10.1.3 古典概型（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

10.1.3　古典概型 基础过关练 题组一　对古典概型的理解 1.(多选题)(2024贵州毕节威宁第八中学月考)下列有关古典概型的说法中正确的是(　　) A.样本空间的样本点总数有限 B.每个事件发生的可能性相等 C.每个样本点发生的可能性相等 D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)= 2.(2025安徽江淮十校联考)下列试验中符合古典概型的是(　　) A.抛掷一枚六个面都是不同材质的骰子,得到正面向上的点数 B.抽奖箱里有4个白球和6个黑球,这10个球除颜色外完全相同,从中任取一个球 C.向一个圆面内随机地投一个点,观察该点落在圆内的位置 D.射击选手进行射击训练,结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 题组二　求古典概型的概率 3.(2025北京石景山期末)某袋中有编号为1,2,3,4的4个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2025四川内江一中开学考试)柜子里有3双不同的鞋,分别用a1,a2,b1,b2,c1,c2表示6只鞋,如果从中随机地取出2只,则取出的鞋一只是左脚的一只是右脚的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(多选题)(2025河南焦作期中)甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游,已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响,则下列说法正确的是(　　) A.甲去云台山的概率为 B.甲、乙两人都去云台山的概率为 C.甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为 D.甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为 6.(2025江西上进联考检测)某商场推出了机器人服务,其从甲公司购买了3台不同的机器人,从乙公司购买了2台不同的机器人,现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务,则这2台机器人来自于不同公司的概率为　　　　.  7.(2025江西吉安期末)小明准备在寒假期间前往吉安旅游,他计划用三天时间游览“武功山”“钓源古村”“后河·梦回庐陵”这三个景点,一天只能游览一个景点,如果按照任意次序游览,那么第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为　　　　.  8.(2025安徽临泉田家炳实验中学月考)从大小、形状均相同,编号为1,2,3,4,5的5个小球中,选取3个小球,求下列事件的概率: (1)编号为1,2的小球同时被取到的概率; (2)所取到的3个小球的编号之和为偶数的概率. 9.(2025吉林通化梅河口五中月考)从2,3,4,8,9中任取两个不同的数,分别记为a,b. (1)求a+b为偶数的概率; (2)求logab为整数的概率. 10.(教材习题改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张标签,随机选取两张标签,一次选取一张. (1)若标签的选取是不放回的,写出该随机试验的样本空间,并求两张标签上的数字为相邻整数的概率; (2)若标签的选取是有放回的,写出该随机试验的样本空间,并求两张标签上的数字为相邻整数的概率. 11.(2025江西九江期末)某研究机构为了解当地中学生的阅读情况,通过随机抽样调查了200位中学生,对这些中学生每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,将这些学生每天阅读的时间(单位:分钟)分成五组:[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值,并估计这200位学生每天阅读的平均时间(同组数据用区间的中点值代替); (2)现在从[20,40)和[40,60)两组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行交流,求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 能力提升练 题组　古典概型概率的求解及其应用 1.(2025北京延庆期末)人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分,决定眼皮单双的基因有两种,一种是显性基因(记为B),另一种是隐性基因(记为b).基因总是成对出现(如BB,Bb,bb),而成对的基因中,只要出现了显性基因,那么这个人就一定是双眼皮.有一对夫妻,父亲的基因为Bb,母亲的基因是bb,不考虑基因突变,则他们的孩子是单眼皮的概率为(　　) A.0　　B.　　C.　　D. 2.(2025广东东莞期末)如图,一个质点在外力的作用下,从原点出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,共移动4次,则质点位于原点左侧的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2025四川泸州期末)“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠,是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将10拆成两个均大于2的正整数的和,则这两个正整数均为素数的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2024福建泉州泉港第二中学月考)甲、乙、丙三人玩传球游戏,每个人都等可能地把球传给另两人,由甲开始传球,作为第一次传球,经过3次传球后,球回到甲手中的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2024湖北鄂州第二中学期中)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,将得到的点数分别记为m,n,已知向量a=(2m-3,n-1),b=(1,-1),记a,b的夹角为θ,则θ为钝角的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(多选题)(2025四川资阳期末)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中各随机取一个数a和b得到数对(a,b),则(　　) A.所有的数对(a,b)共有30种情况 B.函数y=f(x)有零点的概率为 C.使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的数对(a,b)共有13种情况 D.函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为 7.(2025上海奉贤中学月考)九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格,某九宫格如图所示,小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数,小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字,a,b,c,d,e这5个数字未知,且b,d为奇数,则a+b≥5的概率为　　　　.  9 a 7 b c d 4 e 5 8.(2025四川内江一中开学考试)某地为了帮扶中小微企业,给予企业一定的专项贷款资金支持.该地120家中小微企业的专项贷款金额(单位:万元)的频率分布直方图如图. (1)确定a的值,并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数); (2)按专项贷款金额进行比例分配的分层随机抽样,从这120家中小微企业中随机抽取20家,记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m. ①求m的值; ②从这m家中小微企业中随机抽取3家,求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率. 9.(2024山东青岛胶州实验中学月考)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中红球1个,黄球1个,蓝球n个,从袋子中随机抽取1个小球,设取到蓝球为事件M,且事件M发生的概率是. (1)求n的值; (2)从袋子中不放回地依次随机抽取2个小球,若每次取到红球得0分,取到黄球得1分,取到蓝球得2分,设第一次取出小球后得分为a,第二次取出小球后得分为b,记事件N为“a+b=2”,求事件N发生的概率. 10.(2025江西景德镇乐平中学期中)有甲、乙两个盒子,其中甲盒中装有四张卡片,分别写有:奇函数、偶函数、增函数、减函数,乙盒中也装有四张卡片,分别写有函数:f1(x)=x2, f2(x)=-x+1, f3(x)=, f4(x)=. (1)若从乙盒中任取两张卡片,求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率; (2)从甲、乙两盒中各取一张卡片,若乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质,则称这两张卡片“奇遇”,现从两盒中各取一张卡片,求这两张卡片“奇遇”的概率. 答案与分层梯度式解析 10.1.3　古典概型 基础过关练 1.ACD 2.B 3.A 4.C 5.AC 1.ACD　由古典概型的概念可知,样本空间的样本点总数有限,且每个样本点发生的可能性相等,故A,C正确;每个事件不一定包含一个样本点,可能包含若干个样本点,所以B不正确;根据古典概型的概率计算公式可知D正确. 2.B　对于A,因为骰子各个面材质不同,所以每一面出现的可能性是不相等的,不是古典概型; 对于B,球的数量有限,且每次试验中,每个球被抽中的可能性相同,是古典概型; 对于C,试验的样本点个数无限,不是古典概型; 对于D,因为各环的大小不同,所以不满足各个样本点出现的可能性相等,不是古典概型. 3.A　设甲摸出的球的编号为x,乙摸出的球的编号为y,则试验的样本点可用(x,y)表示. 用列表法写出所有样本点: 甲 乙 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 则样本点共有16个, 其中甲、乙两人所摸出球的编号不同的样本点有12个, 因此甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是=. 4.C　设a1,b1,c1分别表示三双鞋的左只,a2,b2,c2分别表示三双鞋的右只, 则从中随机取出2只的所有可能情况为(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2),共15种, 其中满足取出的鞋一只是左脚的一只是右脚的情况有(a1,a2),(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,b2),(b1,c2),(b2,c1),(c1,c2),共9种, 所以所求概率为=. 5.AC　将去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为A,B,C,D, 依题意可知样本空间Ω={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD},共含有16个样本点. 甲去云台山的情况为AA,AB,AC,AD,共4种,故概率为=,因此A正确; 甲、乙两人都去云台山的情况为AA,共1种,故概率为,因此B错误; 甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为AB,AC,AD,BA,CA,DA,共6种,故概率为=,因此C正确; 甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为AA,AB,AC,AD,BA,CA,DA,共7种,故概率为,因此D错误. 6.答案　 解析　甲公司购买的3台机器人分别记为A,B,C,乙公司购买的2台机器人分别记为a,b, 从中任取2台的情况为(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10种, 其中这2台来自于不同公司的情况为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),共6种, 因此所求概率P==. 7.答案　 解析　分别记“武功山”“钓源古村”“后河·梦回庐陵”为a,b,c, 根据三个景点的游览顺序,游览情况为(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),共有6种, 其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种情况,故所求概率为=. 8.解析　(1)从编号为1,2,3,4,5的5个小球中任意取出3个,样本空间Ω={123,124,125,134,135,145,234,235,245,345},共10个样本点, 记事件A=“编号为1,2的小球同时被取到”, 则A={123,124,125},共3个样本点,因此P(A)=. (2)记事件B=“所取到的3个小球的编号之和为偶数”, 则B={123,125,134,145,235,345},共6个样本点, 因此P(B)==. 9.解析　试验的样本点用(a,b)表示,则样本空间Ω={(2,3),(2,4),(2,8),(2,9),(3,2),(3,4),(3,8),(3,9),(4,2),(4,3),(4,8),(4,9),(8,2),(8,3),(8,4),(8,9),(9,2),(9,3),(9,4),(9,8)},共包含20个样本点. (1)设事件A=“a+b为偶数”,则A={(2,4),(2,8),(3,9),(4,2),(4,8),(8,2),(8,4),(9,3)},包含8个样本点,则P(A)==. (2)设事件B=“logab为整数”, 因为log24=2,log28=3,log39=2, 所以B={(2,4),(2,8),(3,9)},包含3个样本点,因此P(B)=. 10.解析　设第一次选取的标签的标号为x,第二次选取的标签的标号为y,则样本点可用(x,y)表示. (1)标签的选取是不放回的,则样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12个样本点, 记事件A=“两张标签上的数字为相邻整数”,则A={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)},共6个样本点,所以P(A)==. (2)标签的选取是有放回的,则样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点, 记事件B=“两张标签上的数字为相邻整数”,则B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)},共6个样本点,所以P(B)==. 名师点睛 　　“有放回”抽取相当于在相同条件下把一个试验重复进行多次,“不放回”抽取是抽取后不放回,前面的抽取结果会影响后面的抽取结果.解决这类古典概型问题,一定要注意两者的区别,将事件一一列清,再根据公式求解. 11.解析　(1)由频率分布直方图,得20×(0.002 5+a+0.02+a+0.007 5)=1,解得a=0.01, 易得五组区间对应的频率为0.05,0.2,0.4,0.2,0.15, 所以这200位学生每天阅读的平均时间为10×0.05+30×0.2+50×0.4+70×0.2+90×0.15=54(分钟). (2)每天阅读时间在[20,40)和[40,60)内的人数的比值为=, 则抽取的6人中,在[20,40)内的有2人,记为A,B,在[40,60)内的有4人,记为c,d,e, f, 从这6人中随机抽取2人的所有可能情况为AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种, 阅读的时间所在区间不同的情况为Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,共8种, 所以这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为. 能力提升练 1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.BC 1.C　用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因,其中第一个字母表示父亲提供的基因,第二个字母表示母亲提供的基因,则可能的结果有Bb,Bb,bb,bb,共4个,孩子要是单眼皮,成对的基因只能是bb,因此所求概率为=. 2.A　由题意可得质点移动4次可能的结果有左左左左,左左左右,左左右左,左右左左,右左左左,左左右右,左右左右,左右右左,右左左右,右左右左,右右左左,左右右右,右左右右,右右左右,右右右左,右右右右,共16种. 质点位于原点左侧的结果有左左左左,左左左右,左左右左,左右左左,右左左左,共5种, 所以质点位于原点左侧的概率为. 3.B　记“这两个正整数都为素数”为事件A, 则样本空间Ω={(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3)},n(Ω)=5,A={(3,7),(5,5),(7,3)},n(A)=3,故所求概率为. 4.C　由题意可知,传球的所有情况如下: (把球传给下一个人,相邻之间不能重复,适合用树状图来表示) 故所求概率为=. 解题模板 　　当样本点个数没有很明显的规律,且涉及的样本点又不是太多时,可借助树状图直观地将其表示出来.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个“树枝”之后可猜想其余的情况. 5.D　若θ为钝角,则a·b<0,且a,b不共线, 所以 即n>2m-2,且n≠4-2m. 当m=1时,n>0且n≠2,所以n可取1,3,4,5,6; 当m=2时,n>2,所以n可取3,4,5,6; 当m=3时,n>4,所以n可取5,6; 当m=4,5,6时,n>2m-2≥6,无解. 综上所述,满足条件的(m,n)有11种可能. 易知先后抛掷两次骰子得到的样本点个数为36, 所以θ为钝角的概率为. 6.BC　对于A,(a,b)的所有可能情况为(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种,因此A不正确; 对于B,函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况,所以函数y=f(x)有零点的概率为=,因此B正确; 对于C,D,因为a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=,所以y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增时,≤1, 满足条件的数对有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种情况, 所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为,因此C正确,D错误. 7.答案　 解析　由题意知b=1,d=3或b=3,d=1,a,c,e可取2,6,8,当b=1,d=3时,(a,c,e)的结果为(2,6,8),(2,8,6),(6,2,8),(6,8,2),(8,2,6),(8,6,2),共6种,同理,当b=3,d=1时,也有6种结果,所以共有12种等可能的结果,其中a+b≥5的结果有10种, 所以a+b≥5的概率为=. 8.解析　(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1得(0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1,解得a=0.004. 则专项贷款金额在[0,150)内的频率为(0.002+0.003+0.004)×50=0.45,在[0,200)内的频率为0.45+0.006×50=0.75,设中位数为t万元,则t在[150,200)内, 所以(t-150)×0.006=0.5-0.45,解得t≈158, 所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元. (2)①由题意,抽样比为=, 专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业共有120×50×(0.004+0.001)=30(家), 所以m=30×=5. ②专项贷款金额在[200,250)内和在[250,300]内的频率之比为4∶1, 因此在抽取的5家中小微企业中,专项贷款金额在[200,250)内的有4家,分别记为A,B,C,D,专项贷款金额在[250,300]内的有1家,记为E, 从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种, 其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况有ABC,ABD,ACD,BCD,共4种, 所以所求概率为=. 9.解析　(1)从袋子中随机抽取1个小球,共有(n+2)种结果,每种结果出现的可能性相同,其中事件M发生有n种结果,所以P(M)==,解得n=2. (2)记红球为A,黄球为B,蓝球分别为C1,C2, 则不放回地取出2个小球的可能情况如下: 第一次 第二次 A B C1 C2 A × (A,B) (A,C1) (A,C2) B (B,A) × (B,C1) (B,C2) C1 (C1,A) (C1,B) × (C1,C2) C2 (C2,A) (C2,B) (C2,C1) × 共12种, 其中事件N包含的情况有(A,C1),(A,C2),(C1,A),(C2,A),共4种, 所以P(N)==. 10.解析　(1)乙盒中的4个函数f1(x)=x2, f2(x)=-x+1, f3(x)=, f4(x)=分别记为1,2,3,4, 从乙盒中任取两张卡片,所有的取法为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种, 易知函数f1(x), f2(x)的定义域均为R,函数f3(x)的定义域为[0,+∞),函数f4(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 所以所取函数的定义域不同的取法有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5种, 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为. (2)把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减, 则从甲、乙两盒中各取一张卡片的所有可能情况为(奇,1),(奇,2),(奇,3),(奇,4),(偶,1),(偶,2),(偶,3),(偶,4),(增,1),(增,2),(增,3),(增,4),(减,1),(减,2),(减,3),(减,4),共16种. 易知f1(x)是偶函数, f4(x)是奇函数, f2(x)是减函数, f3(x)是增函数, 所以这两张卡片“奇遇”的情况有(偶,1),(奇,4),(减,2),(增,3),共4种, 所以这两张卡片“奇遇”的概率为=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $