课件：第6章§2　直观图 2025-2026学年北师大版高一数学必修第二册

该高中数学课件聚焦立体几何初步中直观图的斜二测画法，涵盖平面与立体图形直观图的绘制及还原计算。课堂导入通过美术与数学的联系设疑，引导学生思考直角、正方形等图形的直观化处理，搭建从生活实例到数学方法的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合平行四边形、长方体直观图画法及等腰梯形还原计算等实例，培养数学眼光的空间观念和数学思维的推理能力。反思感悟总结“横不变、纵折半”等规律，帮助学生用数学语言表达，提升学生空间想象与逻辑推理能力，为教师提供结构化教学案例。

第六章　立体几何初步 §2　直观图 自主预习·新知导学 一、平面图形的直观图 【问题思考】 1.根据以下提纲,回答下列问题. 美术与数学,一个属于艺术,一个属于科学,看似毫无关系,但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系.在美术画图中,空间图形或实物在画板上画得既富有立体感,又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系. (1)在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗? (2)正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什么? (3)这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗? 提示:(1)为了直观,不一定. (2)平行四边形、平行四边形、扁圆形;为了增加直观性. (3)不相同. 2.(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy,画直观图时,x轴、y轴分别对应x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,它们确定的平面表示水平平面. (2)将已知图形中x轴上的线段或平行于x轴的线段,在直观图中分别画成x'轴上的线段或平行于x'轴的线段,且保持原长度不变. (3)将已知图形中y轴上的线段或平行于y轴的线段在直观图中分别画成y'轴上的线段或平行于y'轴的线段,且长度为原来的 . (4)擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得已知图形的水平放置的直观图.上述画直观图的方法称为斜二测画法. 3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段的说法错误的是(　　). A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 解析:按斜二测画法画直观图时,角度要发生改变,即选项B错误,其余均正确. 答案:B 二、立体图形的直观图 【问题思考】 1.立体图形的直观图画法是否和平面图形的直观图画法一样? 提示:不一样. 2.空间几何体的直观图唯一吗?为什么? 提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同. 3.(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°. (2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的一半. (5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线. 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 水平放置的平面图形的直观图的画法 【例1】 画一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图(尺寸自定). 解:(1)画轴.▱ABCD的图象如答图6-2-1①,其中∠DAB=45°.取AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.在答图6-2-1②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°. ① ② ③ 答图6-2-1 (2)描点.在x'轴上以点O'为中点,取B'A'=BA,在y'轴上取O'D'= OD,过点D'作D'C'∥x'轴,且D'C'=DC,如答图6-2-1②. (3)连线.连接B'C',A'D',如答图6-2-1②. (4)成图.擦去辅助线x'轴和y'轴,四边形A'B'C'D'即为图6-2-1①中锐角为45°的水平放置的平行四边形ABCD的直观图,如答图6-2-1③. 反思感悟 1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的平面直角坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点. 2.画平面图形的直观图时,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段则通过与坐标轴平行的线段来确定它的两个端点,然后连接成线段. 探究二 立体图形的直观图的画法 【例2】 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图. 解:画法: (1)画底面.根据平面图形的直观图画法, 画出长方体的底面ABCD,如答图6-2-2①. (2)画z'轴,并画侧棱.z'轴与x'轴的交角为90°,过点A,B,C,D分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如答图6-2-3②. (3)连线成图.顺次连接点A',B',C',D',擦去辅助线,将被遮线画成虚线,就得到长方体的直观图ABCD-A'B'C'D',如答图6-2-3③. 答图6-2-2 反思感悟 1.画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z'轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连线成图便可. 2.斜二测画法的口诀可以总结为横不变、纵折半、平行性不改变. 探究三 直观图的还原及有关计算 【例3】 如图6-2-1,一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,求原四边形的面积. 分析:分别以B'C',A'B'所在的直线为x'轴、y'轴,画出该直观图的对应图形,然后求面积. 图6-2-1 解:因为∠A'B'C'=45°, 所以在斜二测直观图上建立坐标系x'O'y',使点O',B'重合,取B'C'所在直线为x'轴,B'A'所在直线为y'轴,如答图6-2-3①. 过点D'作D'E'∥A'B',交B'C'于点E', 则B'E'=A'D'=1. 又因为四边形A'B'C'D'为等腰梯形, 且∠A'B'C'=45°, 所以△E'D'C'为等腰直角三角形. 所以E'C'= . 再建立一个平面直角坐标系xOy,使点O,B重合,如答图6-2-3②, 在x轴上截取线段BC=B'C'=1+ ,在y轴上截取线段BA=2B'A'=2. 过点A作AD∥BC,截取AD=A'D'=1. 连接CD,则四边形ABCD就是四边形 A'B'C'D'的平面图形. 答图6-2-3 1.若将例题中直观图换为图6-2-2中的图形,试求原图形的面积. 图6-2-2 2.若将例题中直观图换为图6-2-3中边长为1的正方形O'A'B'C',试求原图形的周长. 图6-2-3 解:答图6-2-4为原平面图形. 由斜二测画法可知, OB=2O'B'=2 ,OC=O'C'=AB=A'B'=1, 且AB∥OC,∠BOC=90°. 所以四边形OABC为平行四边形, 故平行四边形OABC的周长为2(OC+BC)=8. 答图6-2-4 反思感悟 1.由直观图还原原图形是画直观图的逆过程:一是在直观图中建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,对应地建立直角坐标系xOy;二是平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度扩大为原来的2倍;三是对于相邻两边不与x',y'轴平行的顶点,可通过作x'轴、y'轴的平行线确定其在xOy中的位置. 2.原图形的面积S原与直观图的面积S直观有如下关系: 谢谢观看 $