专题02一元一次不等式与不等式组期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题02一元一次不等式与不等式组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握不等式相关概念、不等式的五条基本性质，区分等式与不等式性质差异。 2.理解一元一次不等式定义，熟练掌握解一元一次不等式步骤，会在数轴表示解集。 3.掌握一元一次不等式组的定义、解集含义，会利用数轴确定不等式组解集。 4.掌握含参数不等式、不等式整数解题型解题思路。 5.能提炼实际问题不等关系，列不等式（组）解决应用题。 1.灵活运用不等式性质变形，重点注意系数化为 1 时负系数变号。 2.规范求解一元一次不等式、不等式组，准确画数轴标注解集。 3.根据整数解个数反向确定参数取值范围。 4.从实际情境找不等关键词（至少、至多、不低于、不足），列式求解实际应用。 1.选填：不等式性质辨析、解集判断、简单整数解计算不失分。 2.基础解答：规范解不等式（组）并在数轴表示解集。 3.中档题：根据整数解数量求字母参数取值。 4.压轴应用题：方案选择类不等式实际问题。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04.一元一次不等式的定义 题型05.求不等式的解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.解|x|a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.用不等式解决实际问题 题型12.用不等式解决几何问题 题型13.不等式组的定义 题型14.求不等组的解集 题型15.求不等式组的整数解 题型16.由不等式组解集求参数 题型17.由不等式组解集的情况求参数 题型18.不等式组和方程组结合的问题 题型19.列一元一次不等式组 题型20.不等式组的应用 知识点01:不等式相关概念 1.不等式：用 ＞、＜、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 2.不等式的解：能使不等式成立的单个未知数取值（有限或无限个）。 3.不等式的解集：所有解的全体，是取值范围；解是具体数值，解集是集合。 4.解不等式：求解集的变形过程。 5.解集数轴画法细则 ①＞、＜：空心圆圈，不含该点；≥、≤：实心圆点，包含该数； ②大于向右画线，小于向左画线。 知识点02:不等式三条基本性质（必考重难点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 补充：不等式不能随意同时乘 0，乘 0 后变成等式。 知识点03:一元一次不等式 1. 定义三要素 ①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③左右两边都是整式 标准形式：ax+b＞0、ax+b＜0(a0) 2. 解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） ✅重中之重：五步全程只有系数化为 1 时，负数系数才变号，其余步骤一律不改动不等号！ 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 最终要求：解集必须规范画数轴：不含等号空心圈、含等号实心点，大于向右、小于向左。 知识点04:一元一次不等式组 1. 定义：含有相同未知数的几个一元一次不等式联立。 2. 解集定义：各个不等式解集的公共重叠部分，无公共区域则不等式组无解。 3. 四大解集模型（a<b固定） 4. 解不等式组固定步骤 ①分别求解每一个不等式解集；②在同一数轴画出两个解集；③找公共部分写答案。 知识点05:含参数不等式（组）（本章难点，期末高频） 类型 1：不等式组有解 / 无解，求参数范围 解题思路：先化简解集，对照四种口诀，临界端点单独验证能不能取等号。 类型 2：已知整数解个数，求参数取值 步骤：①正常解不等式；②在数轴标出解集，圈出已知整数；③确定左右临界点；④检验端点能否取等于。 易错：等号取舍是出题陷阱。 类型 3：不等式解集相同，求参数 两个不等式化简后对应系数相等，列等式求字母。 知识点06:一元一次不等式实际应用题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。. 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 题型01.不等式的定义 1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 3．数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型02.不等式的解集 4．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 5．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 6．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 题型03.不等式的性质 7．已知：，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 9．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型04.一元一次不等式的定义 10．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 11．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是______． 12．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型05.求不等式的解集 13．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 14．定义一种运算，则不等式的解集是______． 15．已知不等式的解集是，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 16．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06.求不等式的整数解 17．不等式的最大整数解是______． 18．已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 19．不等式的负整数解的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 20．解不等式：，并写出它的所有正整数解． 题型07.数轴上表示不等式解集 21．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：．已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是_____． 22．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 23．不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 24．解不等式，并把解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) 题型08.求一元一次不等式解的最值 25．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是______． 26．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 27．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 28．约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 题型09.解|x|a型的不等式 29．不等式的解为_____． 30．若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．解下列不等式： （1） （2） 题型10.列一元一次不等式 32．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 33．学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元．辞典每本40元，现已购买名著20套，设购买辞典本，根据题意，可列出关于的不等式为______． 34．用适当的不等式表示下列数量关系： (1)x与的和大于2； (2)x的2倍与5的差是负数； (3)x的与的和是非负数； (4)y的3倍与9的差不大于． 题型11.用不等式解决实际问题 35．甜甜计划购买2支钢笔和若干本笔记本，文具店钢笔的售价是15元/支，笔记本的售价是4元/本，甜甜有65元钱，则她最多能购买_______本笔记本． 36．嘉嘉用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本5元，每支圆珠笔2元，下列说法错误的是（   ） A．设购买圆珠笔x支，依题意得 B．设购买笔记本x本，依题意得 C．圆珠笔的数量可以是17支 D．笔记本的数量可以是14本 37．为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，某校组织学生参加劳动实践，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植亩甲作物需要名学生，种植亩乙作物需要名学生，若种植甲、乙两种作物共亩，所需学生人数不超过人，则至少种植甲作物多少亩? 题型12.用不等式解决几何问题 38．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 39．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 40．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 题型13.不等式组的定义 41．限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 42．下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 43．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 题型14.求不等组的解集 44．不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 45．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 46．已知实数m，n满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 47．解不等式组：，并求它的最小整数解． 题型15.求不等式组的整数解 48．写出满足不等式组的所有整数解的和_____ ． 49．不等式组的所有整数解的和为______． 50．已知关于、的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 51．解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的最大整数解为________． 题型16.由不等式组解集求参数 52．已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 53．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：_____． 54．关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 55．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 题型17.由不等式组解集的情况求参数 56．若关于的不等式组无解，则的取值范围为___． 57．如图为关于x的不等式组，的解集在数轴上的表示，则a的取值范围是______． 58．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 59．已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 题型18.不等式组和方程组结合的问题 60．若方程组的解满足，则k取值范围是______． 61．若，且，，设，则m的取值范围为________． 62．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 63．按要求完成各题： (1)解不等式组：． (2)已知，求的取值范围． 题型19.列一元一次不等式组 64．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 65．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 66．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 题型20.不等式组的应用 67．某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍．已知购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元；购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元．销售一件款蒙古袍可获利元，销售一件款蒙古袍可获利元． (1)两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进款蒙古袍的数量是款蒙古袍数量的倍还多件，要使在这次销售中获利不少于元，且款蒙古袍不多于件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 68．电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 69．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 70．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 71．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元一次不等式与不等式组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握不等式相关概念、不等式的五条基本性质，区分等式与不等式性质差异。 2.理解一元一次不等式定义，熟练掌握解一元一次不等式步骤，会在数轴表示解集。 3.掌握一元一次不等式组的定义、解集含义，会利用数轴确定不等式组解集。 4.掌握含参数不等式、不等式整数解题型解题思路。 5.能提炼实际问题不等关系，列不等式（组）解决应用题。 1.灵活运用不等式性质变形，重点注意系数化为 1 时负系数变号。 2.规范求解一元一次不等式、不等式组，准确画数轴标注解集。 3.根据整数解个数反向确定参数取值范围。 4.从实际情境找不等关键词（至少、至多、不低于、不足），列式求解实际应用。 1.选填：不等式性质辨析、解集判断、简单整数解计算不失分。 2.基础解答：规范解不等式（组）并在数轴表示解集。 3.中档题：根据整数解数量求字母参数取值。 4.压轴应用题：方案选择类不等式实际问题。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04.一元一次不等式的定义 题型05.求不等式的解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.解|x|a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.用不等式解决实际问题 题型12.用不等式解决几何问题 题型13.不等式组的定义 题型14.求不等组的解集 题型15.求不等式组的整数解 题型16.由不等式组解集求参数 题型17.由不等式组解集的情况求参数 题型18.不等式组和方程组结合的问题 题型19.列一元一次不等式组 题型20.不等式组的应用 知识点01:不等式相关概念 1.不等式：用 ＞、＜、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 2.不等式的解：能使不等式成立的单个未知数取值（有限或无限个）。 3.不等式的解集：所有解的全体，是取值范围；解是具体数值，解集是集合。 4.解不等式：求解集的变形过程。 5.解集数轴画法细则 ①＞、＜：空心圆圈，不含该点；≥、≤：实心圆点，包含该数； ②大于向右画线，小于向左画线。 知识点02:不等式三条基本性质（必考重难点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 补充：不等式不能随意同时乘 0，乘 0 后变成等式。 知识点03:一元一次不等式 1. 定义三要素 ①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③左右两边都是整式 标准形式：ax+b＞0、ax+b＜0(a0) 2. 解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） ✅重中之重：五步全程只有系数化为 1 时，负数系数才变号，其余步骤一律不改动不等号！ 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 最终要求：解集必须规范画数轴：不含等号空心圈、含等号实心点，大于向右、小于向左。 知识点04:一元一次不等式组 1. 定义：含有相同未知数的几个一元一次不等式联立。 2. 解集定义：各个不等式解集的公共重叠部分，无公共区域则不等式组无解。 3. 四大解集模型（a<b固定） 4. 解不等式组固定步骤 ①分别求解每一个不等式解集；②在同一数轴画出两个解集；③找公共部分写答案。 知识点05:含参数不等式（组）（本章难点，期末高频） 类型 1：不等式组有解 / 无解，求参数范围 解题思路：先化简解集，对照四种口诀，临界端点单独验证能不能取等号。 类型 2：已知整数解个数，求参数取值 步骤：①正常解不等式；②在数轴标出解集，圈出已知整数；③确定左右临界点；④检验端点能否取等于。 易错：等号取舍是出题陷阱。 类型 3：不等式解集相同，求参数 两个不等式化简后对应系数相等，列等式求字母。 知识点06:一元一次不等式实际应用题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。. 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 题型01.不等式的定义 1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 2．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 3．数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得． 【详解】解：①，②；⑤都是不等式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键． 题型02.不等式的解集 4．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 5．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 6．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【答案】C 【分析】根据不等式的性质化简求值即可. 【详解】关于的不等式化为， 当时，解集为， 此时点在原点左侧， 故A，B，D选项错误， C选项正确， 故选C． 【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质. 题型03.不等式的性质 7．已知：，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可，不等式两边加(减)同一个数，不等号方向不变，不等式两边乘(除以)同一个正数，不等号方向不变，不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：对选项A，∵，∴，A不成立； 对选项B，∵，∴，可得，B不成立； 对选项C，∵，∴，C不成立； 对选项D，∵，∴，D一定成立． 8．若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据解集的不等号方向变化，判断未知数系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：对于一元一次不等式，两边同时除以后，不等号方向改变，得到解集． 根据不等式的基本性质：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变， 可得， 解得． 9．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先理解题意，结合数轴得出，且，再得出，，，最后与每个选项的式子进行分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴的信息，得出，且， ∴，， ∴ ∴A选项中的是错误的，不符合题意； ∴B选项中的是错误的，不符合题意； ∴C选项中的是错误的，不符合题意； ∴D选项中的是正确的，符合题意； 题型04.一元一次不等式的定义 10．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴， ∴． 11．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是______． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此求解的值即可． 【详解】解：关于的不等式是一元一次不等式， ，且未知数的系数为， 解得：． 12．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得：且，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的解集为， ∴ ，且 ， ∴ ，解得： ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键． 题型05.求不等式的解集 13．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 14．定义一种运算，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则列出正确的一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解： ，， ∴， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得． 15．已知不等式的解集是，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向改变，根据解集的不等号方向判断系数的正负即可求解． 【详解】解：∵ 不等式 的解集是，不等号方向发生改变． ∴ 根据不等式的基本性质，可得系数． 解得． 16．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： (2)， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： (3)， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： (4)， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型06.求不等式的整数解 17．不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【分析】先求解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出最大整数解即可． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解是． 18．已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一，均可） 【分析】先求解不等式得到的解集，再根据不等式的正整数解仅为，确定的取值范围，进而求出符合条件的整数． 【详解】解： 系数化为得： ∵不等式的正整数解是 ∴ ， 不等式两边同乘得：， 则满足条件的整数可以为．(答案不唯一，均可)． 19．不等式的负整数解的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得不等式的解集，然后即可写出它的负整数解． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为，共有4个． 20．解不等式：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，， 【分析】先求出不等式的解集，再在解集中找出所有的正整数解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式的正整数解有、． 题型07.数轴上表示不等式解集 21．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：．已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的理解与运算以及一元一次不等式的求法，正确对应不等式的解集与数轴的关系是解决本题的关键． 由新运算的定义可整理不等式的解集，再根据数轴可知不等式的解集为，继而由解集相等列式求解即可． 【详解】根据新运算的定义，不等式可转化为， 即，解得， 由数轴表示可知，不等式的解集为， 所以，解得． 故答案为：． 22．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为． 23．不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式求得解集，然后再数轴上表示即可． 【详解】解： 3-3x＞2-2x -3x+2x＞2-3 -x＞-1 x＜1 在数轴上表示如图： 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心． 24．解不等式，并把解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【分析】考查一元一次不等式的解法及求一元一次不等式组解集的方法，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及一元一次不等式组解集的求解法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． （1）根据解一元一次不等式的方法步骤求解，并把解集表示在数轴上； （2）根据解一元一次不等式的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上； （3）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上； （4）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； （3）解： 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为； （4）解： 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为． 题型08.求一元一次不等式解的最值 25．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是______． 【答案】0 【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解即可得出． 【详解】∵， ∴ 解得： ∴最大整数解是0． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键． 26．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 【详解】当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 27．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 28．约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)的最小整数值为 【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案； （2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得到，， 故答案为：， （2）由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小整数值为． 【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键． 题型09.解|x|a型的不等式 29．不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 30．若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 31．解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）或；（2） 【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可． 【详解】（1） 当时，则，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，或； （2） 当，即时，，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键． 题型10.列一元一次不等式 32．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 【答案】 【分析】由题意知，小敏投中了个三分球，根据得分不低于70分即可列出不等式． 【详解】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球， 由题意得：． 33．学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元．辞典每本40元，现已购买名著20套，设购买辞典本，根据题意，可列出关于的不等式为______． 【答案】 【分析】分别计算购买名著和辞典的总费用，根据总费用不超过总预算的不等关系列出不等式． 【详解】解：名著每套65元，购买20套名著的总费用为元， 辞典每本40元，购买本辞典的总费用为元， 根据总花费不超过总预算，可得． 34．用适当的不等式表示下列数量关系： (1)x与的和大于2； (2)x的2倍与5的差是负数； (3)x的与的和是非负数； (4)y的3倍与9的差不大于． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据x与的和得出，再根据x与的和大于2得出； （2）先表示出x的2倍为2x，再表示出与5的差为2x﹣5，再根据关键词“是负数”，列出不等式即可； （3）先表示出x的是，与的和为，是非负数得出； （4）先表示出y的3倍是，再表示出与9的差，然后根据不大于即为小于等于，列出不等式即可． 【详解】（1）根据题意得：； （2）由题意得：； （3）根据题意得：； （4）根据题意得：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 题型11.用不等式解决实际问题 35．甜甜计划购买2支钢笔和若干本笔记本，文具店钢笔的售价是15元/支，笔记本的售价是4元/本，甜甜有65元钱，则她最多能购买_______本笔记本． 【答案】 【分析】设可购买笔记本的数量为x，根据总花费不超过65元列出一元一次不等式，求解后根据x为正整数得到x的最大值，即为答案． 【详解】解： 设甜甜能购买本笔记本，为正整数．根据题意得： ， 解得 ， 因为为正整数，所以的最大值为． 即她最多能购买8本笔记本． 36．嘉嘉用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本5元，每支圆珠笔2元，下列说法错误的是（   ） A．设购买圆珠笔x支，依题意得 B．设购买笔记本x本，依题意得 C．圆珠笔的数量可以是17支 D．笔记本的数量可以是14本 【答案】D 【分析】根据所设未知数和总花费不超过100元列出不等式可判断A、B；解B中的不等式，求出笔记本最多购买的数量，进而求出圆珠笔最少购买的数量即可判断C、D． 【详解】解：A、设购买圆珠笔支，则购买笔记本本， ∵总花费不超过100元 ∴，故选项A正确，不符合题意； B、设购买笔记本本，则购买圆珠笔支， ∵总花费不超过100元 ∴，故选项B正确，不符合题意； 解不等式 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得 ∵为非负整数， ∴的最大值为13， ∴笔记本最多购买13本， ∴圆珠笔最少购买支，故C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意． 37．为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，某校组织学生参加劳动实践，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植亩甲作物需要名学生，种植亩乙作物需要名学生，若种植甲、乙两种作物共亩，所需学生人数不超过人，则至少种植甲作物多少亩? 【答案】亩 【分析】设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，根据所需学生人数不超过人列出不等式，进而确定满足条件的的值． 【详解】解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩， 根据题意得：，     解得：， 的最小值为． 答：至少种植甲作物亩． 题型12.用不等式解决几何问题 38．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 39．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 40．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【详解】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 题型13.不等式组的定义 41．限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式组的应用，根据实际意义列出不等式组即可． 【详解】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为， 故选：D． 42．下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项． 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意． B、为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意． C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． 故选：A． 43．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 题型14.求不等组的解集 44．不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此原不等式组的解集为． 45．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，再根据所给解集结合“同小取小”，可得的取值范围. 【详解】解： 解①得：； 解②得：； ∵不等式组的解集为， ． 46．已知实数m，n满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式得到与的关系，代入不等式求出和的范围，再计算各选项代数式的范围，判断错误选项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 将代入不等式得，解得，故A正确； ∵ ，， ∴，不等式两边同加得，即，故B正确； 对于选项C，， ∵， ∴，不等式两边同加得，即，故C正确； 对于选项D，， ∵，不等式两边同乘，不等号方向改变得， 不等式两边同减得，即，与选项D的范围不符，故D错误． 47．解不等式组：，并求它的最小整数解． 【答案】原不等式组的解集为，最小整数解为． 【详解】解：， 由不等式①得， 由不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴该不等式组的最小整数解为． 题型15.求不等式组的整数解 48．写出满足不等式组的所有整数解的和_____ ． 【答案】2 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，先解出不等式组的解集，再找出解集内的所有整数解，计算其和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，即， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有整数解为， 所有整数解的和为：． 49．不等式组的所有整数解的和为______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，找出不等式组的所有整数解，再计算所有整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①，去括号得 ， 移项合并同类项得 ， 系数化为得， 解不等式②，去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为， 所有整数解的和为． 50．已知关于、的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】解方程组可得，由方程组的解为整数得或或，即得，，，，，，解不等式组得，由不等式组有且只有个整数解得到，即得到，进而即可求解． 【详解】解：， 由②，得， 把③代入①，得， ∴， ∵方程组的解为整数， ∴或或， ∴，，，，，， ， 解不等式④，得， 解不等式⑤，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∵，，，，，， ∴满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的和为． 51．解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的最大整数解为________． 【答案】 ；；； 【分析】先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找到最大整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 原不等式组的最大整数解为． 题型16.由不等式组解集求参数 52．已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到和的值，最后计算即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集是， ，， 解得， ． 53．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：_____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定的取值范围，在取值范围内任取一个值即可. 【详解】解：不等式组的解集为，根据同大取大的原则，可得， 取，满足题意． 54．关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．先表示出方程的解，由方程的解为非负整数且不等式组无解，确定出k的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负整数， ∴0，即， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， ∴，即整数， 当时，，不是整数； 当时，，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去； 综上，， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：． 55．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 题型17.由不等式组解集的情况求参数 56．若关于的不等式组无解，则的取值范围为___． 【答案】 【分析】先求解第一个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的判定规律“大大小小解不了”，即可确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∴原不等式组化为， 不等式组无解，符合“大大小小解不了”的规律， ． 57．如图为关于x的不等式组，的解集在数轴上的表示，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组，得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为 58．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得， 不等式组无解，即两个不等式的解集没有公共部分 ， ， 解得． 59．已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)；正整数解为1 (2) 【分析】（1）先把代入原不等式组，再分别解出每个不等式，最后求出不等式组的解集，即可得出正整数解为1； （2）分别解出每个不等式，求出不等式组的解集，为，再根据该不等式组只有3个整数解，可确定其整数解为1，0，，从而得到关于的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，则不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为 即正整数解为1． （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 该不等式组只有3个整数解， 该不等式组的3个整数解为，0，1， ， 解得． 题型18.不等式组和方程组结合的问题 60．若方程组的解满足，则k取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题目中的方程组的特点，可以得到x+y的值，然后根据0≤x+y＜1，即可求得k的取值范围． 【详解】解：， ①+②，得5x+5y=k+4， ∴x+y=， ∵0≤x+y＜1， ∴0≤＜1， 解得，-4≤k＜1， 故答案为：-4≤k＜1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的取值范围． 61．若，且，，设，则m的取值范围为________． 【答案】/ 【分析】先求出，再由，求出，求出，进而求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确根据题意求出x的取值范围是解题的关键． 62．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 63．按要求完成各题： (1)解不等式组：． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分别解两个不等式，综合即可求得不等式组无解． （2）对方程可变形为，分别代入两个不等式中，分别求解后，综合答案即可． 【详解】（1）解：解不等式， 解得：； 解不等式：， 解得：； 故不等式组无解． （2）解：对方程去分母，即， 整理得：， 解不等式， 整理得：， 将代入上式，即， 解得：， 解不等式， 整理得：， 将代入上式，即， 解得：， 综上可得，的取值范围为． 题型19.列一元一次不等式组 64．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 65．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 66．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 题型20.不等式组的应用 67．某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍．已知购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元；购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元．销售一件款蒙古袍可获利元，销售一件款蒙古袍可获利元． (1)两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进款蒙古袍的数量是款蒙古袍数量的倍还多件，要使在这次销售中获利不少于元，且款蒙古袍不多于件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元； (2)有三种进货方案：款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件． 【分析】设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元，由题意得，然后解方程组即可； 设款蒙古袍购进件，则款蒙古袍购进件，由题意得，然后解不等式组并求出整数解即可． 【详解】（1）解：设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元， 由题意得， 解得， 答：款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元； （2）解：设款蒙古袍购进件，则款蒙古袍购进件， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴或或， 当时，，当时，，当时，， ∴有三种进货方案：款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件． 68．电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：52个，B种娃娃148个． 69．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 70．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 71．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)4台 (3)甲型设备5台，乙型设备5台 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元”，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （3）根据题意，得出，结合（2）的结论得出，进而取整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． （3）根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $