5.1.2导数的概念及其几何意义 练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义 练习 一、单选题 1．设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 2．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 6．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 7．在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 8．已知在上可导，且，则曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 10．记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 11．已知函数与的图象的公切线为，则（    ） A．的斜率大于 B．在轴上的截距为一2 C．的斜率小于 D．在轴上的截距为2 三、填空题 12．已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 13．已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 14．函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 四、解答题 15．已知函数，和直线，且． (1)求的值； (2)是否存在实数，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 16．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，，求曲线在处的切线的斜率． 17．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 18．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C B A A AB BCD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 2．B 【分析】结合图象利用导数的几何意义以及割线斜率即可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 3．C 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 4．D 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 5．C 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故选：C. 6．B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 7．A 【分析】设，利用导数的几何意义求出，的方程，联立方程求解即可. 【详解】解：设， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 又因为是与的公切线， 所以， 解得或， 不妨取； 同理可得， 从而可得，即的方程为：， 同理可得，即的方程为：， 由，解得， 所以与交点的横坐标是. 故选：A. 8．A 【分析】根据导数的定义式进行化简即可. 【详解】因为在上可导，所以由导数的定义及几何意义可知， 曲线在处切线的斜率， 因为，所以，， 所以， 又因为，所以， 则， 所以，则， 即， 故选：A. 9．AB 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程为，再联立方程并结合二次方程的根求解即可. 【详解】因为的导数为， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即． 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以联立得：①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意; 当时，则，，解得. 综上，或. 10．BCD 【分析】根据数形结合得到在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，而若在下方，上方若，则两切点都在上，若，则两切点都在上，对，根据对称性也有类似结论. 【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象，    显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线，    因此在区域内和都不可作切线， 因为在处切线为， 所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在， 而若在下方，上方， 若，则两切点都在上，    若，则两切点都在上，    对，根据对称性也有类似结论， 回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线，    由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线， 由于区域在上方，区域在下方， 所以在上区域可作条切线，区域可作条切线， 根据对称性，区域和区域在的“凹面”， 所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方， 所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线， 同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧， 所以在可作条切线，在可作条切线， 所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线， 最后，区域在可作条切线，在可作条切线， 对于A选项，因为，， 所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以在区域，可作条切线，故B正确； 对于C选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故C正确； 对于D选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题关键在于灵活运用数形结合的方法并得出普适性结论. 11．BC 【分析】切点分别为根据导数的几何意义及斜率公式可得公切线方程为，从而可以判断每一个选项. 【详解】设切点分别为因为，所以，可得，即，则， 所以，所以公切线方程为，即 所以选项BC正确. 故选：BC. 12．/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： 13． 【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数的值. 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 14． 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 15．(1) (2)存在， 【分析】第（1）问先求导，代入已知导数值列方程解出参数； 第（2）问先分析直线恒过的定点，设出切点利用导数求出直线与一条曲线的切线方程，再验证这些切线是否为另一条曲线的切线，从而确定公切线及对应的参数. 【详解】（1）由已知得，因为，所以，所以． （2）存在．理由如下： 由已知得，直线恒过定点，若直线是曲线的切线，则设切点为． 因为，所以切线方程为，将代入切线方程， 解得． 当时，切线方程为． 当时，切线方程为． 由（1）知，． ①由得，解得或． 在处，曲线的切线方程为； 在处，曲线的切线方程为， 所以曲线与的公切线是直线． ②由得，解得或． 在处，曲线的切线方程为； 在处，曲线的切线方程为， 所以直线不是曲线与的公切线． 综上所述，曲线与的公切线是直线，此时． 16．(1) (2)． 【分析】（1）求出导数，计算和，由点斜式得切线方程并整理； （2）求出导函数，计算即得． 【详解】（1），则， 又， 曲线在点处的切线方程为，即． （2）函数， ， 则， ，即曲线在处的切线的斜率为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【详解】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 18．(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【详解】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $