6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（ ） 参考公式：，参考数据：，． A. 0.99 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】代入相关系数公式求解即可. 【详解】由题意，得，，， ，所以． 7. 历史老师和地理老师联合开展了让学生介绍各国历史、地理知识的活动，本周有5个学生（含甲与乙）参加，用抽签法确定出场顺序，在“甲在乙的前面出场”的条件下，“甲、乙不相邻出场”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对称性得到“甲在乙前面”的概率，再通过先排列其他三人，再在产生的四个空隙中选两个放置甲、乙（顺序固定），计算“甲在乙前面且不相邻”的概率；最后用条件概率公式计算即可. 【详解】设“甲在乙的前面出场”为事件，“甲、乙不相邻出场”为事件，所以，， 由条件概率公式，得.. 8. 已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 10. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的值域，和基本不等式，以及通过函数导数判断函数单调性，进而求出最小值，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】因为对数函数在时，值域为R，所以当时，，所以A错误； 因为指数函数在时，值域为，所以，当且仅当，即时，等式成立，所以B正确； 函数定义域为，则， 令，即，解得，所以在上函数单调递增，同理可知在上函数单调递减， 当时，，当时，，所以函数在定义域上的最小值为4，所以C正确； 已知，在时，， 根据基本不等式，当且仅当，即时成立，因为，所以等号不能成立，D错误； 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法判断AC，根据奇函数定义结合A中结论判断B，利用赋值法结合累加法得到，求出判断D. 【详解】对于A，取，得，取，得，所以，，故A正确； 对于B，，∴函数不是奇函数，故B错误； 对于C，取，得，若，则，故C正确； 对于D，取，得， 所以， ，…， ， 所以， 即， 所以，，故D正确.. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 13. 已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的周期，再根据偶函数及已知条件求解即可. 【详解】因为， 所以函数的周期为， 又因为当时，，且是偶函数， 所以. 14. 已知集合中含有个元素，集合是的非空子集，且，则不同的集合对有______个．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据非空子集的定义，对集合中的元素进行分类讨论，写出不同元素个数下对应的集合，再由二项式定理化简计算即可求得同的集合对有个. 【详解】易知个元素的集合有个非空子集； 即集合的个数有个，又，因此对集合中的元素个数进行分类讨论如下： 若非空集合中含有1个元素，则共有种情况，对应的非空集合满足的有个； 若非空集合中含有2个元素，则共有种情况，对应的非空集合满足的有个； …… 若非空集合中含有个元素，则共有种情况，对应的非空集合满足的有个； …… 若非空集合中含有个元素，则共有种情况，对应的非空集合满足的有个； 所以不同的集合对共有个； 根据二项式定理化简可得 因此不同的集合对共有个. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在求解集合子集个数问题时，首先确定要以集合中的元素个数为切入点，再进行分类讨论，对于不同的集合对需利用排列组合和二项式定理等即可求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由不等式性质求解即可； （2）利用基本不等式“1”的妙用，求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围为； （2）因为，所以， ， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为. 16. 已知函数的图象过点和点. （1）求实数的值； （2）写出函数的定义域，并求函数的值域. 【答案】（1）； （2）定义域为，值域为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到且，即且，联立方程组，即可求解； （2）由（1）知，函数，所以的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【小问1详解】 由函数的图象过点和点， 可得且，即且 即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，函数，所以的定义域为， 法一：由函数式，整理得， 令，当时，可得， 当时，，关于的方程有实数根， 可得，且，解得， 所以的值域为. 法二：由，可得； 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以的值域为. 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 合计 140 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关? （2）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关. （2） 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【17题详解】 由数据表格可知，，，. 零假设为：喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关， 根据列联表中的数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关. 【18题详解】 由题意可知，未成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是； 成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是. 由题意，的可能取值为0，1，2， 则；；. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. 18. 已知函数. （1）若的最小值为，求； （2）在（1）的条件下，在上的最大值为，求的最小值； （3）若，且关于的方程恰有4个互不相等的实数根，求的最小值. 【答案】（1）， （2）0 （3）21 【解析】 【分析】（1）依题意有且，可求出的值； （2）分类讨论在上单调性，表示出最大值，结合二次函数的性质求的最小值； （3）令，设的两根为，由韦达定理得，，因为与各有两个不同的根，由韦达定理，， ，，代入求得，再代入中结合基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】 函数, 若，，解得， 又的最小值为，则有，解得 【小问2详解】 由（1）知，其对称轴为， 当即时，在上的最大值， 在上单调递减，的最小值为； 当即时，在上的最大值， 则， 在上单调递增，， 综上可得的最小值为0. 【小问3详解】 令，设的两根为， 由韦达定理得，， 因为与各有两个不同的根， 对于，由韦达定理有，， 对于，由韦达定理有，， 所以 ， 即，化简得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时， 经检验当，时，满足题设条件，故最小值21可以取得. 所以的最小值为21. 19. 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Poisson（），则其概率分布为． （1）当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则， （2）若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：） ②求使得最大时的值． （3）若Poisson（），求证：当时，． 【答案】（1）0.8186； （2）①0.225；②，或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，结合正态分布原则即可求解； （2）①由泊松分布概率公式求解即可；②由题意，故只需讨论与1的大小关系即可求解； （3）分析知，只要证当时，，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 因为Poisson（），且，可近似地认为，即， 所以 ； 【小问2详解】 ①由题知Poisson（），其中， ． ②， 所以， 当时，，当时，，当时，， 所以 所以当，或时，最大． 【小问3详解】 因为Poisson（），所以， 由泊松分布的概率公式，得， 所以， 要证当时，，只要证当时，． 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以只要证， 因为，所以只需证， 令，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，且， 所以，所以， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $