湖北省武汉外国语学校2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷

**基本信息** 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷，覆盖选择性必修第二、三册，以数列、函数导数、概率统计等为核心，通过新能源汽车调查、珠算情境、n维立方体等创新载体，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等差数列求和（题1）、函数单调性（题4）、独立性检验（题7）|单选基础巩固，多选综合辨析（如第9题二项式定理）| |填空题|3题15分|正态分布（题12）、回归方程（题13）、恒成立问题（题14）|注重数学语言表达，如题13对数变换建模| |解答题|5题77分|数列证明与求和（题15）、概率分布（题16）、导数应用（题17）、传球概率递推（题18）、n维立方体距离（题19）|情境真实（题16新能源汽车调查）、创新拓展（题19曼哈顿距离），梯度分明，发展创新意识与逻辑推理|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝7，a9＝13，则S11＝（　B　） A．100 B．110 C．115 D．120 【解析】 等差数列{an}中，a3＝7，a9＝13，由等差数列的性质可得a3+a9＝7+13＝20，则． 2．已知函数f（x）满足，则的值为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 ，∴，∴． 3．6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（　C　） A．120 B．240 C．480 D．960 【解析】 6名同学排成一排照相，则甲、乙不相邻的不同排法种数为480． 4．已知a＞0，函数f（x）＝x2﹣alnx+1在（1，3）内是单调递增函数，则实数a的取值范围是（　A　） A．0＜a≤2 B．0＜a≤18 C．2≤a≤18 D．a≥2 【解析】 因为导函数单调递增，根据f（x）＝x2﹣alnx+1在（1，3）内是单调递增函数，因此导函数f′（x）≥0对x∈（1，3）恒成立，因此，因此0＜a≤2． 5．在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（　D　） A． B． C． D． 【解析】 根据题意，设每次射击击中目标的概率为p，在三次独立重复射击中，至少有一次击中目标的概率为，则三次都未击中目标的概率为1，则有（1﹣p）3，解可得：． 6．从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（　C　） A． B．2 C． D． 【解析】 记得分为随机变量X，易知X的所有可能取值为4，3，2，根据古典概型可以求得： ，，，则X的分布列为： X 4 3 2 P 将表格数据代入期望公式可得：． 7．下列说法中正确的是（　B　） A．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.88．依据α＝0.005对应的xα＝7.879的独立性检验，结论为：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 B．X～N（μ，σ2），当μ不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C． 在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差 D．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得4，3.7，则2 【解析】 对于A：∵χ2＝6.88＜7.879，∴依据α＝0.005对应的xα＝7.879的独立性检验，结论为：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率超过0.005，故A错误；对于B：当μ不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故B正确；对于C：在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越好，故C错误；对于D：∵线性回归方程必过样本中心点（，），∴3.7＝0.4×4+â，解得â＝2.1，故D错误． 8．设函数f（x）＝x3﹣ax+1，则下列正确的是（　D　） A．当a＝0时，y＝1不是f（x）的切线 B．存在a，使得y＝f（x）没有对称中心 C．当a＞0时，若x1，x2是f（x）的极值点，则x1•x2＝0 D．若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝0 【解析】 对于A：当a＝0时，f（x）＝x3+1，则f'（x）＝3x2，可得f'（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y＝1，所以A错误；对于B：函数f（x）＝x3﹣ax+1可得f（﹣x）＝﹣x3+ax+1， 则f（﹣x）+f（x）＝2，所以函数f（x）关于点（0，1）对称，即对于任意a，曲线y＝f（x）关于点（0，1）对称，所以B不正确；对于C：当a＞0时，由f（x）＝x3﹣ax+1，可得f'（x）＝3x2﹣a，令f′（x）＝0，即3x2﹣a＝0可得x1•x2＝﹣a＞0，所以C错误．对于D：设函数f（x）＝x3﹣ax+1的三个零点分别为x1，x2，x3，则有，对比含x2的系数，可得x1+x2+x3＝0，所以D正确。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在的展开式中，下列说法正确的是（　AC　） A．不存在常数项 B．二项式系数和为1 C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128 【解析】 因为展开式的通项公式为，对于A：由2r﹣7＝0，得（舍去），所以展开式不存在常数项，故A正确；对于B：二项式系数和为27＝128，故B错误；对于C：展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；对于D：令x＝1，得所有项的系数和为（2﹣1）7＝1，故D错误 10．如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为X，下珠的个数比上珠的个数多Y，则（　BCD　） A． B． C． D． 【解析】 易知X的所有可能取值为0，1，2，所以，， ，则P（X≠1）＝1，E（X）＝012，故A错误，B正确；易知Y的所有可能为﹣1，1，3所以，，则E（Y）＝﹣113，，故C，D正确． 11．已知函数，下列说法正确的是（　ACD　） A．f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣ay﹣1＝0 B．函数的单调递增区间为（0，e） C．若f（x）在（1，2e）的最大值为，则a＝1 D．若方程f（x）＝﹣1有两个不同的解，则 【解析】 对于A：函数 定义域为（0，+∞），且，故，又f（1）＝0，则点（1，f（1））处的切线为y﹣0（x﹣1），即x﹣ay﹣1＝0，A正确；对于B：令，即1﹣lnx＝0，解得x＝e，当a＞0时：当0＜x＜e时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，e）上单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，即f（x）在（e，+∞）上单调递减；当a＜0时：当0＜x＜e时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，e）上单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，即f（x）在（e，+∞）上单调递增，B错误；对于C：因为x∈（1，2e），当a＜0时，f（x）在（0，e）上单调递减，f（x）在（e，+2e）上单调递增，则，若f（x）在（1，2e）的最大值为，即，则a＝1；当a＞0时：f（x）在（0，e）上单调递增，f（x）在（e，+2e）上单调递减，f（1）＝0，，f（x）在（1，2e）的最大值不可能是，所以a＝1，C正确；对于D：要使方程f（x）＝﹣1有两个不同的实数解，故，可化为，令，，令，得lnx﹣1＝0，即x＝e，当x＞e时，g′（x）＞0，即g（x）在（e，+∞）上单调递增；当0＜x＜e时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，e）上单调递减；所以g（x）在x＝e出取得最小值，当x→0+时g（x）→+∞；当x→+∞时g（x）→0，若方程有两个不同解，则即可，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．随机变量，则σ（2X﹣3）＝　　 ．3 【解析】 因为，所以D（X）＝12，所以D（2X﹣3）＝4D（X）＝9， 所以． 13．用模型y＝aebx拟合一组数据组（xi，yi）（i＝1，2，…，7），其中x1+x2+…+x7＝6．设z＝lny，变换后的线性回归方程为x+5，则y1y2…y7＝_____________ ．e41 【解析】 因为线性回归方程为恒过，因为x1+x2+…+x7＝6，所以，，即，所以ln（y1y2…y7）＝41，即． 14．已知函数f（x）＝x2﹣2ln（x﹣1）﹣ax，若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为 　 　 ．（﹣∞，2] 【解析】 因为f（x）＝x2﹣2ln（x﹣1）﹣ax≥0，所以ax≤x2﹣2ln（x﹣1），即a≤x，令，则．令，则，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（2）＝0，所以当x∈（1，2）时，h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，则当x∈（1，2）时，g'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0， 所以g（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（2）＝2，故实数a的取值范围为（﹣∞，2]． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1+a2，且an+1． （1）证明{}是等差数列，并求{an}的通项公式； （2）设bn＝anan+1，求数列{bn}的前n项和． 【解析】 （1）证明：由已知an+1（1+an）＝an，，故数列 是等差数列，则，解得a1＝1， （2）由，∴． 16．（本小题满分15分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 合计 40岁以下 65 40岁以上（包含40岁） 60 100 合计 200 （1）完成2×2列联表，并判断依据α＝0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）． 附：． α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】 （1）由题可知： 选择新能源汽车 选择传统汽车 合计 40岁以下 65 35 100 40岁以上（包含40岁） 40 60 100 合计 105 95 200 所以，所以至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关． （2）由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取，抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为0.4，所以X～B（3，0.4），所以X的可能取值为：0，1，2，3，且；；；；所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 数学期望E（X）＝1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2． 17．（本小题满分15分）设函数f（x）＝ex﹣ax，x≥0且a∈R． （1）求函数f（x）的单调性； （2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）f′（x）＝ex﹣a，x≥0，当a≤1时，f′（x）≥0恒成立，则f（x）在[0，+∞）上单调递增；当a＞1时，x∈[0，lna）时，f′（x）≤0，则f（x）在[0，lna）上单调递减；x∈（lna，+∞）时，f′（x）≥0，则f（x）在[0，lna）上单调递增．综上，当a≤1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在[0，lna）上单调递减，在[0，lna）上单调递增． （2）ex﹣ax≥x2+1在x≥0恒成立，则当x＝0时，1≥1，显然成立，符合题意；当x＞0时，得恒成立，即 记，x＞0，，构造函数y＝ex﹣x﹣1，x＞0，则y′＝ex﹣1＞0，故y＝ex﹣x﹣1为增函数，则ex﹣x﹣1＞e0﹣0﹣1＝0．故ex﹣x﹣1＞0对任意x＞0恒成立，则g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，所以g（x）min＝g（1）＝e﹣2 ∴a≤e﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]． 18．（本小题满分15分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯， ①直接写出p1，p2，p3的值； ②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求pn（n∈N*）． 【解析】 （1）X可能取值为1，2，3，；；， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P （2） ①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯，则有p1＝0，， ②记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，所以 ，即，所以，且，所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以所以，即n次传球后球在甲手中的概率是． 19．（本小题满分17分）在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点（a1，a2，a3，a4，⋯，an）与（b1，b2，b3，b4，⋯，bn）对应坐标差的绝对值之和，即为|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+⋯+|an﹣bn|．基本事实：①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体的顶点坐标可用三维坐标（a1，a2，a3）表示，其中ai∈{0，1}（i＝1，2，3）；②在n维空间中（n≥3，n∈N），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标（a1，a2，a3，a4，⋯，an），并称其为“n维立方体”，其中ai∈{0，1}（i＝1，2，3，⋯，n）．请根据以上定义和基本事实回答下面问题： （1）若该“n维立方体”为三维立方体，以单位长度为边长，从该立方体所有顶点中随机任取不同两点，求该两点曼哈顿距离为3的概率； （2）记随机变量ξ为“n维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离， ①n＝10时，求P（ξ＝k）的最大值及此时相应的k的值； ②求ξ的分布列和数学期望． 【解析】 （1）记随机变量ξ为“n维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，n＝3时，顶点坐标分别为（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），共8个，其中能满足曼哈顿距离为3的有（0，0，0）和（1，1，1），（1，0，0）和（0，1，1），（0，1，0）和（1，0，1），（0，0，1）和（1，1，0），共4对，所以． （2）①根据题目，ξ可取1，2，3，⋯，k，⋯，n，当ξ＝k时，对于点（a1，a2，a3，⋯，an）与点（b1，b2，b3，⋯，bn），其中使ai≠bi的i的个数为k，则满足ai＝bi的i的个数为（n﹣k），此时所对应情况数为，则，故n＝10时，则，所以k＝5时，则 ②由①知， 故ξ的分布列为： ξ 1 2 ⋯ k ⋯ n P ⋯ ⋯ A，所以B，A+B可得，，所以． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/9 10:17:45；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝7，a9＝13，则S11＝（　　） A．100 B．110 C．115 D．120 2．已知函数f（x）满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（　　） A．120 B．240 C．480 D．960 4．已知a＞0，函数f（x）＝x2﹣alnx+1在（1，3）内是单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．0＜a≤2 B．0＜a≤18 C．2≤a≤18 D．a≥2 5．在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（　　） A． B． C． D． 6．从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（　　） A． B．2 C． D． 7．下列说法中正确的是（　　） A．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.88．依据α＝0.005对应的xα＝7.879的独立性检验，结论为：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 B．X～N（μ，σ2），当μ不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C． 在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差 D．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得4，3.7，则2 8．设函数f（x）＝x3﹣ax+1，则下列正确的是（　　） A．当a＝0时，y＝1不是f（x）的切线 B．存在a，使得y＝f（x）没有对称中心 C．当a＞0时，若x1，x2是f（x）的极值点，则x1•x2＝0 D．若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．不存在常数项 B．二项式系数和为1 C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128 10．如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为X，下珠的个数比上珠的个数多Y，则（　　） A． B． C． D． 11．已知函数，下列说法正确的是（　　） A．f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣ay﹣1＝0 B．函数的单调递增区间为（0，e） C．若f（x）在（1，2e）的最大值为，则a＝1 D．若方程f（x）＝﹣1有两个不同的解，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．随机变量，则σ（2X﹣3）＝　 　 ． 13．用模型y＝aebx拟合一组数据组（xi，yi）（i＝1，2，…，7），其中x1+x2+…+x7＝6．设z＝lny，变换后的线性回归方程为x+5，则y1y2…y7＝　 　 ． 14．已知函数f（x）＝x2﹣2ln（x﹣1）﹣ax，若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1+a2，且an+1． （1）证明{}是等差数列，并求{an}的通项公式； （2）设bn＝anan+1，求数列{bn}的前n项和． 16．（本小题满分15分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 合计 40岁以下 65 40岁以上（包含40岁） 60 100 合计 200 （1）完成2×2列联表，并判断依据α＝0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）． 附：． α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 17．（本小题满分15分）设函数f（x）＝ex﹣ax，x≥0且a∈R． （1）求函数f（x）的单调性； （2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围． 18．（本小题满分17分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯， ①直接写出p1，p2，p3的值； ②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求pn（n∈N*）． 19．（本小题满分17分）在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点（a1，a2，a3，a4，⋯，an）与（b1，b2，b3，b4，⋯，bn）对应坐标差的绝对值之和，即为|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+⋯+|an﹣bn|．基本事实：①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体的顶点坐标可用三维坐标（a1，a2，a3）表示，其中ai∈{0，1}（i＝1，2，3）；②在n维空间中（n≥3，n∈N），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标（a1，a2，a3，a4，⋯，an），并称其为“n维立方体”，其中ai∈{0，1}（i＝1，2，3，⋯，n）．请根据以上定义和基本事实回答下面问题： （1）若该“n维立方体”为三维立方体，以单位长度为边长，从该立方体所有顶点中随机任取不同两点，求该两点曼哈顿距离为3的概率； （2）记随机变量ξ为“n维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离， ①n＝10时，求P（ξ＝k）的最大值及此时相应的k的值； ②求ξ的分布列和数学期望． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $