专题03 图形的平移与旋转（期末真题汇编，陕西专用）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦图形变换核心考点，汇编陕西、甘肃等地多年级期末及中考真题，梯度覆盖平移、旋转性质应用及最短距离问题解决，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|约25题|平移坐标变换、旋转性质、中心对称图形识别|结合航天等科技图标考查中心对称，融入坐标系动态变换| |解答题|约10题|平移旋转综合证明、最短距离探究|设计“问题解决活动”，如四边形周长最小化、角平分线动点最值，体现空间观念与推理能力|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 图形的平移与旋转 ☆高频烤点概览 考点01图形的平移 考点02图形的旋转 考点03问题解决活动：最短距离 目目 考点01 图形的平移 1.(23-24七年级下·陕西商洛·期末)如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角形DEF, 下列错误的是() D B F C A.AC=DF B.EB=FC C.∠D=∠ABC D.DE∥AB 2.(25-26八年级上陕西安康期末)如图，将ABC沿直线BC平移，得到△DEF,若DF=9,AG=3, 则CG的长为() D A.9 B.7 C.6 D.3 3.(24-25七年级下陕西商洛期末)在平面直角坐标系中，点P(,b)先向下平移4个单位得到点Q,再将 点Q向右平移3个单位得到点R.若点R的坐标为5，-2)，则点P的坐标是() A.（2,-2 B.(2,2 C.(8,-2) D.(8,2) 4.(24-25七年级下.陕西宝鸡期末)如图所示，将周长为24cm的直角三角形ABC沿BC方向平移5cm, 得到直角三角形DEF,连接AD.若AB=5cm,则四边形ABFD的周长为() D E A.34cm B.16cm C.30cm D.25cm 1/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25八年级下陕西西安期末)点M(2,5)先向左平移5个单位，再向上平移1个单位得到点N,则 点N的坐标为() A.（7,4) B.（7,6 C.（-3,6) D.-3,4 6.(24-25八年级下·陕西西安·期末)如图，将ABC沿着AB方向向右平移得到△DFE,其中 AF=10,DB=4,则平移的距离为() D A.5 B.4 C.3 D.2 7.(24-25七年级下·陕西汉中·期末)如图，将周长为12的ABC沿直线BC向右平移n个单位长度，得 到△DEF,DE交AC于点G,连接AD·给出下列结论：①AD∥BE,AD=BE;②若DE⊥AC,则 AB⊥AC;③AG=CG;④若四边形ABFD的周长为24，则n=6,其中，正确的有() G B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(25-26八年级上·甘肃酒泉·期末)将点M(2,-3)向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点N, 则点N的坐标为· 9.(24-25七年级下·陕西汉中·期末)如图，将ABC沿BC方向平移得到△AB,C,(点A、B、C的对应点 分别是点A、B、G),如果∠ACB=80°，那么∠C的度数为°. A B B CC 10.(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，把一个平行四边形纸板ABCD的一边紧靠着数轴平移到平行 四边形A'B'C'D'的位置.点C、C表示的数分别为b、Q,则点A平移到点A的距离为 (用 含a,b的式子表示) 2/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B B D b 0 11. (2016山东菏泽中考真题)如图，在平面直角坐标系中，A2,0),B(0,1),将线段AB平移至AB的 位置，则a+b的值为 B1(a,2) B(0,1) A1(3,b) A(2,0) 12.(23-24七年级下·陕西安康·期末)如图，已知AB=8,BC=10,AC=4,将三角形ABC沿BC方向 平移a(0<a<10)个单位长度，得到三角形DEF,连接AD,则阴影部分的周长为 13.（24-25七年级下.陕西商洛·期末)已知点A(2m-7,3-m),将点A沿水平方向向左平移5个单位后落 在y轴上，则点A的坐标为 14.(24-25七年级下·陕西汉中期末)如图，将ABC向右平移得到aDEF,点A,B,C的对应点分别是 点D,E,F,连接CE并延长至点H,点B、C、E、F在一条直线上，连接AD,DH,∠BAD=2∠B. A EG F (1)若∠EDF=40°，求∠DFE的度数： (2)若G是线段EF上的点，连接DG,且LDGH=∠GDH,∠GDF=30°，试说明DF平分∠EDH. 15.(24-25七年级下·陕西商洛·期末)如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过平移得到的，点A,B,C 的对应点分别为，B,C,且这六个点都在格点上，解答下列问题： 3/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5 3 _32_10 234x =3 (I)分别写出点B和点B的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的： (②)若点M(a+1,2b-5)是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为 N(2a-7,4+b),求a和b的值； (3)连接BC',直接写出∠CBC'与LB'C'0之间的数量关系. 16.(24-25七年级下·陕西榆林期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m+1,3m+2). (1)若点P在过点A(-3,)且与y轴平行的直线上，求点P的坐标： (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M,若点M在第三象限，且点M到y轴的 距离为7，求m的值， 17.(24-25七年级下·陕西榆林期末)如图，在平面直角坐标系中，A0,6),B(-4,0),将线段AB沿x 轴向右平移12个单位长度得到线段DC,点P为射线AD上一动点. VA B 图① 图② (1)点C的坐标为 ,点D的坐标为 (2)如图①，点M是线段CD上一点（不与点C,D重合），当点P在射线AD上运动时（点P不与点D重 合)，连接PM,∠DPM,∠PMC,∠ABC之间有怎样的数量关系？请说明理由： (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接BN,CN,PN,PC,若ON=OB,三角形PNC的面积等于三角 形AOB的面积，求点P的坐标. 目目 考点02 图形的旋转 4/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1. (23-24八年级下·陕西咸阳期末)下列图标中，共文字上方的图案是中心对称图形的是() A. 航天神舟 B.中国行星探测 C. 中国火箭 D. 中国探月 2.(23-24九年级上陕西延安，期末)下列各曲线是在平面直角坐标系x0y中根据不同的方程绘制而成的， 是中心对称图形的是() 3. (24-25八年级下·陕西榆林期末)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（) B ⑦米 4. (23-24九年级上陕西安康期中)如图，在同一平面内，将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE,若 ∠ADB=53°，则∠EAC的度数是() A.53° B.63° C.64° D.74° 5.(22-23八年级下陕西西安期末)如图，将ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB'C',若点C,B,C共 5/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 线，则LB'C'C的度数为() A.60° B.45o C.30° D.15 6.(24-25七年级下·陕西汉中.期末)如图，ABC绕点A逆时针旋转50°后得到△AB'C'(点B、C的对应 点分别为点B、C),则∠CAC'等于() B A.30° B.50° C.80° D.40° 7.(24-25九年级上陕西西安期末)如图，△DEC与ABC关于点C成中心对称，AB=6,AC=4, ∠CAB=90°，则AE的长为() D E 0y B A A.7 B.8 C.9 D.10 8.(23-24八年级下陕西榆林·期末)如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的直角顶点C的坐标为2,0)， 点A在x轴正半轴上，且AC=4,将ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移5个单位长度，则变换 后点A的对应点的坐标为() VA A A.（-3,-4) B.（-3,6 C.（7,4 D.（-3,4) 9.(25-26九年级上陕西商洛期末)若点A(a,2024)关于原点对称的点是B(-2023,b),则a+b的值为 6/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10.(25-26九年级上陕西安康期末)若点A(-2,m与点B(n,3)关于原点对称，则m+n= 11.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)在平面直角坐标系中，点Aa,-5)与点B(2,b)关于原点成中心对称， 则ab的值为 12.(24-25九年级上·陕西咸阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三 角形②，则其旋转中心的坐标为 ① ② 13.（23-24九年级上陕西延安期末)有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆. 其中不是中心对称图形的是 14.(25-26九年级上陕西渭南·期末)如图，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,点C的对应点B 恰好落在CD的延长线上，点E在线段BD上，连接AE、FE,且LEAD=45°，求证：EF=ED. 15.(25-26九年级上陕西·期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A-3,-3), B(-1,-3,C(0,-1. 3 2 5-4-3-2-10 345x (I)画出与ABC关于原点O成中心对称的△AB,C,且点A,B,C的对应点分别为A,B,C; 7/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)点B的坐标为 16.(25-26九年级上陕西安康期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4), B(4,-4),C1,-1) A ”=”=-下“T”1”” 4 3 2 L -1 -5 4-3-2-10 4 3 5 (1)画出ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△AB,C,(点A、B、C的对应点分别为点A、B、C); (2)请写出点B关于原点O对称的点B的坐标. 目目 考点03 问题解决活动：最短距离 1. (25-26八年级上·陕西西安期末)如图，四边形ABCD的面积为12，AB⊥CB于点B,AB=BC=4,连 接BD,则BDAD的最小值为() D B A.213 B.210 C.82 D.√2+4 2.(25-26八年级上陕西安康·期末)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=117°，∠B=∠D=90°，点M、N分 别为BC、CD上的动点，连接AM、AN、MN,当aAMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 D N M C 8/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，LBAC=60°，AD平分∠BAC,AB+AC=6, 则AD的最大值为 4.(25-26八年级上陕西西安期末)如图所示，直线y=x+6与两坐标轴分别交于A,B两点，点C是 OB的中点，D,E分别是直线AB和y轴上的动点，则aCDE周长的最小值是 D 5.（25-26八年级上·陕西西安·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，点E,F分 别在AC,BC上，且DE⊥DF.若AC=I0,BC=I5,则△DEF的周长的最小值是 6.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC=10,以AB为边向右作等边 △ABD,点P是∠BAC的角平分线上的动点，连接PC、PD,则PC+PD的最小值为 7.(25-26八年级上陕西西安期末)问题提出：(1)如图①，在ABC中，AB=AC,AB=5,BC=6,则 9/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点A到BC边的最短距离是 问题探究：(2)如图②，在ABC中，LBAC=60°，AD是ABC的角平分线，AD与BC相交于点 D,AD=6,点E在AC边上，点F在AB边上，分别连接DE、DF,且DE=DF,求四边形AEDF的面积； 问题解决：(3)王叔叔门前有一块空地，他计划开垦一个四边形菜地ABCD种植黄瓜和南瓜，如图③，按 照王叔叔的设想，AB=BC,∠ABC=60°，∠ADC=120°，AC和BD是两条小路，BD长为12米，他计划在 ABC内种植黄瓜，在△ACD内种植南瓜，若要使种植南瓜的△ACD区域面积尽可能大，王叔叔的设想能否 实现？若能，请你求出△ACD区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）. B D 图① 图② 图③ 8.(25-26八年级上陕西西安期末)【初步探索】(1)如图1，点A、B在直线1的同侧，点P在直线1上， 点A到1的距离AO=1,点B到1的距离BO2=3,O,O2=3,则PA+PB的最小值为 ； 【深入探究】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7,BC=12,P为ABC内一点，且满足 SABPC=15,求aBPC周长的最小值； 【拓展应用】(3)如图3，公园里有一块三角形区域ABC,该区域的供水中心D在边BC上，其中 AB=80m,BD=40V3m,AD=DC=40m,∠ABC=30°.管理部门现计划修建一块四边形花圃AEDF, 其中E、F在ABC内部，满足AE=AF,∠EAF=60°，且花圃面积为300√5m,同时为了方便灌溉，决定 铺设两条水渠DE、DF.为节约修建水渠的成本，不考虑其他因素，是否存在满足条件的一点E,使得 DE+DF最小？若存在，请求出DE+DF的最小值；若不存在，请说明理由. B 图1 图2 图3 9.(25-26八年级上·陕西榆林·期末)小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探 究 【问题解决】 10/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D B D 图① 图② 图③ (1)如图①，在ABC中，AB=BC,若∠ABC=90°，则∠A= 【问题探究】 (2)如图②，在ABC中，点D在AC边上，连接BD,且AB=BD,线段BE与线段BD关于BC所在直线 对称，点D的对应点为点E,连接AE,猜想∠ADB,∠E,∠EAC之间的数量关系，并说明理由， 【拓展延伸】 (3)如图③，在一块三角形土地ABC上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区 域，aDEF为光伏逆变器安装区域，△AEF,BDE,CDF部分为光伏太阳能板安装区域，已知 ∠ABC=90°，∠ACB=30°，点D,E,F分别在BC,AB,AC上，BD=AB,按照设计要求，光伏逆变器安装区 域的周长（即△DEF的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时，∠DEF的度数. 10.(25-26八年级上·陕西西安期末)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6,则 BC= (2)如图②，直线l过等腰直角三角形ABC的顶点B,过点A、C分别作1的垂线，垂足为D、E,且 AD=5,CE=2,求DE的长： (3)如图③，现有一张三角形卡片ABC,己知AB=AC,∠A=30°，BC=4π，喜欢设计的小明同学想在 卡片内部画出一个△PMN,要求点P在ABC内，点M、N分别在边AB、AC上，使得∠PMN=30°， MP=MN,且满足NC=2AM,善于思考的小红同学想，能否在满足小明设计的同时使得线段PC的长度最 小呢？如果可以，请说明点M的位置；如果不可以，请说明理由 D B 图① 图② 图③ 备用图 11/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12/12 专题03 图形的平移与旋转 高频考点概览 考点01 图形的平移 考点02 图形的旋转 考点03 问题解决活动：最短距离 ( 考点01 图形的平移 ) 1．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）如图，三角形沿边所在的直线向左平移得到三角形，下列错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平移的基本性质，解题关键在于掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等或在同一条直线上，对应角相等．由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【详解】∵三角形沿边所在的直线向左平移得到三角形，， ∴， ∴， 故选项A、B、D正确， 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图所示，将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，再进一步利用周长公式计算即可. 【详解】解：∵将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，， ∴，，， ∴四边形的周长 ． 故选A． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）点先向左平移5个单位，再向上平移1个单位得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解题的关键． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点先向左平移5个单位，再向上平移1个单位得到点，则点的坐标为， ∴点N的坐标是． 故选：C． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，将沿着方向向右平移得到，其中，则平移的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键． 根据平移的性质得到，再根据求出平移距离即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， ∵， ∴， 即平移的距离为3． 故选：C． 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可．本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得， ， ∴四边形的周长为， ∴，即沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 8．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律．点的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】将点向右平移3个单位，横坐标增加3，变为；再向上平移2个单位，纵坐标增加2，变为． 因此点的坐标为． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将沿方向平移得到（点A、B、C的对应点分别是点、、），如果，那么的度数为_____． 【答案】80 【分析】本题考查了平移的性质，直接根据平移的性质求解，即可解题． 【详解】解：， 结合平移性质可知，； 故答案为：80． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠着数轴平移到平行四边形的位置．点、表示的数分别为、，则点平移到点的距离为___________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质．根据平移的性质解答即可． 【详解】解：∵点、表示的数分别为、， ∴点平移到点的距离为． 故答案为： 11．（2016·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质进行计算即可． 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 则阴影部分的周长为． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知点，将点A沿水平方向向左平移5个单位后落在y轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，y轴上点的坐标特征，根据平移的性质得出平移后的点的坐标为，根据y轴上的点的横坐标为0，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵点，将点A沿水平方向向左平移5个单位的坐标为， ∵点在y轴上，则， 解得：， ∴， 即A点的坐标为， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理． （1）由平移的性质可得：，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）由三角形的外角性质，得，由已知求得，推出，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 由三角形的外角性质，得， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分． 15．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，三角形是由三角形经过平移得到的，点A，B，C的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (2)若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为，求a和b的值； (3)连接，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)点B的坐标为，点的坐标为；三角形是由三角形向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到的 (2)a的值为5，b的值为12 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （1）根据所给平面直角坐标系及点B和点的位置即可解决问题． （2）根据平移的性质即可解决问题根； （3）据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可解决问题．． 【详解】（1）解：由所给平面直角坐标系可知， 点B的坐标为，点的坐标为； 三角形是由三角形向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到的； （2）解：因为点B坐标为，平移后对应点的坐标为， 所以． 因为点M坐标为，且其平移后的对应点N的坐标为， 所以，， 解得， 故a的值为5，b的值为12． （3）解：因为由平移得到， 所以， 所以． 因为， 所以． 16．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【分析】（1）因为点P在过点且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中，即可得到答案． 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征． 【详解】（1）解：∵P点在过点且与y轴平行的直线上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）由题意知，点M的坐标为，即， ∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴， 解得． 17．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在射线上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2)或，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点P为射线上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段， ∴，， 故答案为：，； （2）解：当点P在点D右边时，如图，过点M作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 当点P在点D左边时， 同理可得， ∴， 即， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①点P在点A右边，N在正半轴时， 可得， 设，则， ∴， ∴， ∴； N在负半轴时，点C在的下方时， 可得， 设， ∴， ∴， ∴； ②点P在点D右边，点C在的上方时如图，连接， 可得， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，P点的坐标为或或． ( 考点02 图形的旋转 ) 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）下列图标中，共文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A．航天神舟 B．中国行星探测 C．中国火箭 D．中国探月 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可．如果一个图形绕着某点旋转180度后，能与原来图形完全重合,则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期末）下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析判断各选项是否符合题意即可． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，是轴对称图形，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，不是轴对称图形，也不能绕某点旋转后与原图形重合，所以既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，不是轴对称图形，但能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，是轴对称图形，也能绕某点旋转后与原图形重合，所以既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确， 故选：D． 4．（23-24九年级上·陕西安康·期中）如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由旋转的性质可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，绕点逆时针旋转后得到（点B、C的对应点分别为点、），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得是旋转角， ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 8．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转变换的性质，平移的性质，掌握旋转变换的性质，平移的性质是解本题关键． 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标， 向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为． 故选：D． 9．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若点关于原点对称的点是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数，求出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期末）若点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质．直接利用关于原点对称点的性质（横坐标、纵坐标均互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点成中心对称的点的坐标特点，代数式求值，解题的关键在于根据对称求出的值． 根据关于原点对称的点的纵、横坐标互为相反数，求出的值，再将的值代入中计算，即可解题． 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， ， 则的值为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵经过旋转后得到， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． ∵， ∴其旋转中心的坐标为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·陕西延安·期末）有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是_______． 【答案】② 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①线段是中心对称图形， ②三角形不是中心对称图形， ③平行四边形是中心对称图形， ④正方形是中心对称图形， ⑤圆是中心对称图形， 综上所述，不是中心对称图形的是②． 故答案为：②． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质．先利用旋转的性质得到对应边和旋转角；结合已知推导出，得到；再以为依据证明和全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，； ∵， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点成中心对称的，且点，，的对应点分别为，，； (2)点的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，画已知图形关于某点对称的图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质，分别找出点，，，再依次连接，即可作答； （2）观察图象，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：依题意，点的坐标为． 16．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点O逆时针旋转后得到的（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)请写出点B关于原点O对称的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了旋转的作图和点的坐标等知识，准确作图是解题的关键． （1）分别找到点A、B、C绕原点O逆时针旋转后得到的对应点、、，顺次连接即可； （2）根据关于原点O对称的点的特征写出答案即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：点的坐标为． ( 考点0 3 问题解决活动：最短距离 ) 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形的面积为，于点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质． 连接，根据勾股定理求出，，可知恒定，的底恒定，则D到的距离恒定，即D在平行于的一条直线m上运动，作B关于直线m的对称点，作交延长线于E，可知，，即，当即时，根据四边形的面积为求出，即B到直线m的距离为，可知，根据等腰三角形三线合一得到，进而得到，根据等角对等边得到，根据勾股定理求出，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵于点， ∴，， ∴， ∵恒定，的底恒定， ∴的高即D到的距离恒定， ∴D在平行于的一条直线m上运动， 作B关于直线m的对称点，作交延长线于E， 则，，即， 当即时， ， 即， 解得：， 即B到直线m的距离为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点分别为上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】126 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点， 使得，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形30度角的性质，勾股定理，完全平方公式． 作交于E，作交于F，根据角平分线的定义得到，，根据直角三角形30度角的性质得到，求出，可知当三角形的面积最大时，有最大值，作交于G，设，根据直角三角形30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据完全平方公式得到，进而得到，即可求出的最大值． 【详解】解：如图，作交于E，作交于F， ∵，平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴当三角形的面积最大时，有最大值， 作交于G， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 可知三角形的面积最大值为， 即， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG， 直线与两坐标轴分别交于、两点， ∴令，则；令，则，解得， ，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵点C与点G关于对称， ∴，， ∴， ∵，， ， 又∵点C与点F关于对称， ，，， ， ∵，， ∴的周长， 当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为的长， ∵在中，， 周长的最小值是． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是角平分线，点，分别在，上，且．若，，则的周长的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质；过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而可得的周长为，根据角平分线的性质以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是角平分线， ∴， ∵，是角平分线， ∴ ∵ ∴， 同理可得 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴的周长为 ∴当取得最小值时，的周长取得最小值，即当重合时，取得最小值， ∵，，， ∴，即 设 ∴ 解得： ∴ ∴的周长为 故答案为：． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，以为边向右作等边，点是的角平分线上的动点，连接、，则的最小值为__________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质．连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为10． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）问题提出：（1）如图①，在中，，则点到边的最短距离是_____； 问题探究：（2）如图②，在中，，是的角平分线，与相交于点，点在边上，点在边上，分别连接、，且，求四边形的面积； 问题解决：（3）王叔叔门前有一块空地，他计划开垦一个四边形菜地种植黄瓜和南瓜，如图③，按照王叔叔的设想，和是两条小路，长为12米，他计划在内种植黄瓜，在内种植南瓜，若要使种植南瓜的区域面积尽可能大，王叔叔的设想能否实现？若能，请你求出区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）． 【答案】（1）4；（2）；（3）王叔叔的设想能实现，区域面积的最大值为平方米． 【分析】（1）过点作于点H，则线段的长度即为点到边的最短距离，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可； （2）过点作于点，于点，证明，，则，，再求出，即可求出答案； （3）延长到点，使得，连接，过点作于点，证明，得到米，，再证明是等边三角形，则米，得到米，设米，则米， 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理分别得到米，米，利用三角形面积公式和完全平方公式得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点H，则线段的长度即为点到边的最短距离， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 即点到边的最短距离是4， 故答案为：4 （2）解：过点作于点，于点，则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积； （3）如图，延长到点，使得，连接，过点作于点， ∵ ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴米， ∴ ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， 设米，则米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值为， 即当米时，区域面积取得最大值为平方米， ∴王叔叔的设想能实现，区域面积的最大值为平方米． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）【初步探索】（1）如图1，点、在直线的同侧，点在直线上，点到的距离，点到的距离，则的最小值为________； 【深入探究】（2）如图2，在中，，为内一点，且满足，求周长的最小值； 【拓展应用】（3）如图3，公园里有一块三角形区域，该区域的供水中心在边上，其中，，，．管理部门现计划修建一块四边形花圃，其中、在内部，满足，且花圃面积为，同时为了方便灌溉，决定铺设两条水渠、．为节约修建水渠的成本，不考虑其他因素，是否存在满足条件的一点，使得最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）25；（3） 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接，延长，过点作于点，根据勾股定理求出，根据轴对称得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，且最小值为的长，即可得出答案； （2）根据，，得出点P到直线的距离为：，过点P作直线，直线l交于点D，则直线l与的距离为，点P在直线l上移动，在上取点，使，连接，交直线于点，连接，，根据垂直平分，得出，，根据两点之间线段最短，得出，从而得出当点P在点时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出的最小值，再根据为定值，得出此时的周长最小； （3）在上取点G，使，连接，，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，根据“”证明，得到，，从而，即当最小时，最小．求出．过点E作直线，过点G作于点H，则，根据的面积求出．在的延长线上取点K，且，连接，则，得到，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：（1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接，延长，过点作于点，如图所示： 则，四边形为长方形，， ∴，， ∴， ∴根据勾股定理得：， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为的长， ∴的最小值为5； （2）∵，， ∴点P到直线的距离为：， 如图，过点P作直线，直线l交于点D，则直线l与的距离为，点P在直线l上移动， ∵， ∴， ∴，， 如图，在上取点，使，连接，交直线于点，连接，， 则，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴当点P在点时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， 即的最小值为13， ∵为定值， ∴当的最小时，的周长最小， ∴的周长最小值为； （3）存在满足条件的一点，使得最小； 在上取点G，使，连接，，如图所示： ∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即当最小时，最小． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作直线，过点G作于点H，则 ∵，即， ∴， 在的延长线上取点K，且，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在上时，取得最小值，为． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，若，则____________； 【问题探究】 （2）如图②，在中，点在边上，连接，且，线段与线段关于所在直线对称，点的对应点为点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在一块三角形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区域，为光伏逆变器安装区域，，，部分为光伏太阳能板安装区域，已知，点分别在上，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域的周长（即的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时，的度数． 【答案】（1）45；（2）；（3）的度数为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由，则，又线段与线段关于直线对称，故有，从而得，然后通过角度和差即可求解； （3）分别作D关于直线、的对称点G、H，连接，交、于点M、N，连接，，，由的周长为，则当点H、E、F、G共线时，的周长最小，即E与M重合，F与N重合，由对称性可知，，由，可得，从而可求得，进而可得，从而可求得，根据平角定义可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，分别作D关于直线、的对称点G、H，连接，交、于点M、N，连接，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当点H、E、F、G共线时，的周长最小，即E与M重合，F与N重合，如图， 由对称性可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小时，的度数为． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）（1）如图①，在中，，，，则______； （2）如图②，直线过等腰直角三角形的顶点，过点分别作的垂线，垂足为，且，，求的长； （3）如图③，现有一张三角形卡片，已知，，，喜欢设计的小明同学想在卡片内部画出一个，要求点在内，点分别在边上，使得，，且满足．善于思考的小红同学想，能否在满足小明设计的同时使得线段的长度最小呢？如果可以，请说明点的位置；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）可以，点在距离点的位置 【分析】本题考查直角三角形性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，动点最值问题，灵活运用以上知识点，是解决问题的关键． （1）根据角的直角三角形的性质，得到的长度． （2）根据等腰直角三角形的性质和同角的余角相等，得到，进而得到对应边相等，进而得到的长度． （3）作，通过证明，得到，进而得到，进而得到，过作于点，当点与点重合时，有最小值，过作于点，得到的值，进而得到的值． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， 故答案为：3； （2）在等腰直角三角形中，，， 由题意可得， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，作， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点在上方，且与夹角为的射线上（在内部）， 如简图，过作于点， 则，即点与点重合时，有最小值， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得， 即最小值为， 过作于点， 在中，， 设，则， ， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴，即点在距离点的位置． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $