10.1.3 古典概型-2025-2026学年人教A版高一数学必修第二册同步练习

**基本信息** 本同步练习以古典概型为核心，通过基础选择、中档填空、综合解答三层设计，实现从概念理解到综合应用的进阶，适配新授课分层教学，培养数学抽象、逻辑推理与数学表达素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|古典概型定义与简单计算|单选考查基本概念（如题2判断古典概型）、简单样本空间计算（如题1卡片概率）| |进阶层|综合判断与情境应用|多选考多条件概率判断（如题5点数之和概率）、填空考生活情境应用（如题10企业竞标概率）| |综合层|复杂问题解决与步骤表达|解答题考分步推理（如题14点数之和4的倍数概率）、实际问题建模（如题17奶茶评选概率）|

10.1.3　古典概型 一．选择题 1.有100张卡片(从1号到100号),从中任取1张卡片,则取出的卡片号是7的倍数的概率是(　　) A. B. C. D. 2.下列是古典概型的是(　　) A.任意抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之和作为样本点时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共n条路线,求某人用抽签法正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地不均匀硬币至首次出现正面为止 3.在甲、乙两个口袋中,都装着外观、质地等无差别的分别写有1,2,3,4,5,6六个数字的6张卡片,现从每个袋中各任取1张,则2张卡片上的数字之和等于9的概率为(　　) A. B. C. D. 4.已知四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 (　　) A. B. C. D. 5.(多选题)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次向上的点数记为a,第二次向上的点数记为b,则下列说法正确的是 (　　) A.a+b=7的概率为 B.a+b=6的概率为 C.a≥2b的概率为 D.a+b是3的倍数的概率是 6.设a是抛掷一枚骰子一次得到的向上的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为(　　) A. B. C. D. 7.从外观、质地相同的分别标有1,2,…,9的9张卡片中依次不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数为一奇一偶的概率是(　　) A. B. C. D. 8.(多选题)从1,2,3,4,5中随机选取两个数,则下列事件的概率为的是(　　) A.两数之差的绝对值为2 B.两数之差的绝对值为1 C.两数之和不小于6 D.两数之和不大于5 二．填空题 9.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次性随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为　　　　　.  10.某建馆工程有六家企业参与竞标,其中A企业来自陕西省,B,C两家企业来自天津市,D,E,F三家企业来自北京市,现有一个工程需要两家企业联合建设,假设每家企业中标的概率相同,则中标企业中至少有一家来自北京市的概率是　　　　　.  11.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数,则两数都是奇数的概率是　　　　　.若有放回地任取两数,则两数都是偶数的概率是　　　　　.  12.古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.从五种不同属性中随机抽出两种,则抽到的两种属性不相克的概率为　　　　　.  13.某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　　　　　.  三．解答题 14.先后抛掷两枚质地均匀的骰子,求: (1)向上的点数之和是4的倍数的概率; (2)向上的点数之和大于5且小于10的概率. 15.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个大小质地相同小球的抽奖箱中,每次任意取出一球,记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码之和等于6,则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率. 16.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 17.某奶茶公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的奶茶共5杯,其外观完全相同,并且其中3杯为A奶茶,另外2杯为B奶茶,公司要求此员工一一品尝后,从这5杯奶茶中选出2杯奶茶.若该员工2杯都选A奶茶,则评为优秀;若2杯选对1杯A奶茶,则评为良好;否则评为及格.假设此人对A和B两种奶茶没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 10.1.3　古典概型 一．选择题 1.∵该试验的样本空间共有n=100个等可能出现的样本点,事件A=“取出的卡片号是7的倍数”包含的样本点个数为k=14,∴P(A)=. C 2.A项中由于向上的点数的和出现的可能性大小不相等,故A不是;B项中的样本点个数是无限的,故B不是;C项中满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性,故D不是. C 3.用x,y分别表示从两个袋内取出卡片的数字,用数组(x,y)表示试验可能的结果,如图所示,则样本点总数为36,实心圆表示两数之和等于9,有4个样本点,则2张卡片上的数字之和等于9的概率为. C 4.样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共有4个样本点,而能构成三角形的样本点只有(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P=. A 5.由题意知样本空间共有6×6=36个样本点. 对于选项A,a+b=7包含的样本点有 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个, 所以a+b=7的概率为,故A正确; 对于选项B,a+b=6包含的样本点有 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个, 所以a+b=6的概率为,故B错误; 对于选项C,a≥2b包含的样本点有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3),共9个, 所以a≥2b的概率为,故C错误; 对于选项D,a+b是3的倍数包含的样本点有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个,所以a+b是3的倍数的概率为,故D正确.故选AD. AD 6.试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},共有6个样本点,若方程有两个不相等的实根,则a2-8>0,即a∈{3,4,5,6},故所求概率P=. A 7.由题意知该试验的样本空间包含的样本点共有9×8=72个,“抽到的2张卡片上的数为一奇一偶”包含的样本点有:(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,1),(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,1),(4,3),(4,5),(4,7),(4,9),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(6,1),(6,3),(6,5),(6,7),(6,9),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7),(8,9),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),共40个. 因此所求事件的概率P=. C 8.从1,2,3,4,5中随机选取两个数字,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点. “两数之差的绝对值为2”包含(1,3),(2,4),(3,5),共3个样本点,所以两数之差的绝对值为2的概率P1=,故A不是;“两数之差的绝对值为1”包含(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4个样本点,所以两数之差的绝对值为1的概率P2=,故B是;“两数之和不小于6”包含(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共6个样本点,所以两数之和不小于6的概率P3=,故C不是;“两数之和不大于5”包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),共4个样本点,所以两数之和不大于5的概率P4=,故D是. 故选BD. BD 二．填空题 9. 样本空间Ω={(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9)},共有10个样本点.事件“长度相差0.3 m”包含(2.5,2.8),(2.6,2.9),2个样本点. 因此,所求概率P=. 10.从这六家企业中任选两家,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共有15个样本点.设事件M=“中标企业中至少有一家来自北京市”,则M={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},包含12个样本点. 故中标企业中至少有一家来自北京市的概率P(M)=. 11.从5个数字中不放回地任取两数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个. 因为都为奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,所以所求概率P1=. 从5个数字中有放回地任取两数,样本点共有25个,都为偶数的样本点有(2,4),(4,2),(2,2),(4,4),共4个,故所求概率P2=. 12.试验的样本空间Ω={(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)},共有10个样本点.“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”之外的都不相克,共有5个,故抽取到的两种属性不相克的概率为. 13. 将水果编号为1,2,3,4,则甲的选择可以是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种,乙的选择也有6种,故样本空间共有样本点的个数为6×6=36.而“甲、乙两同学各自所选的两种水果相同”包含的样本点有6个,故所求概率为. 三．解答题 14. 用数组(x,y)表示试验可能的结果,其中x,y分别表示第一次、第二次向上的点数. 从图中容易看出,样本空间共有36个样本点. (1)记事件A=“向上的点数之和是4的倍数”,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有9个:(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6),所以P(A)=. (2)记事件B=“向上的点数之和大于5且小于10”,从图中可以看出,事件B包含的样本点共有20个(已用虚线圈出),所以P(B)=. 15. 设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B, 则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}, 共16个样本点. (1)事件A即取出的两个小球号码之和等于4或3,包含的样本点有:(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7个,则中三等奖的概率为P(A)=. (2)由(1)知两个小球的号码之和等于3或4的取法有7种;两个小球的号码之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2);两个小球的号码之和等于6的取法有1种:(3,3),则中奖的概率为P(B)=. 16. (1)依题意,从6个国家中任选2个国家,对应的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共有15个样本点. 记事件M=“所选国家都是亚洲国家”,则M={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共有3个样本点, 因此P(M)=. (2)从亚洲国家和欧洲国家各任选1个,对应的样本空间Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)},共有9个样本点.记事件N=“包括A1但不包括B1”,则N={(A1,B2),(A1,B3)},共有2个样本点,因此P(N)=. 17. 设3杯A奶茶为A1,A2,A3,2杯B奶茶为B1,B2,则从5杯奶茶中任选2杯,对应的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共有10个样本点,且这10个样本点是等可能出现的. (1)记事件M=“此人被评为优秀”,则事件M={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共有3个样本点, 则P(M)=. (2)记事件N=“此人被评为良好及以上”,则事件N={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2)},共有9个样本点,则P(N)=. 学科网（北京）股份有限公司 $