精品解析：辽宁省大连市中山区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学卷

七年级阶段质量检测 初一数学 2025.05 （本试卷共23小题，满分120分．考试时间100分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的解，则k等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么 C. 同位角相等，两直线平行 D. 若，则或 7. 如图，正方形的边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 8. 运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（ ） A 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过两点有且只有一条直线 9. 下列说法错误的是（ ） A. 0的算术平方根是0 B. 实数包括正实数，0，负实数 C. 的相反数是 D. 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 10. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 12. 已知，用含x的式子表示y为______________. 13. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，BC是折射光线．若，，则的度数为_______． 14. 根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点……按这样的运动规律，经过次运动后，点的坐标是 ______________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 计算： （1）； （2）． 17. 如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答． （1）过点P作PQCD，交AB于点Q； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R； （3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由 18. 解下列方程组： （1）（代入消元法）： （2）（加减消元法） 19. 如图，△ABC的顶点都在格点上，已知点C的坐标为（4，﹣1）． （1）写出点A，B的坐标； （2）平移△ABC，使点A与点O重合．作出平移后△OB′C′，并写出点B′，C′的坐标． （3）写出线段BB′与CC′的位置和大小关系． 20. 完成下面的证明： 如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， 且（ ）， ∴ ． ∴（ ）． ∴ （ ）． 又∵，（已知） ∴． ∴（ ）． 21. 如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． （1）求拼成的大正方形纸片的边长： （2）小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为 （1）填空：点B的坐标为 ； （2）如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，当时，若在y轴上是否存在点Q，使得的面积与的面积相等，请求出点Q的坐标． 23. 【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级阶段质量检测 初一数学 2025.05 （本试卷共23小题，满分120分．考试时间100分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义次进行判断即可得；掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； B、是对顶角，选项说法正确，符合题意； C、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； D、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：点位于第四象限． 故选：D 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根，熟知一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根是解答此题的关键．根据算术平方根的概念对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，错误，故本选项不符合题意； B、，错误，故本选项不符合题意； C、，错误，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 已知是方程的解，则k等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知二元一次方程的解，求参数的值，解题的关键是把二元一次方程的解代入含参的等式，再求参数的值．把代入方程得出，再求出k即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 5. 如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线，对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．先根据垂直定义求出，根据，从而求出的度数，然后根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么 C 同位角相等，两直线平行 D. 若，则或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、对顶角、等式的性质以及有理数的乘法等知识．利用平行线的判定、对顶角、等式的性质以及有理数的乘法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，是假命题，符合题意； B、如果，那么，故原说法正确，是真命题，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，故原说法正确，是真命题，不符合题意； D、若，则或，故原说法正确，是真命题，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，正方形的边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上点表示实数，勾股定理，求解的长是解题的关键．图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点D，则也为圆的半径，并且等于对角线的长度，即可求解． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，正方形的对角线， 对角线的长为半径画弧，则， 所以数轴上的这个点D表示的数为． 故选：B． 8. 运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过两点有且只有一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短； 故选：B． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 0的算术平方根是0 B. 实数包括正实数，0，负实数 C. 的相反数是 D. 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、实数的分类、相反数及有理数与数轴的关系，正确理解定义是解题的关键．根据知识点桌椅判断即可得出结论． 【详解】解：A、0的算术平方根是0，故正确； B、实数分为正实数、0、负实数，故正确； C、的相反数是，故正确； D、所有有理数可用数轴上的点表示，但数轴上的点不全是有理数（如对应点是无理数），因此后半句错误； 故选：D． 10. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，利用不同数量的大容器和小容器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组． 【详解】解：设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积为y斛，则根据题意可列方程组为： ． 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键． 12. 已知，用含x的式子表示y为______________. 【答案】y=2x+1 【解析】 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【详解】由题意可知：y=2x+1 故答案y=2x+1. 【点睛】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 13. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，BC是折射光线．若，，则的度数为_______． 【答案】115 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据邻补角的定义求出度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：115． 14. 根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点……按这样的运动规律，经过次运动后，点的坐标是 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为1，2，2，4，4，，每5次一轮，每次比前一次起始多4这一规律，纵坐标为，，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4， 第6到10次运动横坐标分别为：， … ∴第到次运动横坐标分别为：， 前五次运动纵坐标分别为， 第6到10次运动纵坐标分别为为， … 第到次运动纵坐标分别为， ∵， ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过次运动后，电子蚂蚁运动到位置的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、算术平方根、立方根的运算，熟练掌握各类运算的定义和性质是解题的关键． （1）先根据绝对值的性质，判断与的大小，去掉绝对值符号，再进行二次根式的加减运算． （2）分别计算算术平方根、立方根，然后进行有理数的加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答． （1）过点P作PQCD，交AB于点Q； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R； （3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠PQC=60°，理由见解析 【解析】 【详解】解：如图所示： （1）画出如图直线PQ （2）画出如图直线PR （3）∠PQC=60° 理由是：因为PQCD 所以∠DCB+∠PQC=180° 又因为∠DCB=120° 所以∠PQC=180°－120°=60° 18. 解下列方程组： （1）（代入消元法）： （2）（加减消元法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）方程组运用代入消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得， 把代入③得，， 所以，方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以，方程组的解集为． 19. 如图，△ABC的顶点都在格点上，已知点C的坐标为（4，﹣1）． （1）写出点A，B坐标； （2）平移△ABC，使点A与点O重合．作出平移后的△OB′C′，并写出点B′，C′的坐标． （3）写出线段BB′与CC′的位置和大小关系． 【答案】（1）A（3，4），B（0，1）；（2）作△OB'C'见解析；点B'的坐标为（-3，-3），C'的坐标为（1，-5）；（3）BB′∥CC′，BB′=CC′． 【解析】 【分析】（1）依据点A，B在坐标系中的位置，即可得到点A，B的坐标； （2）依据点A与点O重合，即可得到平移的方向和距离，进而作出平移后的△OB′C′，并写出点B′，C′的坐标． （3）依据平移的性质，即可得到线段BB′与CC′的位置和大小关系． 【详解】解：（1）根据图象知：A（3，4），B（0，1）； （2）如图，△OB'C'即为所求，点B'的坐标为（-3，-3），C'的坐标为（1，-5）． （3）根据平移的性质知：线段BB′与CC′的位置关系为平行，大小关系为相等， 即BB′∥CC′，BB′=CC′． 【点睛】本题考查了作图-平移变换以及平移的性质，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 20. 完成下面的证明： 如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， 且（ ）， ∴ ． ∴（ ）． ∴ （ ）． 又∵，（已知） ∴． ∴（ ）． 【答案】对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 ． 【解析】 【分析】通过对顶角相等及已知角相等，利用平行线判定定理证，再依据平行线性质和已知角相等，结合平行线判定证 ．本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行等 ）和性质（两直线平行，同位角相等等 ）是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知）， 且（对顶角相等）， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵，（已知） ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 ． 21. 如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． （1）求拼成的大正方形纸片的边长： （2）小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】（1） （2）不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平方根的实际应用，熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，算术平方根定义，是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，由题意得到，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：大正方形边长； 故大正方形纸片的边长为； 【小问2详解】 解：不同意小明的说法．不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由：∵长方形纸片的长、宽之比为且面积为， ∴设长为，则宽为， ∴， ∵， ∴， ∴长为， ∴不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确． 22. 如图，在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为 （1）填空：点B的坐标为 ； （2）如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； （3）在（2）的条件下，当时，若在y轴上是否存在点Q，使得的面积与的面积相等，请求出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行于x轴的直线上的点的特征求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）当时，，的面积为，过M作于N，设交y轴于C，连接，，分别求出，，则可判断Q不在线段上，设，分两种情况讨论：①当Q在C的上方时，②当Q在N下方时，利用割补法表示出的面积，从而构建关于n的方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵轴，，点A的坐标为，且B在A的右侧， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在第三象限，，点A的坐标为，轴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：当时，，的面积为， 过M作轴于N，设交y轴于C，连接，，如图所示： 则，， ∴Q不在线段上， 设， ①当Q在C的上方时，如图，过Q作轴，过B作于E，过M作于F， 则，，，， ∴， 解得， ∴； 当Q在N下方时，如图，过Q作轴，过B作于E，过M作于F， 则，，，， ∴， 解得， ∴； 综上，当Q的坐标为或时，的面积与的面积相等． 23. 【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 【答案】（1）70；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）延长至G，根据对顶角的性质求出，由[阅读理解]知：，结合即可求解； （2）过P作，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （3）设，，则，，，， 由（2）知：，由[阅读理解]知：，结合，可得出，求出，即可求解． 【详解】解：（1）延长至G， 则， 由[阅读理解]知：， 又， ∴，即， 故答案为：70； （2）， 理由：如图，过P作， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （3）设，，则， ∵，的延长线平分， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， 由[阅读理解]知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$