命题大赛 湖北省十堰市2025-2026学年高二数学下学期期末测试（人教A版选择性必修第二，三册）

**基本信息** 立足高二数学期末检测，以武当山文旅、人形机器人制动等真实情境为载体，原创题占比高，突出数学应用与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|数列、概率、导数、正态分布|第5题结合武当山景区串联考排列，第8题用中心极限定理估算骰子点数概率，体现地方文化与科学思维| |填空题|3/15|二项式定理、无穷等比数列、不等式|第13题3D打印套娃质量求和，考查相似几何体体积比与极限思想，强化数学建模| |解答题|5/77|数列求和、导数应用、概率统计|17题武当太极健康数据考独立性检验，18题机器人制动分析角速度与最大角度，19题视频生成模型概率递推，综合数学思维与数据表达|

细目表 题号 题型 分值 知识点（含核心素养） 难度系数(预估) 1 单选题 5 导数的定义（极限形式） 0.94 2 单选题 5 分类加法计数原理与排列组合简单应用 0.94 3 单选题 5 等差数列基本量计算 0.94 4 单选题 5 导数极值（三次函数求参、判定极大值） 0.85 5 单选题 5 排列组合综合（捆绑法、定序问题） 0.8 6 单选题 5 导函数图像与函数单调性、符号判断 0.75 7 单选题 5 二项式定理（展开系数、赋值法、求导求系数） 0.65 8 单选题 5 正态分布，3σ原则，二项分布的数字特征 0.6 9 多选题 6 回归分析（相关系数、回归系数、预测） 0.85 10 多选题 6 概率（古典概型、独立事件、二项分布）——跨学科情境 0.65 11 多选题 6 超几何分布、条件概率、期望与方差、单调性分析 0.4 12 填空题 5 二项式定理（二项式系数和、特定项系数） 0.85 13 填空题 5 等比数列（相似几何体建模、无穷等比数列求和） 0.65 14 填空题 5 导数恒成立（同构思想、参数分离求范围） 0.45 15 解答题 13 数列通项（an与Sn关系）、裂项相消法求和 0.9 16 解答题 15 导数几何意义、含参函数在闭区间上的值域（结构不良开放题） 0.8 17 解答题 15 全概率公式与条件概率、二项分布、独立性检验 0.75 18 解答题 17 导数的物理意义（瞬时变化率）、函数零点、参数范围与最值 0.55 19 解答题 17 全概率公式、递推数列通项、离散型随机变量的数学期望 0.4 $ 应用场景：期末 2026年湖北省十堰市高二数学下学期期末考试 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 2．某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（    ） A．27 B．54 C．60 D．78 3．记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 4．函数的一个极值点为1，则的极大值是（   ） A．－4 B．0 C．4 D．6 5．（原创）（新情境题）“神武峡”国际生态文化旅游主轴以宜昌、十堰、恩施为战略支点，以“国家级风景道+三峡水上廊道”为交通动脉，融世界文化遗产与自然遗产于一体。某文旅部门计划将主轴上的5 处世界级精品景区——武当山(世界文化遗产·太极文化)、神农架(国际生态旅游区·原始生态)、丹江口(南水北调中线水源地)、三峡大坝(大国重器·峡谷风光)、恩施大峡谷(喀斯特地貌奇观)——进行串联游览，要求武当山与丹江口必须相邻，且三峡大坝必须排在神农架之前。则不同的游览顺序共有( ) A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 6．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知 则下列结论中正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 8．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ） 附：若：，则，， ． A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．（新情境题）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（    ） A．y与x的样本相关系数 B． C．回归直线方程经过点(3,1) D．由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 10．（跨学科题）在孟德尔豌豆实验中，已知子一代豌豆的基因型均为，以子一代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子二代，以子二代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子三代，子二代、子三代的基因型有，，，其中为显性基因，为隐性基因，基因型中至少含有1个显性基因时呈显性性状．则下列说法正确的是（    ） A．子二代中基因型为的概率为 B．子三代中基因型为的概率为 C．子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为 D．子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为 11.（原创）某疫苗生产批次质检中，采用混合抽检法检测疫苗有效性。甲试管中原有2支标准疫苗(已知有效)，乙试管中有同一批次的8支疫苗，其中4支有效、4支失效(外观无法区分)。为简化检测流程，质检员从乙试管中随机抽取n 支 放入甲试管，摇匀后从中随机抽取1支进行效价测试，记测试结果显示有效为 失效为 则下列说法正确的是( ) A.从乙试管抽取的 n 支中，有效疫苗的数量 X 服从超几何分布H(8，4，n)，且 B.若从乙试管抽取的n 支中恰有 k 支有效( 且 则从甲试管测得有效的条件概率为 C.当n=2时， D.随着抽检数量n 的增大，单调递减，单调递增，且 趋近于 趋近于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为______． 13. （原创）（新情境题）某科技小组使用3D打印机制作一套空心俄罗斯套娃，各套娃形状严格相似(壁厚与高度成正比)。材料相同且密度均匀，质量与材料体积成正比。已知相似几何体的体积比等于对应高度比的立方。最大的套娃高度为 20 cm，质量为1000 g；第二个套娃高度为 16 cm。若套娃可以无限地制作下去，这些套娃的质量之和将趋近于 ____克(结果用分数表示) 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15．(13分) 已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 16．(15分) （开放题）已知函数 其中. (1)求,并求曲线=在点(,)处的切线方程; (2)请从下列条件中选择一个，求 在区间[1，e]上的值域： 条件①：曲线=在点(2，)处的切线与直线+=0垂直； 条件②: 在[,e]上的极小值点 满足 条件③： 17. (15分) （原创）（新情境题）《黄帝内经》云：“上工治未病，不治已病。”武当山是太极拳的重要发源地，其“道法自然、天人合一”的练功理念正是这一中医思想的生动实践。为评估武当太极拳对慢性病的预防效果，某研究机构在武当山脚下的一个社区开展为期一年的追踪调查：该社区开设武当太极公益课程，居民自愿参与练习。已知该社区中，有 的居民坚持练习 (练功组)，其余不练习 (对照组)。练功组的某种慢性病年发病率为 ，对照组的年发病率为 。 (1)从该社区中随机抽取一人，已知此人患病，求他属于练功组的概率； (2)利用(1)中求出的该社区居民患该病的概率，现从该社区中随机抽取3人，设 为这3人中这一年患病的人数，且每人是否患病相互独立，求的分布列和数学期望； (3)为进一步评估练功效果，现从该社区练功组和对照组中各随机抽取50名居民进行为期一年的追踪调查。一年后统计数据如下： 组别 疗效 合计 患病 未患病 练功组 5 45 50 对照组 15 35 50 合计 20 80 100 依据小概率值 的独立性检验，能否认为患该病与是否练功有关联? 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. (17分) （原创）（新情境题）2026年央视春晚《武BOT》节目中，宇树科技人形机器人凭借稳定流畅的高精度动作完成武术表演。机器人关节搭载谐波减速齿轮组，依靠阻尼系统实现精准制动。已知某齿轮制动过程中转过的角度与制动时间t≥0的函数关系为： .其中a>0为制动阻尼参数，参数取值直接影响机器人动作制动的平稳性。 （1）当a=3时，求t=1s时齿轮的瞬时角速度； （2）当 时，求齿轮制动停止的时刻； （3）为避免机器人关节急停、回弹故障，保障表演动作稳定，要求齿轮制动停止的时刻满足 。记制动过程中齿轮转过的最大角度为θ，求θ的取值范围。 19. (17分) （原创）（新情境题）（探究题）2026年2月，国产视频生成模型Seedance 2.0开启内测，凭借多模态输入、极强的参考一致性与高度逼真的生成效果很快爆火出圈。该模型采用逐帧生成技术，每一帧的画面清晰度受前一帧影响。模型将画面清晰度分为三个等级：高质量、中等质量、低质量。 若前一帧为高质量，则下一帧有 的概率保持高质量，有 的概率降为中等质量，有 的概率降为低质量； 若前一帧为中等质量，则下一帧有 的概率提升为高质量，有 的概率保持中等质量，有 的概率降为低质量； 若前一帧为低质量，则下一帧有 的概率提升为高质量，有 的概率提升为中等质量，有 的概率保持低质量。 已知第一帧为高质量、中等质量的概率均为 记“第i 帧为高质量”为事件 ，概率为 ；“第i 帧为中等质量”为事件，概率为 ；“第i帧为低质量”为事件 ，概率为 ，其中 . (1)求第2帧为高质量的概率 (2)求第n 帧为高质量的概率 (3)已知：若随机变量服从两点分布，则，记前n 帧中高质量帧的个数为Y ， 求并求 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖北省十堰市高二数学下学期期末考试答案及解析 1．C 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 2．B 【详解】2人掌握的技艺类别不同的选法共有种. 3．A 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 4．C 【分析】由极值点定义得到，求出，进而得到或时，，时，，得到函数单调性和极大值. 【详解】定义域为R， ，由题意得，，解得， 故， 令，解得， 令得，或，单调递增， 令得，，单调递减， 故在处取得极大值，极大值为. 5．B 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】依题意，将武当山与丹江口视为一个整体，与其余3 处景区进行全排列，共有 种排法；该整体内部，武当山与丹江口可交换位置，有 种排法。由分步乘法计数原理，共有 种排法。 其中，三峡大坝与神农架的相对位置有两种情况，且两种情况等可能。由对称性，三峡大坝排在神农架之前的排法占总数的一半，故符合条件的游览顺序共有 种。 故选: B。 6．C 【分析】根据图象，直接写出的单调区间，进而得出在区间上的符号，即可求解. 【详解】由图知函数的减区间为，，增区间为， 和分别是的极小值点和极大值点， 所以当时，，当时，， 当和时，， 又由图知时，，时，， 又等价于，所以的解集为. 7．C 因为通项 所以 故 ① 错误; 因为 ， , 所以 故 ②正确； 令x=0,得 令 得 所以 故③正确； 令 则 令x=1,则 所以④正确.故选：C. 8．D 【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解. 【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故， 显然，其中，， 故， 则， 由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 . 故选：D 9．BCD 【分析】根据样本相关系数和回归直线方程的计算公式，逐项计算可得正确答案. 【详解】由题意可得， ，， ， ， 则与的样本相关系数，故A错误； 由关于的回归直线方程为且回归直线恒过样本点的中心， 则有，解得，故B正确，C正确； 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确. 故选：BCD. 10．BD 【分析】根据子二代中基因型有即可判断A；根据子二代中d出现的概率结合独立事件的乘法公式可判断B；求出子二代中1粒豌豆呈现显性性状的概率，根据二项分布的概率计算可判断C，D. 【详解】对于A，由题意可知子二代中基因型有，其中为同类基因型， 故子二代中基因型为的概率为，A错误； 对于B，由于子二代中基因型有，比例为， 故d出现的概率为， 故子三代中基因型为的概率为，B正确； 对于C，子二代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为， 故子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为，C错误， 对于D，结合B的分析可知D出现的概率为， 则子三代中DD出现的概率为，Dd出现的概率为， 故子三代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为， 故子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为，D正确， 故选：BD 11.【详解】对于A ，乙试管共有8支疫苗，其中有效4支，从中不放回随机抽取n 支，有效疫苗的数量 X 服从超几何分布H(N,M,n)=H(8,4,n)。由超几何分布期望公式： A 正确。 对于B,设事件 A：“从甲试管测得有效”，事件 “从乙试管抽取的n 支中恰有 k 支有效”。 在 发生的条件下，甲试管中共有疫苗n+2支 (原有2支标准疫苗 +从乙试管放入的 n 支)，其中有效疫苗为k+2支 (原有2支 +抽出的k 支)。 由条件概率的定义： B 正确。 对于C,当n=2时，用枚举法结合全概率思想计算。从乙试管8支 (4有效4失效)中抽取2支，X的可能取值及概率如下： 概率 甲试管状态 条件概率 0 2有效2失效 1 3有效1失效 2 4有效0失效 1 由全概率公式： 因此： C 选项给出的 是错误的 (该数值对应甲试管仅有1支标准疫苗的情形，属于典型的思维定势错误)。 C 错误。 对于D,由全概率公式： 代入 故 随n 增大而递减，且 又ξ 服从两点分布： = 故 随 n 增大而递增，且 D 正确。 12．【详解】由得，∴， ∴第3项系数为. 故答案为：112 13.【详解】设最大的套娃质量为 后继各套娃的质量依次为, 则 由于各套娃形状相似，且壁厚与高度成正比，因此外壳体积与高度的立方成正比，故质量与高度的立方成正比。相邻套娃的高度比为 所以质量比(即公比)为 因此， 是以1 000为 首项, 为公比的等比数列。 设 的前 n 项和为 则 当 n 无限增大时， 趋近于 0,因此 超近于 所以，这些套娃的质量之和将趋近于 克。 14． 【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 15．(1)； (2). 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，得，（3分） 两式相减得，则；（6分） （2）由（1）可知，则，（9分） 所以（11分） .（13分） 16．(1)y=-ax+2a+1 (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）应用导数研究函数在区间上的单调性，进而求其值域. 【详解】 (1) （2分） 由f(1)=1+a,=-a,（3分） 得切线方程：y-(1+a)=-a(x-1) 即y=-ax+2a+1（5分） (2) 若选择条件① 条件①：曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x+y=0垂直。 直线x+y=0的斜率为-1,故切线斜率为1，即f'(2)=1。 （8分） 此时 故 f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,e]上单调递增。（12分） 计算： 比较 f(1)与f(e): 二次方程 的根为 (即 因为 且二次函数 在 上小于0，所以 因此f(e)<f(1)=3 又 (因为 故最大值为 最小值为 （14分） 值域为 （15分） 若选择条件② 条件②: f(x)在[1,e]上的极小值点x₀ 满足 由极小值点定义， 即 代入条件： 解得： （8分） 以下求值域同条件①，得：值域为 若选择条件③ 条件③： 由条件： 整理得：（8分） 以下求值域同条件①，得：值域为 17. (1) 记事件A="'此人属于练功组"，事件B="此人患病"。 由题意， （1分） 先求该社区居民患该病的概率： （3分） 由条件概率公式，所求概率为： （5分） (2) 由(1)知该社区居民患该病的概率为 依题意， （6分） 则 （7分） 即 分布列为 0 1 2 3 P （9分） 故 X 的数学期望 （10分） (3) 零假设 患该病与是否练功无关联。（11分） 根据列联表中的数据，经计算得到 （13分） 当 时， （14分） 因为 所以依据小概率值的独立性检验，推断 不成立， 即认为患该病与是否练功有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05（15分） 18. 解析： (1)当a=3时，角速度函数（2分） 代入a=3,t=1， 故t=1s时齿轮的瞬时角速度为 （4分） (2)当 时 令 ， （5分） 观察得t=1时 成立。（6分） 又 恒成立，故 严格单调递减，零点唯一。（7分） 因此制动停止时刻为t=1s。（8分） (3)已知制动停止时刻 制动停止时角速度为零： （9分） 由（2） 对 恒成立,故θ(t)在上单调递增，因此最大角度 代入a消参： （12分） 令 （14分） 当 时， 因此 即在(1,2)上严格单调递增。（15分） 而 故θ的取值范围为 （17分） 19.解析 (1) 【解】 （3分） (2) 【解】由全概率公式建立联立递推： （4分） （5分） 消元：由①得 代入②整理得： 即当 时： （7分） 构造等比数列：设 解得 故 是等比数列，公比 首项 (从n=2开始) （9分） （10分） (3) 【解】 设 （11分） 则 由于服从两点分布， 故 由已知性质： （13分） 将第(2)问通项代入： （15分） （16分） （17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $