2025-2026学年北师大版八年级下册数学期末复习——选填压轴专练

**基本信息** 聚焦北师大版八年级下数学期末选填压轴，以几何综合与函数应用为核心，通过22道典型题构建"问题情境-模型转化-策略提炼"的解题体系，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|16题|中点四边形判定、旋转构全等、折叠性质应用|从平行四边形性质出发，通过图形变换（旋转/折叠）构建全等/相似模型，形成"性质-变换-关系"逻辑链| |函数与代数|6题|一次函数参数分析、勾股数规律探究|结合函数图像与几何图形，渗透数形结合思想，体现"数量关系-图像特征-参数求解"递进关系|

2025-2026学年北师大版八年级下数学期末复习——选填压轴专练 一．选择题（共11小题） 1．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框ABCD，固定边BC在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花EFGH．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内．下列说法错误的是（　　） A．四边形EFGH的形状为平行四边形 B．四边形EFGH的面积始终在变小 C．四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的 D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线之和 2．观察等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（　　） （22﹣1）2+42＝（22+1）2 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 （42﹣1）2+82＝（42+1）2 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 … A．245 B．259 C．336 D．350 3．如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到△DEF，若∠BAD＝30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将BC边绕着点A逆时针旋转90°，旋转后的对应线段B′C′与BC边交于点E，连接AE，则AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，小福在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF，然后在矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N，分割出矩形FMND和矩形MECN，最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND．若矩形GHND与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝3BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形：⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 7．同一平面内，有6个不同的点：A、B、C、D、E、F，点B在线段AC上，点E在线段DF上，若，则对于结论：①BE∥CF，②AE∥BF，③DB∥EC，下列四个选项一定正确的是（　　） A．① B．②③ C．①②③ D．四个结论都不一定正确 8．如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内且满足m+n＝3，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当x＜0时，y＞b B．当x＜2时，y＜2k+b C．若k≥3，则b≥﹣6 D．若b≥8，则 9．如图，有两个完全重合的▱ABCD和▱AEFG，把▱AEFG绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在▱ABCD的边CD上，连接BG，∠DAB＝45°，，BC＝2，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，BC边上一点E满足BE＝AD，连接D，E．现将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．若CE＝2，DE＝3，则点E到AB边的距离为（　　） A． B． C． D． 11．如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，若OP＝6，PC＝4，则CD长为（　　） A．5 B． C． D． 二．填空题（共11小题） 12．如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，则满足条件的油库到每条公路的距离为　 　 km． 13．如图，将线段CG绕点C旋转到CA的位置，再将AC绕点A旋转至AD，使AD⊥AG，延长DC、AG交于点B，若BC＝14，DC＝4，则BG＝　 　 ． 14．如图，D是等边△ABC内一点，∠ADC＝120°，CD＝6，则△BDC的面积为 　 　 ． 15．如图，点P是长方形ABCD边上的一个动点，从A点开始，沿A→D→C→B→A顺时针运动一周，运动速度是1cm/s．当运动时间t为5s或35s时，点P均满足PB＝PD，则AB的长为 　 　 cm． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，连接DE、EF、FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设，若AD＝DF，则＝ 　 　 （结果用含k的代数式表示）． 17．如图，点P在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点Q在直线AM上运动，连接PQ，AP，有以下结论： ①当∠PAQ＝30°，PQ＝4时，能得到形状唯一的△PAQ． ②当∠PAQ＝30°，PQ＝5时，不能得到形状唯一的△PAQ． ③当∠PAQ＝90°，PQ＝8时，不能得到形状唯一的△PAQ． ④当∠PAQ＝150°，PQ＝10时，能得到形状唯一的△PAQ． 其中正确结论的序号是　 　 ． 18．如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，点E在边BC上且BE＝3，CE＝2AB，连接AE，将△ABE沿AE进行折叠，点B的对应点为点F，点D是AC的中点，连接BD，当BD∥EF时，AB＝　 　 ． 19．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E是AC边上一动点，将△ADE沿ED翻折得到△FED，延长EF交线段BC于点G．若CG＝2，则AE的长为 　 　 ． 20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向匀速运动到点C，速度为1cm/s，图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为 　 　 ． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，M是BC边上一动点，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转30°到线段AN，连接CN，当线段CN最短时，线段BM的长度为　 　 ． 22．如图，在▱ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　 　 ． 2025-2026学年北师大版八年级下数学期末复习——选填压轴专练 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B B D B D B B B D 一．选择题（共11小题） 1．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框ABCD，固定边BC在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花EFGH．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内．下列说法错误的是（　　） A．四边形EFGH的形状为平行四边形 B．四边形EFGH的面积始终在变小 C．四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的 D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线之和 【答案】B 【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定得到四边形EFGH为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式、周长公式计算，判断即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF、GH分别为△ABC、△ADC的中位线， ∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD， ∴EF＝GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EF＝AC，EF∥AC， ∴S△BEF＝S△ABC， 同理可得：S四边形EFGH＝S四边形ABCD， ∵EF＝AC，FG＝BD， ∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线之和， 故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误， 故选：B． 【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．观察等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（　　） （22﹣1）2+42＝（22+1）2 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 （42﹣1）2+82＝（42+1）2 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 … A．245 B．259 C．336 D．350 【答案】C 【分析】由题目中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边2n＝14，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：观察发现：第n个等式为：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 故存在以n2﹣1、2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形， ∴当有一个直角边为14的直角三角形时 ∵三个整数能构成直角三角形的三条边长， ∴2n＝14，解得n＝7， ∴直角三角形的另一个直角边是72﹣1＝48， ∴这个直角三角形的面积为×14×48＝336． 故选：C． 【点评】本题考查的是数字的变化类，勾股数，三角形的面积，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． 3．如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到△DEF，若∠BAD＝30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作BQ⊥CF于点Q，交AD于点P，由题意得∠ABC＝90°，BC＝AB，平移得AD∥BE∥CF，AD＝BE＝CF，所以边BC扫过的面积为平行四边形BCFE的面积，边AB扫过的面积为平行四边形ABED的面积，可证明△QBC≌△PAB，得BQ＝AP，因为∠BAD＝30°，所以AB＝2BP，则BQ＝AP＝BP，求得＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：过点B作BQ⊥CF于点Q，交AD于点P，则∠BQC＝∠BQF＝90°， ∵△ABC是含45°的三角形，∠ABC＝90°， ∴BC＝AB， 由平移得AD∥BE∥CF，AD＝BE＝CF， ∴边BC扫过的面积为平行四边形BCFE的面积，边AB扫过的面积为平行四边形ABED的面积， ∵∠APB＝∠BQF＝90°， ∴BP⊥AD，∠BQC＝∠APB， ∴S平行四边形BCFE＝CF•BQ，S平行四边形ABED＝AD•BP＝CF•BP， ∵∠QBC+∠ABP＝90°，∠PAB+∠ABP＝90°， ∴∠QBC＝∠PAB， 在△QBC和△PAB中， ， ∴△QBC≌△PAB（AAS）， ∴BQ＝AP， ∵∠APB＝90°，∠BAD＝30°， ∴AB＝2BP， ∴BQ＝AP＝＝＝BP， ∴＝＝， 故选：B． 【点评】此题重点考查平移的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将BC边绕着点A逆时针旋转90°，旋转后的对应线段B′C′与BC边交于点E，连接AE，则AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作AF⊥BC于F点，AH⊥B′C′于H点，如图，先根据腰三角形的性质得到∠B＝30°，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AF＝1，再根据旋转的性质得到AF＝AH，∠FAH＝90°，然后证明四边形AFEH为正方形，从而得到AE＝AF． 【解答】解：过A点作AF⊥BC于F点，AH⊥B′C′于H点，如图， ∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， ∴∠B＝30°， ∴AF＝AB＝1， ∵BC边绕着点A逆时针旋转90°得到线段B′C′， ∴AF＝AH，∠FAH＝90°， ∵∠AFE＝∠AHE＝90°， ∴四边形AFEH为正方形， ∴AE＝AF＝． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系． 5．如图，小福在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF，然后在矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N，分割出矩形FMND和矩形MECN，最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND．若矩形GHND与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设FG＝DG＝a，DN＝CN＝b，由矩形GHND与矩形ABCD相似得，求出（）2+﹣1＝0，解方程得，先求出，进而可求出． 【解答】解：∵在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF，然后在矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N，分割出矩形FMND和矩形MECN，最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND， ∴AB＝EF＝CD，FG＝DG，DN＝CN． 设FG＝DG＝a，DN＝CN＝b， 则FD＝2a，AB＝EF＝CD＝2b， ∵ABEF是正方形， ∴AF＝AB＝2b， ∴AD＝2a+2b． ∵矩形GHND与矩形ABCD相似， ∴， ∴， ∴a2+ab﹣b2＝0， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 6．如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝3BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形：⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】根据含30°角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出△GED≌△CED（ASA），得到GE＝CE，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长AB，DC交于点H，然后证明出△ABD≌△HBD（ASA），得到AB＝HB，然后得到BF是△AHC的中位线，得到BF∥DH，然后结合等边对等角得到∠FEB＝∠FBD，然后结合AG＝2FE即可判断③；连接FD，证明出△FOB≌△COD（ASA），得到FB＝CD，然后结合FB∥CD，即可证明出四边形BCDF是平行四边形，进而可判断④；由GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，从而得到FB≠2GE，即可判断⑤． 【解答】解：∵BD⊥AB，但∠BAO≠30°， ∴AO≠2BO，故①错误； ∵CG⊥BD， ∴∠GED＝∠CED， ∵BD平分∠ADC， ∴∠GDE＝∠CDE， 又∵DE＝DE， ∴△GED≌△CED（ASA）， ∴GE＝CE， ∵AC中点为F， ∴EF∥AD，故②正确； 如图所示，延长AB，DC交于点H ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝∠HBD＝90°， ∵∠GDE＝∠CDE，BD＝BD， ∴△ABD≌△HBD（ASA）， ∴AB＝HB， ∵点F为AC的中点， ∴BF是△AHC的中位线， ∴BF∥DH， ∴∠FBD＝∠HDE， ∵∠GDE＝∠CDE， ∴∠FBD＝∠GDE， ∵EF∥AD， ∴∠FEB＝∠GDE＝∠FBD， ∴FB＝FE， ∵EF是△AGC的中位线， ∴AG＝2FE， ∴AG＝2BF，故③错误； 如图所示，连接FD， ∵∠FBO＝∠CDO，OB＝OD，∠FOB＝∠COD， ∴△FOB≌△COD（ASA）， ∴FB＝CD， 又∵FB∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形，故④正确； ∵GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD， ∴FB≠2GE，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②④． 故选：B． 【点评】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 7．同一平面内，有6个不同的点：A、B、C、D、E、F，点B在线段AC上，点E在线段DF上，若，则对于结论：①BE∥CF，②AE∥BF，③DB∥EC，下列四个选项一定正确的是（　　） A．① B．②③ C．①②③ D．四个结论都不一定正确 【答案】D 【分析】画出反例，即可得出答案． 【解答】解：如图所示：令AB＝BC＝1，DE＝EF＝1，则， ， 由图可知：BE不平行于CF，AE不平行于BF，DB不平行于EC， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 8．如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内且满足m+n＝3，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当x＜0时，y＞b B．当x＜2时，y＜2k+b C．若k≥3，则b≥﹣6 D．若b≥8，则 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次不等式逐项分析判断即可． 【解答】解：A、如图，点P（m，n）在线段MN上（m≠0，n≠0），A（3，3）， ∴直线y＝kx+b的k＞0， ∵x＜0， ∴kx＜0， ∴y﹣b＜0，即y＜b，故选项说法错误，不符合题意； B、当x＝2时，函数y＝2k+b， ∵k＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴x＜2时，y＜2k+b，故选项说法正确，符合题意； C、∵一次函数y＝kx+b过A（3，3）， ∴b＝3﹣3k， ∵﹣3＜0， ∴b随k的增大而减小， ∴当k≥3，则b≤﹣6，故原说法错误，不符合题意； D、∵b＝﹣3k+3， ∴b随k的增大而减小， 当﹣3k+3≥8时，k≤﹣，故原说法错误，也不符合题干k＞0，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．如图，有两个完全重合的▱ABCD和▱AEFG，把▱AEFG绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在▱ABCD的边CD上，连接BG，∠DAB＝45°，，BC＝2，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，根据平行四边形的性质可以得出△BEM和△BEN全等，再根据等腰直角三角形三边关系可以得出BM，GH，可以证明△GQH和△BQN全等，从而得到BQ＝GQ，根据勾股定理求出BQ，从而可以求得BG． 【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图： 由旋转的性质可知，AE＝AB＝，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH＝， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2， ∴∠CEB＝∠ABE，BM＝， ∴∠BEN＝∠BEM， 又∵BE＝BE， ∴△BEN≌△BEM（AAS）， ∴BN＝BM＝＝GH， 又∵∠GQH＝∠BQN， ∴△QGH≌△QBN（AAS）， ∴BQ＝CQ，HQ＝NQ， ∴BG＝2BQ， ∵AB＝， ∴AN＝＝2， ∴HN＝AN﹣AH＝， ∴HQ＝NQ＝， ∴BQ＝＝， ∴BG＝2BQ＝． 故选：B． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，BC边上一点E满足BE＝AD，连接D，E．现将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．若CE＝2，DE＝3，则点E到AB边的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过D作DF⊥BC于F，证明四边形ABED是平行四边形，可得AB∥ED，AB＝DE＝3，即可得DE＝CD＝3，求出EF＝CF＝CE＝1，DF＝＝2，故S△CDE＝CE•DF＝2＝S△C'DE，设点E到AB边的距离为h，即可得h＝2，解得h＝． 【解答】解：过D作DF⊥BC于F，如图： ∵AD∥BC，BE＝AD， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB∥ED，AB＝DE＝3， ∵AB＝CD， ∴DE＝CD＝3， ∵DF⊥BC， ∴EF＝CF＝CE＝1， ∴DF＝＝＝2， ∴S△CDE＝CE•DF＝×2×2＝2， ∵将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处， ∴S△C'DE＝2， 设点E到AB边的距离为h，由AB∥ED可知点C'到ED边的距离为h， ∴S△C'DE＝DE•h＝h， ∴h＝2， 解得h＝， ∴点E到AB边的距离为； 故选：B． 【点评】本题考查四边形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题的关键是掌握翻折的性质． 11．如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，若OP＝6，PC＝4，则CD长为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出OC，根据角平分线的性质得到PC＝PD，证明Rt△OCP≌Rt△ODP，根据全等三角形的性质得到OC＝OD，得到OP⊥CD，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°， ∴OC＝＝＝2， ∵点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD， 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）， ∴S△OCP＝S△ODP，OC＝OD， ∵PC＝PD，OC＝OD， ∴OP⊥CD， ∴×2×4×2＝×6×CD， ∴CD＝， 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握三角形的全等的判定定理是解题的关键． 二．填空题（共11小题） 12．如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，则满足条件的油库到每条公路的距离为　1或3　 km． 【答案】1或3． 【分析】根据等边三角形的判定可得△ABC是等边三角形，再根据角平分线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图： ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴BE＝km， ∵油库到这三条公路的距离都相等， ∴油库的位置可以设计在△ABC三条角平分线（或外角平分线）的交点． ∴AE＝D′E＝3km， 当油库在△ABC里面时，DE＝AE＝1km； 当油库在△ABC外面时，D′E＝3km． 故答案为：1或3． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 13．如图，将线段CG绕点C旋转到CA的位置，再将AC绕点A旋转至AD，使AD⊥AG，延长DC、AG交于点B，若BC＝14，DC＝4，则BG＝　　 ． 【答案】， 【分析】本题涉及旋转的性质，旋转前后对应线段相等．通过旋转得到相等的线段，再利用三角形的相关知识来求解． 【解答】解：作CE⊥AB于E， 在Rt△ACE和Rt△GCE中， 由勾股定理得CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CG2﹣GE2， 即CE2＝CG2﹣（CG×cos∠CGE）2， CE2＝AC2﹣（BC﹣CG×cos∠CGA）2， 联立以上等式可得AG2＝AC2+CG2﹣2AC×CG×cos∠ACG．① ∵CE∥AD， ∴△CEB∽△DAB， ＝， ∵BC＝14，DC＝4， ∴＝， ∵sin∠CGE＝sin∠CAG＝cos∠DAC，线段CG绕点C旋转到CA，AC绕点A旋转至AD， ∴cos∠DAC＝， 由①可知cos∠DAC＝， 代入数据解得AD＝6， 由勾股定理可得AB＝， AB＝＝12， 由一可知AE＝AC×cos∠CAE＝， AG＝2AE＝， BG＝AB﹣AG＝． 【点评】本题结合旋转，考查了解直角三角形． 14．如图，D是等边△ABC内一点，∠ADC＝120°，CD＝6，则△BDC的面积为 　9　 ． 【答案】9． 【分析】如图，在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE．证明△BCD≌△ACE（SAS），再证明AD∥EC，推出△BDC的面积＝△AEC的面积＝△CDE的面积． 【解答】解：如图，在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE． ∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴CB＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在∠BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∵∠ADC＝120°，∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ADE＝∠CED＝60°， ∴AD∥EC， ∴△BDC的面积＝△AEC的面积＝△CDE的面积＝×62＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．如图，点P是长方形ABCD边上的一个动点，从A点开始，沿A→D→C→B→A顺时针运动一周，运动速度是1cm/s．当运动时间t为5s或35s时，点P均满足PB＝PD，则AB的长为 　12　 cm． 【答案】12． 【分析】分两种情况讨论：当AB＜AD时，当AB＞AD时，分别根据矩形的性质、勾股定理求解即可． 【解答】解：当AB＜AD时， ∵当运动时间t为5s或35s时，点P均满足PB＝PD， ∴点P在BD的垂直平分线上， 连接BD，作BD的垂直平分线分别交AD和BC于点P1和P2，连接P1B，P2D，如图， 由长方形的中心对称性可知，△P1OD≌△P2OB， ∴P1D＝P2B， ∴AP1＝CP2． 由题意可知，AP1＝5，AD+DC+CP2＝35， 即AP1+P1D+DC+CP2＝35， ∴P1D+DC＝25， 设AB＝x，则P1D＝25﹣x， ∵P1P2是BD的垂直平分线， ∴P1B＝P1D＝25﹣x， 在Rt△ABP1中，由勾股定理可知，x2+52＝（25﹣x）2， 解得：x＝12． 当AB＞AD时，如图， 由长方形的中心对称性可知，△P1OD≌△P2OB， ∴P1D＝P2B， 由题意可知，AD+DP1＝5，AD+DP1+P1C+BC+BP2＝35， ∴P1C＝25， 由中心对称性可知CB+BP2＝AD+DP1＝5， 所以CP1＝20， 所以BP1＝DP1＜CP1与P1在BD的垂直平分线上不符，情况不成立， 故答案为：12． 【点评】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，连接DE、EF、FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设，若AD＝DF，则＝ 　k2．　 （结果用含k的代数式表示）． 【答案】k2． 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝kAB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求解． 【解答】解：∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB． ∵AD＝DF， ∴∠A＝∠DFA， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠BDE＝∠FDE， 又∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA， ∴∠FDE＝∠DFA， ∴DE∥AC， ∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠DEB＝∠DEF， ∴∠C＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴△ABC∽△ECF． ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝， ∴EC＝BC， ∵＝k， ∴BC＝k•AB，EC＝kAB， ∵△ABC∽△ECF， ∴， ∴＝， 解得CF＝k2•AB， ∴＝k2， 故答案为：k2． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解题的关键是证明△ABC∽△ECF． 17．如图，点P在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点Q在直线AM上运动，连接PQ，AP，有以下结论： ①当∠PAQ＝30°，PQ＝4时，能得到形状唯一的△PAQ． ②当∠PAQ＝30°，PQ＝5时，不能得到形状唯一的△PAQ． ③当∠PAQ＝90°，PQ＝8时，不能得到形状唯一的△PAQ． ④当∠PAQ＝150°，PQ＝10时，能得到形状唯一的△PAQ． 其中正确结论的序号是　①②④　 ． 【答案】①②④． 【分析】分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出△PAQ进行判断即可． 【解答】解：点P在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点Q在直线AM上运动，连接PQ，AP，则： 当∠PAQ＝30°，PQ＝4时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有一个交点，作出△PAQ，故△PAQ唯一，故①正确，符合题意； 如图，当∠PAQ＝30°，PQ＝5时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出△PAQ，发现两个位置的Q都符合题意，故△PAQ不唯一，故②正确，符合题意； 当∠PAQ＝90°，时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出△PAQ，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故△PAQ唯一，故③错误，不符合题意； 当∠PAQ＝150°，PQ＝10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出△PAQ，发现左边位置的Q不符合题意，故△PAQ唯一，故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法、直角三角形的性质等知识点，关键是确定以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM的交点个数是解题的关键． 18．如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，点E在边BC上且BE＝3，CE＝2AB，连接AE，将△ABE沿AE进行折叠，点B的对应点为点F，点D是AC的中点，连接BD，当BD∥EF时，AB＝　　 ． 【答案】． 【分析】延长CB至Q，使得BQ＝BE＝3，延长EF交AC于点H，则有△ABE≌△ABQ（SAS），由折叠性质可知∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，∠FAE＝∠BAE＝∠BAQ，∠AQB＝∠AEB＝∠AEF，设∠FAE＝∠BAE＝∠BAQ＝x，则∠AQB＝∠AEB＝∠AEF＝90°﹣x，故有∠HEC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，根据直角三角形性质可得BD＝AD，所以∠ABD＝∠BAD＝90°﹣2x，则∠QAC＝∠BAC+∠BAQ＝90°﹣2x+x＝90°﹣x，从而可得CA＝CQ，设AB＝a，则CE＝2AB＝2a，最后通过勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，延长CB至Q，使得BQ＝BE＝3，延长EF交AC于点H， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠ABQ＝90°， 在△ABE和△ABQ中， ， ∴△ABE≌△ABQ（SAS）， ∴∠AQB＝∠AEB，∠BAQ＝∠BAE， 由折叠性质可知∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB， ∴∠FAE＝∠BAE＝∠BAQ，∠AQB＝∠AEB＝∠AEF， 设∠FAE＝∠BAE＝∠BAQ＝x，则∠AQB＝∠AEB＝∠AEF＝90°﹣x， ∴∠HEC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x， ∵BD∥EF， ∴∠DBC＝∠HEC＝2x， ∴∠ABD＝90°﹣2x， ∵点D是AC的中点， ∴BD＝AD ∴∠ABD＝∠BAD＝90°﹣2x， ∴∠QAC＝∠BAC+∠BAQ＝90°﹣2x+x＝90°﹣x， ∵∠AQB＝90°﹣x， ∴∠AQB＝∠QAC， ∴CA＝CQ， 设AB＝a，则CE＝2AB＝2a， ∴CA＝CQ＝2a+6，BC＝2a+3， 由勾股定理得：CA2＝AB2+BC2， ∴（2a+6）2＝a2+（2a+3）2， 整理得：a2﹣12a﹣27＝0， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握知识点的应用是解题的关键． 19．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E是AC边上一动点，将△ADE沿ED翻折得到△FED，延长EF交线段BC于点G．若CG＝2，则AE的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】过D作DM⊥EG于M，过G作GP⊥AB于P，GN⊥AC于N，连接DG，设AE＝t，求出CN＝1，根据D为AB中点，可求出DG2＝PD2+PG2＝13，再由将△ADE沿ED翻折得到△FED，有∠MFD＝∠A＝60°，FD＝AD＝3，EF＝AE＝t，根据勾股定理求出t，从而可解得答案； 【解答】解：过D作DM⊥EG于M，过G作GP⊥AB于P，GN⊥AC于N，连接DG，如图4.1： 设AE＝t， ∵等边三角形ABC边长为6， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵CG＝2， ∴，，BG＝BC﹣CG＝6﹣2＝4， ∴，PG＝BP＝2， ∵D为AB中点， ∴AD＝BD＝3， ∴PD＝BD﹣BP＝3﹣2＝1， ∴DG2＝PD2+PG2＝12+＝13， ∵将△ADE沿ED翻折得到△FED， ∴∠MFD＝∠A＝60°，FD＝AD＝3，EF＝AE＝t， ∴MF＝FD＝，， ∴MG＝＝＝， ∴FG＝MG﹣MF＝﹣＝1， ∴EG＝EF+FG＝t+1， ∵AC＝6，AE＝t，CN＝1， ∴EN＝5﹣t， ∵EN2+NG2＝EG2， ∴＝（t+1）2， 解得， ∴AE的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向匀速运动到点C，速度为1cm/s，图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为 　24　 ． 【答案】24． 【分析】根据点P的运动可得出AB，AD的长，再根据面积公式可得出a的值． 【解答】解：由点P的运动可知，AB＝10cm，AD＝18﹣10＝8（cm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理可知，BD＝6cm， ∴a＝S△ABD＝×6×8＝24（cm2）． 故答案为：24． 【点评】本题考查三角形的性质、动点问题的函数图象问题，弄清不同时间段，图象和图形的对应关系是解答的关键． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，M是BC边上一动点，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转30°到线段AN，连接CN，当线段CN最短时，线段BM的长度为　2﹣　 ． 【答案】2﹣． 【分析】由旋转的性质可得AB＝AH＝4，BM＝HN，∠H＝∠B＝60°，即点N在过点H且与AH成60°的直线上运动，则当CN⊥HN时，CN有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转30°得到△AHN， ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2， ∴AB＝4，AC＝2， ∵旋转， ∴AB＝AH＝4，BM＝HN，∠H＝∠B＝60°， ∴点N在过点H且与AH成60°的直线上运动，CH＝4﹣2， ∴当CN⊥HN时，CN有最小值， 此时：∠HCN＝30°， ∴HN＝HC＝2﹣， ∴BM＝2﹣， 故答案为：2﹣． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 22．如图，在▱ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】作AH⊥BC于点H，由平行四边形的性质得BC＝AD＝5，AB＝CD，因为BE＝3，所以CE＝BC﹣BE＝2，由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2，则EH＝CH＝1，AB＝2，所以BH＝BE+EH＝4，则AH＝＝6，求得AE＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，AB＝CD， ∵BE＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2， 由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2， ∴EH＝CH＝CE＝1，AB＝2， ∴BH＝BE+EH＝3+1＝4， ∴AH＝＝＝6， ∴AE＝＝＝， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/7 12:06:12；用户：18938334525；邮箱：18938334525；学号：59579041 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $