湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末复习专题二（排列组合二项式定理专题）

**基本信息** 聚焦排列组合与二项式定理，通过分类题型整合捆绑法、插空法、隔板法等解题技巧，构建“概念-方法-应用”逻辑链，发展逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项式定理|5题（含解答题12）|通项公式法、系数比较法|从二项式系数和到特定项系数推导| |排列组合|8题（含解答题13-14）|捆绑法、插空法、隔板法、分步计数原理|从简单排列到复杂分组分配问题递进|

湖北曾都一中2025至2026学年高二下数学期末复习专题二 （排列组合二项式定理专题） 一、单选题 1．二项式的展开式中，常数项为（    ） A．672 B．84 C． D． 2．为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．的展开式中的第项与第项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第项 B．第项或第项 C．第项 D．第项 4．用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（   ） A．280 B．420 C．720 D．1680 5．的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 6．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同的取法种数（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到A、B、C三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（     ） A．共有540种不同的分配方法 B．甲分配到学校的概率为 C．若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D．甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 三、填空题 10．已知多项式（），__________． 11．如图为一个城市某区城市道路示意图（每个小正方形的边表示道路，且长度都相等），则从A到B的最短路线条数是________． 四、解答题 12．已知展开式中前三项的二项式系数和为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项. 13． 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内， (1)恰有一个盒子不放球，有多少种放法 (2)每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，有多少种不同的放法 (3)将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种 14．在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. (1)若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； (2)若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； (3)就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年排列组合专题作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B A A A C C BD BCD 10． 11．39 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【详解】（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； （2）因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； （3）设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）确定不放球的盒子，将个球分成组， 将分好的组球放入剩下的个盒子，根据分步乘法计数原理求解； （2）从个球中选个与盒子编号相同，对剩下的个球进行讨论，根据分步乘法计数原理求解； （3）确定空盒，将个相同的球放入剩下的个盒子，且每个盒子至少放个球，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）从个盒子中选个不放球，有种选法， 把个球分成组，可先从个球中选个为一组，其余个各为一组，有种分法， 将分好的组球全排列，放入剩下的个盒子，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （2）从个球中选个，使其编号与盒子编号相同，有种选法， 剩下个球的编号与盒子编号均不相同， 先放其中一个小球，有2种不同的放入方法，再放剩下两个小球只有一种方法， 所以个球的编号与盒子编号均不相同有种不同的放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （3）从个盒子中选个为空盒，有种选法。 将个相同的球放入剩下的个不同的盒子，要求每个盒子至少有个球，根据隔板法，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种. 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）把每对夫妇看成一个整体，A，B也看成一个整体，转化为5个元素的排列，再求安排到圆桌的排法即可； （2）利用捆绑法与插空法求解即可； （3）先选出符合条件的6人，再利用捆绑法求解即可. 【详解】（1）每对夫妇看成一个整体，当作一个元素，A，B也看成一个整体，当作一个元素， 所以问题就是5个不同的元素的排序问题，5个不同的元素排成一列有种不同的排法， 把这一列的5个元素排在一个圆桌上时有种不同的排法； 又每个元素内部各有2种不同的排法， 所以共有； （2）甲、乙两对夫妇相邻，且甲妻与乙妻相邻，则这四人形成一个整体，内部排法有(甲-甲妻-乙妻-乙)和(乙-乙妻-甲妻-甲)2种把这两对夫妇看作一个元素， 另外每对夫妇看作一个元素，这3个元素排成一列有种不同的排法， 再安排到圆桌就座时有种不同的方法， 再把，A，B插入前面三个元素形成的三个空位中有种不同的方法， 又前面三个元素内部各有2种不同的排法，所以共有种不同的排法； （3）4对夫妇任选1对夫妇有种不同的选法，再从3对夫妇和A，B共选4人， 若A，B都选，从3对夫妇选2人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 若A，B选1人，从3对夫妇选3人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 综上所述：随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻的排法有. 答案第2页，共3页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $