专题01实数期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题01实数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根定义，分清三者符号、取值区别。 2.掌握无理数、实数概念，能正确区分有理数与无理数，掌握实数分类。 3.熟记算术平方根双重非负性：0(a，灵活应用非负求和为 0 题型。 4.掌握实数与数轴一一对应，理解实数相反数、倒数、绝对值含义。 5.熟练实数大小比较、简单实数四则运算。 1.能熟练求一个数的平方根、算术平方根、立方根。 2.快速辨别无理数，估算无理数整数部分与小数部分。 3.利用算术平方根、平方、立方非负性列式求值。 4.规范进行实数化简、混合运算，掌握实数比较大小常用方法。 1.选填：平方根概念辨析、无理数识别、简单开方计算不丢分。 2.基础计算题：根式化简、实数四则运算步骤完整。 3.中档题：利用非负性求值、无理数估算。 4.拓展题：实数化简求值、数轴上实数化简绝对值。 题型01.求一个数的算术平方根 题型02.利用算术平方根的非负性解题 题型03.估计算术平方根的取值范围 题型04.与算术平方根有关的规律探索题 题型05.算术平方根的实际应用 题型06.平方根正反运算 题型07.利用平方根解方程 题型08.立方根正反运算 题型09.与立方根有关的规律探索题 题型10.立方根的实际应用 题型11.算术平方根和立方根的综合应用 题型12.无理数与无理数大小估算 题型13.无理数整数部分的有关计数 题型14.实数的分类与性质 题型15.实数与数轴 题型16.实数的大小比较 题型17.实数的混合运算 题型18.程序设计与实数运算 题型19.新定义下的实数运算 题型20.与实数运算相关的规律题 . 知识点01:算术平方根、平方根 一.重要结论与运算 3.0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根和算术平方根。 二. 开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点02:立方根 1.基本概念 若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 项目 内容说明 被开方数范围 a可取任意实数（正数、0、负数） 根的个数 任意实数都有且只有 1 个立方根 符号规律 正数的立方根为正；0 的立方根为 0；负数的立方根为负 2.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 知识点10:全章高频易错点汇总 易错类型 典型错误 正确做法 概念混淆 把平方根当成算术平方根，漏写 看清题干要求：求平方根带 ，求算术平方根只取正 取值判断 认为负数有平方根 牢记：负数没有平方根、算术平方根，有立方根 公式误用 =a 直接去掉绝对值 严格使用=∣a∣，再根据 a 正负化简 无理数判断 认为带根号的都是无理数 .等开得尽方的数是有理数 符号错误 化简 出错 =−，立方根符号可直接外移 题型01.求一个数的算术平方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中：①的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④0.01的算术平方根是0.1；⑤；⑥的立方根是2．其中正确的有________（只填序号）． 3．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 题型02.利用算术平方根的非负性解题 4．若实数a、b满足，则___________． 5．已知实数，满足，则_________． 6．若式子，则等于（   ） A． B．1 C． D． 7．已知实数满足，完成下列问题： (1)分别求出的值； (2)求的算术平方根，以及的立方根． 题型03.估计算术平方根的取值范围 8．若n为正整数，且满足，则________． 9．如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 11．新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 题型04.与算术平方根有关的规律探索题 12．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 13．已知，，，…，设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 14．阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 题型05.算术平方根的实际应用 15．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    16．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 17．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 18．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 题型06.平方根正反运算 19．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 20．一个正数的平方根是与，则的值为（   ） A．24 B． C．2 D． 21．的平方根是，64的立方根是，则的值为___． 22．若与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为___________． 23．已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 题型07.利用平方根解方程 24．（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________． （2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________． 25．如果，那么的值是（   ） A．2或8 B．或8 C．或8 D．或2 26．计算与解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08.立方根正反运算 27．已知，，，，则________，________． 28．已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 29．下列运算中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．已知，，则的值是（    ） A．31 B． C．31或 D．或 31．已知的立方根是的算术平方根是4．求的平方根． 题型09.与立方根有关的规律探索题 32．若 ， ，则 _________． 33．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 34．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   题型10.立方根的实际应用 35．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 36．小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 37．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型11.算术平方根和立方根的综合应用 38．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 39．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 40．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 题型12.无理数与无理数大小估算 41．在下列实数，，，，，，0.030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0）中，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 43．在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 44．若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 45．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 题型13.无理数整数部分的有关计算 46．的整数部分为________． 47．对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 48．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 49．已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型14.实数的分类与性质 50．在实数，，，，，，，，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 51．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 52．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 53．实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 题型15.实数与数轴 54．已知，将实数a，表示的点在数轴上标出，如图所示，则实数a可能是（   ） A． B． C．1 D． 55．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 56．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 题型16.实数的大小比较 57．下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 58．比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 59．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型17.实数的混合运算 60．计算：_____． 61．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 62．计算： (1)； (2)． 题型18.程序设计与实数运算 63．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 64．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 65．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 题型19.新定义下的实数运算 66．现规定一种运算：，当时，的算术平方根为__________． 67．定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 68．规定、、、之间的运算：，如． (1)解方程：； (2)若，且，求的值． 题型20.与实数运算相关的规律题 69．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 70．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 71．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01实数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根定义，分清三者符号、取值区别。 2.掌握无理数、实数概念，能正确区分有理数与无理数，掌握实数分类。 3.熟记算术平方根双重非负性：0(a，灵活应用非负求和为 0 题型。 4.掌握实数与数轴一一对应，理解实数相反数、倒数、绝对值含义。 5.熟练实数大小比较、简单实数四则运算。 1.能熟练求一个数的平方根、算术平方根、立方根。 2.快速辨别无理数，估算无理数整数部分与小数部分。 3.利用算术平方根、平方、立方非负性列式求值。 4.规范进行实数化简、混合运算，掌握实数比较大小常用方法。 1.选填：平方根概念辨析、无理数识别、简单开方计算不丢分。 2.基础计算题：根式化简、实数四则运算步骤完整。 3.中档题：利用非负性求值、无理数估算。 4.拓展题：实数化简求值、数轴上实数化简绝对值。 题型01.求一个数的算术平方根 题型02.利用算术平方根的非负性解题 题型03.估计算术平方根的取值范围 题型04.与算术平方根有关的规律探索题 题型05.算术平方根的实际应用 题型06.平方根正反运算 题型07.利用平方根解方程 题型08.立方根正反运算 题型09.与立方根有关的规律探索题 题型10.立方根的实际应用 题型11.算术平方根和立方根的综合应用 题型12.无理数与无理数大小估算 题型13.无理数整数部分的有关计数 题型14.实数的分类与性质 题型15.实数与数轴 题型16.实数的大小比较 题型17.实数的混合运算 题型18.程序设计与实数运算 题型19.新定义下的实数运算 题型20.与实数运算相关的规律题 . 知识点01:算术平方根、平方根 一.重要结论与运算 3.0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根和算术平方根。 二. 开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点02:立方根 1.基本概念 若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 项目 内容说明 被开方数范围 a可取任意实数（正数、0、负数） 根的个数 任意实数都有且只有 1 个立方根 符号规律 正数的立方根为正；0 的立方根为 0；负数的立方根为负 2.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 知识点10:全章高频易错点汇总 易错类型 典型错误 正确做法 概念混淆 把平方根当成算术平方根，漏写 看清题干要求：求平方根带 ，求算术平方根只取正 取值判断 认为负数有平方根 牢记：负数没有平方根、算术平方根，有立方根 公式误用 =a 直接去掉绝对值 严格使用=∣a∣，再根据 a 正负化简 无理数判断 认为带根号的都是无理数 .等开得尽方的数是有理数 符号错误 化简 出错 =−，立方根符号可直接外移 题型01.求一个数的算术平方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，分别计算各选项即可判断正误； 【详解】解： 故A错误. 是9的算术平方根，结果为非负数，即 故 B错误. ， 故C正确. ， 故D错误； 2．下列说法中：①的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④0.01的算术平方根是0.1；⑤；⑥的立方根是2．其中正确的有________（只填序号）． 【答案】 ②③④ 【分析】运用平方根、算术平方根和立方根的定义计算，然后判断即可． 【详解】解：∵，的平方根是，故①错误； ，是的一个平方根，故②正确； ，的平方根是，故③正确； ，的算术平方根是，故④正确； ，故⑤错误； 的立方根是，故⑥错误； 综上，正确的是②③④． 3．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 题型02.利用算术平方根的非负性解题 4．若实数a、b满足，则___________． 【答案】0 【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴． 5．已知实数，满足，则_________． 【答案】 【分析】根据平方的非负性和算术平方根的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数均为，据此得到关于，的二元一次方程组，整理即可求出所求代数式的值． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由得， ∴． 6．若式子，则等于（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 7．已知实数满足，完成下列问题： (1)分别求出的值； (2)求的算术平方根，以及的立方根． 【答案】(1)，； (2)的算术平方根为；的立方根为． 【分析】（1）根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值， （2）根据（1）求得的x、y的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴的立方根为． 题型03.估计算术平方根的取值范围 8．若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再结合已知不等式即可确定正整数的值． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 9．如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】估算出的范围，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故这个比值最接近的整数是4. 10．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 11．新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 题型04.与算术平方根有关的规律探索题 12．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 【答案】48.5 【分析】从表格数据归纳得到规律，被开方数的小数点向右移动两位，其算术平方根的小数点相应向右移动一位，据此利用已知近似值计算结果. 【详解】解：， 即被开方数的小数点向右移动两位得到， 又， 根据规律可得. 13．已知，，，…，设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 14．阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】观察给出的前4个等式，可以发现统一特征：第k个等式中，根号内的减数分子为，分母为，化简后的最终结果为． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：． 题型05.算术平方根的实际应用 15．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    【答案】 / 【分析】利用正方形面积公式求出边长，再根据数轴的特点（右侧的数比左侧的数大）即可求出点所表示的数． 【详解】解：设正方形的边长为，则根据题意可得：； 解得：； ∵，点在数轴上表示的数为1，且点在点的右侧， ∴ 则点所表示的数为． 16．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 17．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 18．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 题型06.平方根正反运算 19．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误； C．，正确； D．，故错误． 20．一个正数的平方根是与，则的值为（   ） A．24 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】正数的两个平方根互为相反数，根据这一性质列一元一次方程求解即可； 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴根据题意可得：， 整理得：， 解得：． 21．的平方根是，64的立方根是，则的值为___． 【答案】 1或7 【分析】先化简，再根据平方根的定义求出，根据立方根的定义求出，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：，的平方根是，的立方根是， ，， 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为或． 22．若与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为___________． 【答案】 【分析】由平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：与是同一个正数的两个平方根， ， 合并同类项得：， 解得， 将代入，得其中一个平方根为， 这个正数为． 23．已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 【答案】4 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，分别求得的值，进而求得的值，再求立方根，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ， 的立方根为4． 题型07.利用平方根解方程 24．（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________． （2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________． 【答案】 1 【分析】（1）先将原方程变形，根据平方根的意义可知方程的两根互为相反数，利用两根之和为列方程求解即可； （2）利用换元思想，将所求方程变形后，对比已知方程的根，得到关于的一次方程，进而求解． 【详解】解：（1）对方程两边同除以，得： ， ， ， ∴方程的两个根为， 所以两根互为相反数，因此两根之和为0，即： ， 整理得：， 解得：； （2）已知关于的方程的两根为：， 将方程移项整理，得： ， 令，可得， 因此或， 即或， 解得， 解得， 方程的根为． 25．如果，那么的值是（   ） A．2或8 B．或8 C．或8 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，求代数式的值，由题意得出，或，，再分情况分别计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 故选：C． 26．计算与解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先计算立方根、乘方、算术平方根，再计算加减即可得出结果； （2）先化简绝对值，再计算加减即可得出结果； （3）利用平方根的定义解方程即可； （4）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴或； （4）解：∵， ∴， ∴． 题型08.立方根正反运算 27．已知，，，，则________，________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 28．已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根的定义求出、的值，进而求出的值，再求其立方根即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 29．下列运算中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①先化简带分数：，，①错误； ②算术平方根的结果为非负数，，②错误； ③根据立方根的性质，负数的立方根是负数，，③正确； ④，负数没有算术平方根，原式运算不成立，④错误； 综上，正确的运算只有1个． 30．已知，，则的值是（    ） A．31 B． C．31或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、绝对值、代数式求值，熟练掌握运算法则及定义是解题的关键． 先根据绝对值、立方根的定义求出、的值，再根据代数式求值计算即可． 【详解】解：，， ，， 或， 故选：D． 31．已知的立方根是的算术平方根是4．求的平方根． 【答案】 【详解】解：的立方根是， ， 解得． 的算术平方根是4， ， 解得． ． 的平方根为． 题型09.与立方根有关的规律探索题 32．若 ， ，则 _________． 【答案】 【分析】根据立方根的小数点移动规律，被开立方的数的小数点向左移动3位，立方根的小数点相应向左移动1位，即可求解． 【详解】解：∵变为小数点向左移动了3位， ∴的立方根向左移动1位得到的立方根， ． 33．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 34．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 题型10.立方根的实际应用 35．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 【答案】486 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为， ∴第二个水箱的表面积为． 36．小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 37．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 题型11.算术平方根和立方根的综合应用 38．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5 ∴ ∴①+②： ∴=16 ∴的平方根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根． 39．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 40．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 题型12.无理数与无理数大小估算 41．在下列实数，，，，，，0.030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0）中，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先化简所有可化简的数，再根据“无限不循环小数是无理数”的定义判断个数即可． 【详解】解：，，二者都是整数，属于有理数； 是分数，是有限小数，都属于有理数； 符合无理数定义的数为：，，（每相邻两个之间依次多一个），共个． 无理数的个数为． 42．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】先使用夹逼法估算无理数的大小，再利用不等式性质得到的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 将不等式三边同时加1得： ， 即， 因此的值在3和4之间． 43．在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 【答案】2 【分析】先将各数化简，再根据负无理数的定义逐一判断，统计得到负无理数的个数． 【详解】解：是负无理数，是正有理数，是负有理数，是负无理数，是正有理数， 因此负无理数共有个． 44．若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∴正整数m的值有10，11，12，13，14，15共6个． 45．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1)；；不存在； (2)；；或． 【分析】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 题型13.无理数整数部分的有关计算 46．的整数部分为________． 【答案】6 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的整数部分为6． 47．对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据根整数的定义，首先求出根整数为的最大整数为，再求出根整数为的最大整数，即为所求的的最大值． 【详解】解：，， 根整数为的最大整数是， ，， 根整数为的最大整数是， 连续求两次根整数后的结果为的最大整数为． 48．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 49．已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义求出，再估算得到； （2）将a，b，c的值代入代数式计算结果，再求结果的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得． ∵是的立方根， ∴． ∵， ∴， ∴的整数部分； （2）解：将代入得： ， ∴的平方根为． 题型14.实数的分类与性质 50．在实数，，，，，，，，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），先将题目中能化简的数化简，再逐一判断，统计无理数的个数即可． 【详解】解：首先化简题目中的各数，，， 根据有理数的定义，整数和分数统称有理数，有限小数也属于有理数， 是分数，属于有理数； ，，是整数，属于有理数，是有限小数，属于有理数， 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数； 中是无理数，因此是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数共有个． 51．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、实数的性质、立方根的意义等知识点，难度不大，熟记各相关知识点是解题的关键． 原式各项利用算术平方根、实数的性质、立方根的意义进行计算得到结果，即可进行判断． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误． 故选：C． 52．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 53．实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． 题型15.实数与数轴 54．已知，将实数a，表示的点在数轴上标出，如图所示，则实数a可能是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数轴，倒数，实数的大小比较进行求解即可． 【详解】解：由题意及数轴，得 ， ∴， A． ，不符合题意； B． ，符合题意； C．，不符合题意； D． ，不符合题意． 55．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴化简代数式，熟练掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键． 根据数轴得到，得出，，，继而得到算术平方根，绝对值进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ，，， ． 56．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义可得，、、的取值范围，分别判断各选项是否正确． 【详解】解：由题干可知，，，， ∴，A错误； ，B错误； ，C正确；，D错误． 题型16.实数的大小比较 57．下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 即比小的数是． 58．比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】先通过被开方数的大小关系判断无理数的大小，再根据实数的大小比较法则比较即可求解． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 即， ． 59．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 题型17.实数的混合运算 60．计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了负整数指数幂、实数加减法，熟练掌握相应的运算规则是解题的关键； 先计算负整数指数幂，最后进行实数加减运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 61．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A计算错误． ，B计算正确． ，C计算错误． ，D计算错误． 62．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型18.程序设计与实数运算 63．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 【答案】 【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． 【详解】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得，是无理数，所以输出的数为． 故答案为：． 64．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 65．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)输入的数据可能是负数，理由见解析 (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 题型19.新定义下的实数运算 66．现规定一种运算：，当时，的算术平方根为__________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，代入得到关于b的一元一次方程，解方程求出b，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据规定的运算，当时，， 整理得， 解得， 则的算术平方根为． 67．定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，则有，，，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：，，， ，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ，，，， ，， ，故A，B，C选项错误，D选项正确． 68．规定、、、之间的运算：，如． (1)解方程：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题目给出的运算规则将问题转化为一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）先根据题目给出的运算规则将问题转化为二元一次方程组，解二元一次方程组，再将解代入所求代数式即可． 【详解】（1）解：根据运算规则，原方程可化为：， 展开整理得：， 即， 解得； （2）解：根据运算规则，可得方程组：， ，得， ，得， ，得，解得， 把代入，得， 解得， ． 题型20.与实数运算相关的规律题 69．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 70．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意依次计算出，，，，，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， 同理可得，，，， ∴线段， ∴． 71．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：由题目中的例子可知， 第6个等式为：； （2）解：； ； ； …… 用n（n为正整数）表示的等式为：． （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $