2025-2026学年浙教版八年级下册数学期末冲刺复习——一元二次方程应用

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过四大模块构建"问题情境-模型建立-方程求解"的完整逻辑链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |百分率问题|4题|增长率/降价率计算|基于(1±x)ⁿ模型，从基础填空到利润最值综合| |销售问题|5题|利润计算与最值|围绕"利润=(售价-成本)×销量"公式，结合二次函数性质| |几何问题|6题|图形面积与动态问题|通过设元表示边长，建立面积方程，渗透数形结合| |图表信息问题|3题|函数关系与数据处理|从图像/文字中提取数量关系，强化数据意识与模型应用|

浙教版八下数学期末冲刺复习——一元二次方程应用 一、百分率问题 1．某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多，据统计，2023年“五一”假期期间，该县接待游客25万人次，2025年增长至53万人次.设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程(　　) A． B．25 (1+2x) =53 C． D．25 (1+x) +25 (1+x)2=53 2．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5，6月份营业额的增长率相同，则增长率为　 　 3． 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 12元，标价为每个20元. （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个. ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元? ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元?此时最大利润为多少元? 4．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率； （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 二、销售问题 5．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗.某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价　 　元． 7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价4元，平均每天可以售出多少件衬衫？此时每天获利多少元？ （2）在每件衬衫盈利不少于元的前提下，要使商场平均每天销售衬衫要盈利元，每件衬衫应降价多少元？ （3）该商场销售衬衫要获得最大利润，每件应降价多少元？最大利润为多少？ 8．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元． （2）按这样的降价措施，该商场每天获利能否达到1300元？若能，求出售价；若不能，请说明理由． 9．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 三、几何问题 10．如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（　　） A． B．（-1，1） C．或（-1，1） D．不存在 11．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的长方形ABCD 内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形 ABCD 的一组邻边上.如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（　　） A． B．5 C．9 D．10 12．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为　 　． 13．如图，奶奶准备修建一个形如矩形ABCD的鸡舍，其中一边AD靠墙（墙长9m），其余三边用总长为20米的篱笆围成． （1）当矩形区域的面积为48m2时，通过计算给出设计方案． （2）矩形区域的面积能达到52m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请通过计算说明理由． 14．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 15．有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被整除吗？ 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）举例：例①；例②，； 例③____________． （2）说理：设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是，那么这个两位数可表示为____________；依题意得到的新数可表示为____________．这个两位数与得到的新数的和为 ． （3）结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和______（填“能”或“不能”）被整除． 四、图表信息问题 16． 某商场销售一种进价为 50 元/千克的水产品，经过一段时间的销售发现日销量 y (千克)与售价 x (元)有如图所示关系 (商场规定销售利润率不得超过 ： （1） 根据图象，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2） 要想获得每天 2400 元的销售利润，售价应定为多少？ （3） 该水产品售价定为多少时，每天获得销售利润最大？最大利润为多少？ 17．电影《哪吒之魔童降世》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个. （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率. （2）为庆祝《哪吒之魔童降世》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元? 18．某商场 4 月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个.商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，6月份的玩具销售额为 2880元.(销售额=销售单价×销售数量) （1）求从4月份到 6 月份，玩具销售额的月平均增长率； （2）经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量就减少1个，且6 月份每个玩具的销售价格小于100元.求6月份每个玩具的销售价格. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】 3．【答案】（1）解：设每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率是； （2）解：设每个应降价x元， ①根据题意得：， 解得或， 售价不低于进价， 舍去， ， 每个应降价3元； ②设甲商品每天的销售利润为W元， 根据题意得 ，当时，W取最大值，最大值为360， 每个应该降价2元，此时最大利润为360元． 4．【答案】（1）解：设该商品每次降价的百分率为x， 60（1-x）2=48.6， 解得x1=0.1，x2=1.9（舍去）， 答：该商品每次降价的百分率是10%； （2）解：设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件， 由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200， 解得a≥ ， ∵a为整数， ∴a的最小值是6， 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价． 5．【答案】A 6．【答案】80 7．【答案】（1）解：由题意知，（件），∴（元）， ∴若每件衬衫降价4元，平均每天可以售出件衬衫，此时每天获利元； （2）解：设每件衬衫应降价元，依题意得：， 解得， ， （舍去）， 每件衬衫应降价元， ∴每件衬衫应降价元，商场平均每天销售衬衫盈利元； （3）解：设每件应降价元，商场销售衬衫要获得利润元，依题意得：， ∴当时，的最大值为， ∴该商场销售衬衫要获得最大利润，每件应降价元，最大利润为元． 8．【答案】（1）解：设每件衬衫应降价x元，则每天售出（20+2x）件， 由题意得：（20+2x）（40﹣x）＝1200， 整理得：x2+30x+200＝0， 解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝20， 答：若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元 （2）解：按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元，理由如下： 设每件衬衫应降价y元，则每天售出（20+2y）件， 由题意得：（20+2y）（40﹣y）＝1300， 整理得：y2+30y+250＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0， ∴方程无实数根， ∴按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元 9．【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】3米 13．【答案】（1）解：设为米，则长米， 根据题意，得：． 解得：． 当时，，不符合题意舍去． 答：为6米，为8米． （2）解：面积不能达到，理由如下： 依题意，设为米，则长为米， 根据题意，得：． 化简得：， ∴． 方程无实数根，面积不能达到． 14．【答案】（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为， ∴， ∵， ∴． ∴S与x的函数关系式为． （2）解：根据题意得：，即， 解得：． ∵， ∴． 答：要围成面积的花圃，的长是8米． 15．【答案】（1）答案不唯一，如：， （2），， （3）能 16．【答案】（1） （2）解：由题意得：，化简得：， 解得：，， ，且， （舍去）， 答：销售单价应定为70元/千克； （3）解：设每天获得的利润为W元，由题意得， ，抛物线开口向下， 有最大值，当x=90时，， 答：销售单价为90元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元. 17．【答案】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 18．【答案】（1）解：设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为m. 由题意，得40×50(1+m)2=2880， 解得m1=0.2=20%，m2=-2.2(不符合题意，舍去). 答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为20% （2）解：设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份每个玩具的销售价格为(50+x)元，6月份的销售量为(40-)个. 由题意，得(50+x)(40-)=2880， 化简、整理，得x2-150x+4400=0， 解得x1=40，x2=110. 当x=40时，50+x=90<100，符合题意； 当x=110时，50+x=160>100，不符合题意，舍去. 答：6月份每个玩具的销售价格是90元 学科网（北京）股份有限公司 $