专题04认识三角形、全等三角形 期末复习讲义（19大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题04认识三角形、全等三角形 期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握三角形三边关系，可判断三条线段能否组成三角形，并求解边长的取值范围；熟记三角形内角和定理与外角性质，灵活进行角度计算。理解三角形的高、中线、角平分线的定义与特点，明确中线平分三角形面积、角平分线上的点到角两边距离相等，能够区分不同三角形高线的位置。 掌握三角形按角、按边的分类方式，了解多边形内角和与外角和计算公式。 全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形，书写全等表达式时，需保证对应顶点顺序一致。 全等三角形性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；周长、面积相等，对应边上的高、中线、角平分线也对应相等。 核心题型◆归纳 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.三角形内角和定理的证明 题型4.与平行线有关的三角形内角和问题 题型5.三角形的分类 题型6.直角三角形的两个锐角互余 题型7.构成三角形的条件 题型8.确定第三边的取值范围 题型9.等腰三角形的定义 题型10.画三角形的高 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.重心的概念 题型13.三角形三边关系的应用 题型14.与三角形的高有关的计算问题 题型15.利用网格求三角形面积 题型16.重心的有关性质 题型17.全等三角形的概念 题型18.全等三角形的性质 题型19.分割图形为全等图形 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形的定义与表示】 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 基本元素：三条边、三个内角、三个顶点。 表示方法：以顶点A、B、C为例，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 【知识点二、三角形的三边关系】 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 几何语言：ABC中，a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c<|a+b|。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边，求第三边的取值范围。 【知识点三、三角形的分类】（重点掌握） 分类标准 类型 核心特征 备注 按边分类 不等边三角形 三条边都不相等 - 等腰三角形 有两条边相等 相等的两边为腰，第三边为底边，等边三角形是特殊的等腰三角形 等边三角形 三条边都相等 又称正三角形，属于等腰三角形的范畴 按角分类 锐角三角形 三个角都是锐角 （＜90°） - 直角三角形 有一个角是直角（=90°） 直角所对的边为斜边，其余两边为直角边。 钝角三角形 有一个内角是钝角 （90°<角＜180°） - 【重点提醒】等腰三角形：相等的两边都叫做腰，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角； 【知识点四、三角形的三条重要线段】（核心考点） 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． （或∠ADC＝∠ADB＝90°） 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． （或∠ADB＝∠ADC＝90°） 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 【知识点五、三角形的内角】（核心知识） 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°． 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形． 【重点提醒】如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形． 【知识点六、三角形的外角】 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．                                 性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2） 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角 三角形的外角和：三角形的外角和等于360°（可以理解成一个圆周为360度）． 【知识点七、全等三角形的概念】 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。如下图 用符号“≌”表示，读作全等于.如：△ABC和△DEF全等，记作 △ABC≌△DEF ★注意判断是否为全等形时需注意： 两个必须相同的条件：形状相同、大小相同； 两个无关条件：与位置无关、与方向无关； 全等三角形的对应元素： 对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； 对应边：全等三角形中，能够重合的边； 对应角：全等三角形中，能够重合的角； 【知识点八、全等三角形的基本性质】 对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等． 对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的． 【拓展性质】： 对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的． 对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等． 对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等． 周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等． 面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等． 题型解析◆精准备考 题型1.三角形的识别与有关概念 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 3．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 题型2.三角形的个数问题 1．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 3．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 题型3.三角形内角和定理的证明 1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 2．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 3．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 题型4.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 2．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 3．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 题型5.三角形的分类 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 3．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 题型6.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 2．如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 3．在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 题型7.构成三角形的条件 1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 2．若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 3．三角形的三条边长都是整数，周长为，且有一条边长为4．这个三角形的最大边长可能是多少？请说明理由． 题型8.确定第三边的取值范围 1．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 3．在中，，那么边的最大长度应小于多少？最小长度应满足什么条件呢？ 题型9.等腰三角形的定义 1．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 3．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 题型10.画三角形的高 1．中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 3．如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 题型11.三角形角平分线的定义 1．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 3．请你在图中画出的角平分线，并填空：． 题型12.重心的概念 1．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 2．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 题型13.三角形三边关系的应用 1．下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．等腰三角形的一边长为50 cm，另一边长为8 cm，则它的周长为_______． 3．七年级（1）班的同学分成男生、女生两个组做游戏．现有长度分别为2，3的两根小木棒和一个被平均分成4份的转盘，转盘上标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：每个小组分别派出一名代表各转动转盘一次，指针指向的数字作为第三根小木棒的长度．若三根小木棒能够组成三角形，则女生获胜；否则男生获胜， (1)这个游戏对谁有利？请说明理由： (2)请只改动转盘上一个数字，使游戏公平：可以将数字________改成________． 题型14.与三角形的高有关的计算问题 1．如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 2．如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 3．如果三角形的一边长为，这边上的高为，求这个三角形的面积． 题型15.利用网格求三角形面积 1．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是______． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； (2)求四边形的面积． 题型16.重心的有关性质 1．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 2．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是______． 3．如图是由12个小正方形组成的组合图形，每个小正方形的顶点叫做格点．图中，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，并回答问题． (1)分别画出的高，中线； (2)画出的重心； (3)若点，，直接写出这个由12个小正方形组成的组合图形的重心的坐标． 题型17.全等三角形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 2．已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 3．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 题型18.全等三角形的性质 1．如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．如图，已知，若，则的长是______________． 3．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 题型19.分割图形为全等图形 1．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 3．如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识三角形、全等三角形 期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握三角形三边关系，可判断三条线段能否组成三角形，并求解边长的取值范围；熟记三角形内角和定理与外角性质，灵活进行角度计算。理解三角形的高、中线、角平分线的定义与特点，明确中线平分三角形面积、角平分线上的点到角两边距离相等，能够区分不同三角形高线的位置。 掌握三角形按角、按边的分类方式，了解多边形内角和与外角和计算公式。 全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形，书写全等表达式时，需保证对应顶点顺序一致。 全等三角形性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；周长、面积相等，对应边上的高、中线、角平分线也对应相等。 核心题型◆归纳 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.三角形内角和定理的证明 题型4.与平行线有关的三角形内角和问题 题型5.三角形的分类 题型6.直角三角形的两个锐角互余 题型7.构成三角形的条件 题型8.确定第三边的取值范围 题型9.等腰三角形的定义 题型10.画三角形的高 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.重心的概念 题型13.三角形三边关系的应用 题型14.与三角形的高有关的计算问题 题型15.利用网格求三角形面积 题型16.重心的有关性质 题型17.全等三角形的概念 题型18.全等三角形的性质 题型19.分割图形为全等图形 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形的定义与表示】 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 基本元素：三条边、三个内角、三个顶点。 表示方法：以顶点A、B、C为例，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 【知识点二、三角形的三边关系】 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 几何语言：ABC中，a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c<|a+b|。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边，求第三边的取值范围。 【知识点三、三角形的分类】（重点掌握） 分类标准 类型 核心特征 备注 按边分类 不等边三角形 三条边都不相等 - 等腰三角形 有两条边相等 相等的两边为腰，第三边为底边，等边三角形是特殊的等腰三角形 等边三角形 三条边都相等 又称正三角形，属于等腰三角形的范畴 按角分类 锐角三角形 三个角都是锐角 （＜90°） - 直角三角形 有一个角是直角（=90°） 直角所对的边为斜边，其余两边为直角边。 钝角三角形 有一个内角是钝角 （90°<角＜180°） - 【重点提醒】等腰三角形：相等的两边都叫做腰，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角； 【知识点四、三角形的三条重要线段】（核心考点） 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． （或∠ADC＝∠ADB＝90°） 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． （或∠ADB＝∠ADC＝90°） 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 【知识点五、三角形的内角】（核心知识） 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°． 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形． 【重点提醒】如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形． 【知识点六、三角形的外角】 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．                                 性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2） 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角 三角形的外角和：三角形的外角和等于360°（可以理解成一个圆周为360度）． 【知识点七、全等三角形的概念】 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。如下图 用符号“≌”表示，读作全等于.如：△ABC和△DEF全等，记作 △ABC≌△DEF ★注意判断是否为全等形时需注意： 两个必须相同的条件：形状相同、大小相同； 两个无关条件：与位置无关、与方向无关； 全等三角形的对应元素： 对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； 对应边：全等三角形中，能够重合的边； 对应角：全等三角形中，能够重合的角； 【知识点八、全等三角形的基本性质】 对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等． 对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的． 【拓展性质】： 对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的． 对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等． 对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等． 周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等． 面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等． 题型解析◆精准备考 题型1.三角形的识别与有关概念 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 3．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】(1)个， (2)个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 题型2.三角形的个数问题 1．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 2．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 3．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查三角形的个数，熟练掌握三角形的定义，是解题的关键： （1）根据三角形的定义，进行判断即可； （2）根据三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，以为一边的三角形有：，，，共3个， 故答案为：3； （2）如图，以A为顶点的三角形有：，，，，，，共6个； 故答案为：6． 题型3.三角形内角和定理的证明 1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 2．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【答案】 ，理由见详解． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 题型4.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 2．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 3．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 【答案】△PEF是直角三角形 【详解】试题分析：根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠BEF＋∠DFE ＝180°，再根据角平分线定义得∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)，然后计算出∠P＝90°，根据直角三角形的定义即可得到△EPF是直角三角形． 试题解析： 证明：因为AB∥CD， 所以∠BEF＋∠DFE＝180°． 又因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE， 所以∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE． 所以∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°． 又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°， 所以∠P＝90°． 所以△PEF是直角三角形． 点睛：本题考查了平行线性质，角平分线定义和三角形内角和定理的运用，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠PEF＋∠PFE＝90°是解题的关键． 题型5.三角形的分类 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 3．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 题型6.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线的性质以及三角形的面积和形状判断，解题的关键是熟练掌握这些性质并进行分析． 根据三角形的高、角平分线、中线的性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】是高， ， ，所以A说法正确； 是角平分线， ，所以B说法正确； 中， ， 锐角； 在和，和都小于， 因此一定是锐角三角形，所以C说法错误； 是中线， ， 和以和为底时，高相同， ，所以D说法正确． 故选：C． 2．如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 【答案】71° 【分析】利用三角形内角和求出∠BAC，由角平分线的定义求出∠BAD，根据外角的性质可求∠ADC，进而求出∠EDC，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠E的度数． 【详解】解：∵∠B＝74°，∠ACB＝36°， ∴∠BAC=180°-74°-36°=70°． ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=35°． ∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=35°+74°=109°． ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDC=109°-90°=19°． ∵CE⊥BC， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°-19°=71°． 故答案为：71°． 【点睛】本题考查了三角形内角和，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，垂直的定义等知识，解题的关键是正确识图，分析清楚角与角之间的关系． 3．在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 题型7.构成三角形的条件 1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 【答案】A 【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意． ∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． 2．若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】或 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴，， ∴，， 当6为底边长时，腰长为4， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 当4为底边长时，腰长为6， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或． 3．三角形的三条边长都是整数，周长为，且有一条边长为4．这个三角形的最大边长可能是多少？请说明理由． 【答案】5或4 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．设这个三角形另两边为和，根据已知条件可以得到，分类讨论最大边长的情况，根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：设这个三角形另两边分别为和， 根据已知，得， ∴． 若最大边为6，则另一边为1，，不满足三角形三边关系定理； 若最大边为5，则另一边为2，满足三边关系定理，故最大边长可能是5； 若最大边长是4，则另一边长为3，满足三角形三边关系定理，故最大边长可能是4； 综上所述，最大边长可能是5或4． 题型8.确定第三边的取值范围 1．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 2．已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系得，即， 为整数， 整数的最小值是． 3．在中，，那么边的最大长度应小于多少？最小长度应满足什么条件呢？ 【答案】边的最大长度应小于，最小长度应大于 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形第三边的长度一定大于已知两边的差，小于已知两边的和，利用该性质计算即可得到结果． 【详解】解：已知在中，，． 根据三角形三边关系，可得 ． ∴ ． 即边的最大长度应小于，最小长度应大于． 题型9.等腰三角形的定义 1．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 2．已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 【答案】 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立，舍去． 情况2：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，满足三角形三边关系．周长为． 3．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 题型10.画三角形的高 1．中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 2．如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 3．如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格即可画出的高； （2）根据网格即可求出的面积． 【详解】（1）解：即为所求； （2） 解：的面积为． 题型11.三角形角平分线的定义 1．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 3．请你在图中画出的角平分线，并填空：． 【答案】见解析，2；2； 【分析】根据角平分线的定义画出图形，结合图形即可得出，，解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的定义，熟练掌握作图和定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： ∵是的平分线， ∴，， 故答案为：2；2；． 题型12.重心的概念 1．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 2．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 题型13.三角形三边关系的应用 1．下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵，∴能构成三角形，符合题意； C．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 2．等腰三角形的一边长为50 cm，另一边长为8 cm，则它的周长为_______． 【答案】 【分析】分为腰长和为腰长两种情况，根据三角形三边关系判定能否构成三角形，再计算等腰三角形的周长． 【详解】解:①若为腰长，则三角形三边分别为，，， 因为，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去这种情况； ②若为腰长，则三角形三边分别为，，， 满足三角形三边关系，能构成三角形，此时周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为． 3．七年级（1）班的同学分成男生、女生两个组做游戏．现有长度分别为2，3的两根小木棒和一个被平均分成4份的转盘，转盘上标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：每个小组分别派出一名代表各转动转盘一次，指针指向的数字作为第三根小木棒的长度．若三根小木棒能够组成三角形，则女生获胜；否则男生获胜， (1)这个游戏对谁有利？请说明理由： (2)请只改动转盘上一个数字，使游戏公平：可以将数字________改成________． 【答案】(1)对女生有利，理由见解析 (2)4，5．（答案不唯一） 【分析】（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，则，在1，2，3，4这4个数字中，能构成三角形的有2，3，4这三个，利用概率公式计算可得； （2）只要是两人获胜的概率相等即可得． 【详解】（1）解：设构成三角形的第三根木棒的长度为x， 则，即， ∴在1，2，3，4这4个数字中，能构成三角形的有2，3，4这3个数，不能构成三角形的有1这1个数， ∴P（女生获胜）＝，P（男生获胜）＝， ∴女生获胜的概率大，即这个游戏对女生有利； （2）解：要使游戏公平，只要把2，3，4中任意一个数字改成不大于1或者不小于5的数即可， 例如可以把数字4改成5，能使游戏公平． 则P（女生获胜）＝P（男生获胜）＝． 题型14.与三角形的高有关的计算问题 1．如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【分析】利用通过等面积法列出式子，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 解得， 故选：B． 2．如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 【答案】5 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如果三角形的一边长为，这边上的高为，求这个三角形的面积． 【答案】 【分析】先根据三角形的面积公式列式，再根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 题型15.利用网格求三角形面积 1．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是利用网格求面积，解题的关键是熟练掌握割补法求不规则图形的面积． 利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：四边形的面积， 故选：B． 2．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了在网格中求三角形的面积，利用割补法求解即可． 【详解】解：三角形的面积是：， 故答案为：8 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，掌握三角形的面积的求法是解题的关键． （1）直接利用网格结合垂线与平行线的判定方法作图即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：观察线段在正方形的对角线上，故过点P朝直线的一侧作正方形的对角线，与直线交于点E，则满足．线段在正方形的对角线上，故自点P同样作相同方向的正方形的对角线，与直线交于点F，则满足． （2）解：， 即，四边形的面积是15． 题型16.重心的有关性质 1．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是______． 【答案】4 【分析】连接，并延长交于点F，根据三角形的重心可得，从而有，，，进而求得，于是即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点F， ∵点O是的重心， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了重心，理解重心是三角形三边中线的交点是解题的问题． 3．如图是由12个小正方形组成的组合图形，每个小正方形的顶点叫做格点．图中，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，并回答问题． (1)分别画出的高，中线； (2)画出的重心； (3)若点，，直接写出这个由12个小正方形组成的组合图形的重心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查三角形的高、中线、重心等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）取格点，连接交于点，则是的高；连接交于点，连接，则是的中线； （2）取格点，连接交于点，则点是的重心； （3）分别求出上面4个小正方形组成图形的重心坐标，下面8个小正方形组成的长方形的重心坐标，从而可求出12个小正方形组成的组合图形的重心的坐标． 【详解】（1）解：如图，的高，中线即为所求作， （2）解：如图，点为的重心； （3）解：上面4个小正方形组成图形的重心坐标为，面积为4； 下面8个小正方形组成的长方形的重心坐标为，面积为8； 所以，这12个小正方形组成的组合图形的重心横坐标为；纵坐标为， 因此，重心坐标为． 题型17.全等三角形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键． 利用“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”解题即可． 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 2．已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 3．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】解：对应顶点：点A与点C，点B与点D，点C与点A； 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【详解】略． 题型18.全等三角形的性质 1．如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【详解】解：， ， ． 2．如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 3．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 题型19.分割图形为全等图形 1．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 3．如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义． 【详解】解：如图所示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $