精品解析：辽宁省大连市第七十六中学2025-2026学年度第二学期期中质量检测 七年级数学

2025—2026学年度第二学期初一数学期中阶段性学情评估 考试时长：120分钟 满分： 120分 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 不相交的两条直线是平行线 3. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指 （ ） A. 线段AC的长 B. 线段AD的长 C. 线段DB的长 D. 线段CD的长 5. 《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？设李三公家有x间客房，来了y名房客，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天璇”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距的B处于2班会合，用方向和距离描述2班相对于1班的位置(　　) A. 2班在1班南偏西处 B. 2班在1班南偏西方向上处 C. 1班在2班处 D. 1班在2班北偏东方向上处 9. 小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（ ） A. 130° B. 140° C. 150° D. 160° 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 定义新运算“☆”：，则________． 12. 折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为______ ． 13. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则____________ 14. 已知是方程的一个解，则k的值是________． 15. 等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是___________． 三．解答题（共7小题） 16. 计算： （1） （2） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 如图，，，，求证：； 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内或横线上注明条件或理由． 证明：（已知）， （① ）， （② ）， ③ （④ ）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行）， ⑤ （⑥ ）， （已知）； ， （⑦ ）， （⑧ ）． 19. 将在坐标系中平移得到，其中的点坐标为． （1）写出点的坐标；画出平移后的； （2）若内有一点，经过平移后的对应点的坐标 ； （3）直接写出的面积． 20. 在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． （1）该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ （2）她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 21. 如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 22. 我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点M与点N互为“等和点”；例如：点与点互为“等和点”． （1）已知点，下列各点，，，其中与点A互为“等和点”的是 ． （2）点与点互为“等和点”，连接，直线交y轴于点F． ①若，求点C的坐标； ②判断点E与点F是否互为“等和点”，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点G在y轴上，若三角形的面积为，求出点G的坐标． 23. 如图，在中． （1）如图1，点F在上，，过点D作，平分，平分，直线与直线交于点G，求的度数； （2）如图2，若点F在延长线上时，D在直线下方，其他条件不变，画出图形，求的度数； （3）如图3，若点F在延长线上时，D在直线下方，条件改为其他条件不变，画出图形，直接写出的度数 （用a表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期初一数学期中阶段性学情评估 考试时长：120分钟 满分： 120分 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、 是整数，属于有理数，不符合要求； B、 是分数，属于有理数，不符合要求； C、属于无限不循环小数，是无理数，符合要求； D、是无限循环小数，属于有理数，不符合要求； 故选：C． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如不同位置的两个直角相等但不是对顶角，因此A是假命题，不符合题意； B．只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，选项未说明两条直线平行，因此B是假命题，不符合题意； C．根据垂线的基本性质，垂线段最短，因此C是真命题，符合题意； D．只有在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线，选项未给出同一平面的前提，因此D是假命题，不符合题意． 3. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A选项：∵表示25的算术平方根，结果为非负数，∴，A错误； B选项：∵，∴B错误； C选项：∵表示81的平方根，∴，∴C错误； D选项：∵，计算正确，∴D正确． 4. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指 （ ） A. 线段AC的长 B. 线段AD的长 C. 线段DB的长 D. 线段CD的长 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，根据AD⊥BC，得出点C到直线AD的距离为线段CD的长度． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴点C到直线AD的距离是指线段CD的长度． 故选D． 5. 《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？设李三公家有x间客房，来了y名房客，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据一房七客多七客，一房九客一房空，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 6. 北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天璇”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知点“天玑”和“开阳”的坐标确定平面直角坐标系的单位长度及原点位置，再结合图形中“天璇”与“天玑”的相对位置关系求解即可． 【详解】解： “天玑”的坐标为 ，“开阳”的坐标为 ， 网格中每个小正方形的边长代表个单位长度， 观察图形可知，“天璇”位于“天玑”的右侧个单位，上方个单位处，  “天璇”的横坐标为，纵坐标为，  “天璇”的坐标为． 7. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此得到，即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． 故选：B． 8. 如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距的B处于2班会合，用方向和距离描述2班相对于1班的位置(　　) A. 2班在1班南偏西处 B. 2班在1班南偏西方向上处 C. 1班在2班处 D. 1班在2班北偏东方向上处 【答案】B 【解析】 【分析】根据方位角的意义描述即可． 【详解】解：依题意得：2班在1班的南偏西50°方向，距离A处5千米的B处； 故选：B． 【点睛】本题考查了方位角和距离描述位置，正确理解方位角的意义是解题的关键．注意不选C、D，因为题干中表明“描述2班相对于1班的位置”． 9. 小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 10. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（ ） A. 130° B. 140° C. 150° D. 160° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 定义新运算“☆”：，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由定义新运算规则可得， ， 故答案为：． 12. 折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为______ ． 【答案】##28度 【解析】 【分析】由平行线性质得出的度数，由对顶角相等，可得出的度数，数形结合表示出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， ． 13. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则____________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：． 故答案为：4． 14. 已知是方程的一个解，则k的值是________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个解， 解得． 15. 等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是___________． 【答案】8或14 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：当8为腰长时，底边为14；当8为底边长时，腰为11．利用三角形三边关系检验，两种情况均成立，故底边长为8或14． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则周长为． 若一边长8为腰长，则，此时三边为8、8、14，满足，符合三角形三边关系． 若一边长8为底边长，则，此时三边为11、11、8，满足，符合三角形三边关系． 因此等腰三角形的底边长为8或14． 故答案为：8或14． 三．解答题（共7小题） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 由②得， 再代入①得 ， ， 方程组的解为； 【小问2详解】 得 ， 将代入②得， ， 方程组的解为． 18. 如图，，，，求证：； 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内或横线上注明条件或理由． 证明：（已知）， （① ）， （② ）， ③ （④ ）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行）， ⑤ （⑥ ）， （已知）； ， （⑦ ）， （⑧ ）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③；④同位角相等，两直线平行；⑤；⑥两直线平行，内错角相等；⑦同旁内角互补，两直线平行；⑧平行于同一条直线的两直线互相平行 【解析】 【分析】先根据已知和对顶角得到，推出，得到，进而得到，推出，得到，推出，然后根据等量代换即可得证． 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）； ， （同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一条直线的两直线互相平行）． 19. 将在坐标系中平移得到，其中的点坐标为． （1）写出点的坐标；画出平移后的； （2）若内有一点，经过平移后的对应点的坐标 ； （3）直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） （3）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据和点的坐标可得向右平移个单位，向下平移个单位，然后可得点、的坐标，然后画出平移后的图形即可； （2）根据平移方法可得平移后的对应点的坐标； （3）利用长方形面积减去周围多余三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：平移到， 平移方式为向右平移个单位，向下平移个单位， ，， ，，即，； 作图略； 【小问2详解】 解：平移方式为向右平移个单位，向下平移个单位， 点，经过平移后的对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积为：． 20. 在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． （1）该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ （2）她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 【答案】（1）长为，宽为 （2）不能实现，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该长方形壁纸的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即； （2）可求出圆的直径，再比较出原的直径和长方形壁纸宽的大小即可得到结论． 【小问1详解】 解：设该长方形壁纸的长为，宽为． 根据题意，得， ∴， ∴． ， ， ． 答：该长方形壁纸的长为，宽为． 【小问2详解】 解：她的裁剪方案不能实现．理由如下： 圆的半径为， 圆的直径为．· ，· ． 她的裁剪方案不能实现． 21. 如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2）与的位置为，证明见解析，图见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得，推出，，即可得证； （2）设交于点，根据角平分线的定义得到，，由，，推出，得到，推出，，得到，即可判定． 【小问1详解】 证明：直线于点，， ，， ，， ； 【小问2详解】 如图，、即为所求， 与的位置为，证明如下： 设交于点， 、分别平分和， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 22. 我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点M与点N互为“等和点”；例如：点与点互为“等和点”． （1）已知点，下列各点，，，其中与点A互为“等和点”的是 ． （2）点与点互为“等和点”，连接，直线交y轴于点F． ①若，求点C的坐标； ②判断点E与点F是否互为“等和点”，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点G在y轴上，若三角形的面积为，求出点G的坐标． 【答案】（1） （2）点；点与点互为“等和点” （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题是新定义“等和点”的应用问题，解题核心是根据定义得到“互为等和点的两点横纵坐标之和相等”，再结合一次函数、三角形面积的初中知识点求解， （1）分别计算出各个点的横纵坐标的和，即可得到与点互为“等和点”的点； （2）根据“等和点”的定义可得，与所给的联立求解，即可得到点的坐标；②通过直角坐标系画出图形，作轴，根据等腰三角形的判定和性质进一步得到F点坐标，验证横纵坐标和是否相等即可判断； （3）设出y轴上G点坐标，利用三角形面积公式列方程求解得到G的坐标． 【小问1详解】 解：，，，， 与点互为“等和点”的是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点与点互为“等和点”， ， ， ，解得：， 点； 点与点互为“等和点”． ∵点与点互为“等和点” ∴， ． ， ，则， ，在第四象限， 作轴， 则，,, ∴, ∴, ∵ ∴, ∴, ∴点， ∵， ∴点与点互为“等和点”； 【小问3详解】 解：设点，已知，， ∵G和F都在y轴上， ∴， ∵点E到y轴的距离为1， ∴， ∵三角形的面积为， ∴，解得或 ， ∴点G的坐标为或． 23. 如图，在中． （1）如图1，点F在上，，过点D作，平分，平分，直线与直线交于点G，求的度数； （2）如图2，若点F在延长线上时，D在直线下方，其他条件不变，画出图形，求的度数； （3）如图3，若点F在延长线上时，D在直线下方，条件改为其他条件不变，画出图形，直接写出的度数 （用a表示）． 【答案】（1）的度数为或 （2）当点在下方时，如图所示： 此时的度数为； 当点在上方时，如图所示： 此时的度数为． （3）当点在射线上时，如图所示： 此时为； 当点在射线上时，如图所示： 此时为． 【解析】 【分析】（1）当点在下方时，根据角分线的性质设，，先根据得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时； （2）设，，此时与第一种情况是大致相同的，先根据同样得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时； （3）当点在射线上时，设，，先根据得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时． 【小问1详解】 解：当，点在下方时，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∵，即， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴在中，； 当，点在点上方时，延长交于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴在中，， ∴，即， ∴在中，， ∴，即， ∴； 综上：的度数为或． 【小问2详解】 解：当，点在下方时，延长交与点，交与点，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴在中，， ∴， ∴； 当，点在上方时，延长交延长线于点，延长交延长线于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴在中，， ∴，即， ∴在中，， ∴，即， ∴； 综上：的度数为或． 【小问3详解】 解：当，点在射线上时，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴ ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即； 当，点在射线上时，延长交直线于点，交于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴在中，，即， ∵在中，，即， 又∵， ∴， ∴； 综上：为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $