课时作业(14) 导数的几何意义（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十四) [基础达标练] 1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)＞0　　　　 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 解析：选A　由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数． 2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 解析：选D　直线l的方程为＋＝1， 即x＋y－4＝0． 又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1， ∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1． 3．(多选)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方 解析：选BC　f′(1)＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；又f(1)＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方． 4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx， 由x＋1＝3，得x＝2，即该切点的横坐标为2． 5．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________． 解析：设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°． 答案：45° 6．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为__________． 解析：∵f(x)＝x2＋3，x0＝2， ∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2， ∴＝4＋Δx． 又切线过(2，7)点，∴f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)， 即4x－y－1＝0． 答案：4x－y－1＝0 7．求曲线y＝x2－2x上点P(a，0)处的切线方程． 解：由P在曲线上可得a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2． ＝2x－2． 所以y′|x＝0＝2×0－2＝－2，y′|x＝2＝2×2－2＝2． 故在点P1(0，0)处的切线方程为y－0＝ －2(x－0)， 即y＝－2x． 在点P2(2，0)处的切线方程为y－0＝2(x－2)， 即y＝2x－4． 8．试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程． 解： 设所求切线的切点为A(x0，y0)． ∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x， 又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0， ∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为＝． ∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5． 从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)． 当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2； 当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10． ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25． [能力提升练] 9．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4 C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4 解析：选C　因为＝＝，所以当Δx趋于0时，f′(1)＝2，即k＝2．所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4．故选C． 10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析：选A　因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上， 所以b＝1． ＝2x＋a，所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1． 11．若曲线y＝f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________． 解析：设P(x0，y0)，则 f′(x0)＝ ＝(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2． 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0， 所以点P处的切线的斜率为2， 所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)． 答案：(0，0) 12．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________． 解析：设切点为P(x0，y0)． 又y0＝ax，x0－y0－1＝0， 联立以上三式，得 解得a＝． 答案： 13．已知曲线y＝x3＋． (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程． 解：(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上， ∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0． (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为 ∴切线方程为y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋． ∵点P(2，4)在切线上， ∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0． ∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1，或x0＝2． 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或 4x－y－4＝0． [素养拓展练] 14．已知函数f(x)＝x3． (1)求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程； (2)若函数f(x)的图象为曲线C，过点P作曲线C的切线，求切线的方程． 解：(1)由导函数的概念，得 所以f′(1)＝3， 所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2． (2)设切点为Q(x0，x)，则由第一问得切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x， 切线方程为y－x＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x． 因为切线过点P， 所以2x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝1， 从而切线方程为y＝0或y＝3x－2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$