专题01三角形的证明及其应用（期末真题汇编，陕西专用）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 初中数学期末试题汇编，聚焦三角形内角和、等腰三角形等6个核心考点，涵盖选择、填空、解答题，注重几何推理与实际应用，如“倍长中线法”辅助线、公园空地分割等情境设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约10题|三角形内角和（多边形内角和计算）、等腰三角形（折叠与动点问题）|基础题占比60%，如多边形边数计算| |填空|约8题|直角三角形（勾股定理应用）、角平分线（距离问题）|结合陕西多地期末真题，如西安期末等腰三角形周长题| |解答|约15题|线段垂直平分线（尺规作图）、问题解决（公园规划面积最值）|综合题占比40%，如“倍长中线法”探究、动点等腰直角三角形存在性分析|

专题01 整式的乘除 高频考点概览 考点01三角形内角和定理 考点02 等腰三角形 考点03 直角三角形 考点04 线段的垂直平分线 考点05 角平分线 考点06 问题解决与策略：反思 ( 考点01 三角形内角和定理 ) 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和为是解题的关键． 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 ， 解得：， 则这个多边形是六边形． 故选：C． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 【答案】18 【分析】从边形的一个顶点出发有条对角线． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵从正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴， 解得， ∴该正多边形的边数是18． 3．（14-15八年级·江西·阶段检测）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在与中，点B在上，点A在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在与中，，，，则的度数为________． 【答案】/62度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和等边对等角，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据题意可得，进而证明，则，可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，且， ， 又，， ， ， ． ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若三个角的大小满足，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角度比设未知数，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设，，，由三角形内角和定理得 ，即， 解得， 所以． 故答案为． 7．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，证，求得的长，证得为线段的垂直平分线即可解答； （3）如图，延长至点，使，连接，先证，得，，再根据平行线的性质得，再证即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的中点， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ； （3）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ( 考点02 等腰三角形 ) 1．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 根据题意得出为等腰三角形，假设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，点为线段的中点，且， ∴，为等腰三角形， ∴， 假设，则， 根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据可证明，得，，再证明是等边三角形，得，再由，，，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故答案为：． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，于E，延长到D，使，连接，若的周长是24，，则的周长是________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键． 先根据题意判断出是等边三角形，由可知点E是线段的中点，故可得出的长，，由勾股定理求出，再根据三角形外角的性质结合等腰三角形的性质求出，推出，进而得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点是线段的中点，， ∵的周长是24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质．过点A作于点H，根据题意求得，得到是等腰三角形的中线，得到，根据，当共线时，有最小值，得到，根据等面积法求出的长． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴点C关于的对称为点A， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴则的最小值为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（   ） A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，角直角三角形的性质等知识点． 由即可得到点在线段的垂直平分线上，即可判断A；可得，，再由等边对等角以及三角形的外角性质判断B；当为中点时，则，可得是线段的垂直平分线，则，而，，，则，即可判断C；连接，并延长交于，根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，而是等边三角形，可得，由直角三角形的性质得到，那么，则，，即可判断D． 【详解】解：∵， 点在线段的垂直平分线上， 即的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选项B错误，符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 连接，并延长交于，如图2所示：      当为中点时， 点为的中点， 根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，是等边三角形， ，，平分，平分， ， ， 在中，， ， ， ，， ∴ ∴，故D正确，不符合题意， 故选：B． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【答案】或． 【分析】先确定是等腰三角形，得出，由于不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，需分三种情况，分别利用角的关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，， ∴， ①如图1：当时，， 由，得，解得：． ∴． ②如图2：当时，则． 由得：，解得x＝37．5°， ∴． ③当时，则， 由得，，此方程无解． ∴不成立． 综上所述，或． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论求出点的坐标． 【详解】解：点是直线上的动点， 设点的坐标为， 则，， 如下图所示， 当，时， ， 可得：或， 由，可得：， 即点的坐标为， 由，可得：， ， 即点的坐标为； 如下图所示， 当，时， 过点作， 则，， ， 整理可得：或(无解，舍去)， 由，可得， ， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点是直角边上的一点，连接，以为边向上作等边，延长到点，使，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先证明是等腰三角形，再证明即可求证； （）证明即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴垂直平分， ∴， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 11．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，的延长线交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，由余角性质和等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 12．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 13．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，，且，使点，，在同一直线上． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，关键是通过角的等量代换证明三角形全等，再结合角度和面积条件推导相关线段长度求解面积． （1）利用进行角的和差变形，得到，再结合、，根据判定定理证明，由全等三角形的对应边相等证得； （2）由全等三角形的对应角相等结合对顶角相等，推出，利用的面积公式求出的长度，结合求出的长度，再根据等腰直角三角形的性质求出的长度，最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，设与交于点， 由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·陕西安康·期末）在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． ( 考点03 直角三角形 ) 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点B′处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，结合将沿折叠，使点B落在边上的点处，故得． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在边上的点处， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的三边分别为，下列选项中的条件能判定直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理； 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐一判断每个选项即可，选项A、B、C均不满足直角三角形判定条件，选项D满足勾股定理的逆定理． 【详解】解：A、∵，，， ∴，， ∵， ∴ 不能判定直角三角形； B、∵，设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，, 无角， ∴ 不能判定直角三角形； C、∵， ∴，， ∵， ∴不满足勾股定理的逆定理， ∴不能判定直角三角形； D、， ∴，， ∵， ∴能判定直角三角形； 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）．设点的运动时间为秒． (1)求的面积； (2)在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请求的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，点坐标为或． 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值；进而求出、坐标，再利用三角形面积公式计算即可； （2）先证明，得出为等腰三角形，再分当和两种情况利用勾股定理分别求出长，进而列方程求出对应的的值，再根据点E的运动速度和方向求出点E表示的数即可． 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 【详解】（1）解：当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 把点代入函数，得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ ； （2）存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）． ∴当时，点表示的数为，； 当时，点表示的数为， 综上，当或时，为直角三角形；或． ( 考点04 线段的垂直平分线 )1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，交于点F．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等角对等边，先证是等边三角形，得，，由得 ，证是等边三角形即可解答． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在中，垂直平分，若，则的周长等于（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题重点考查了线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．由垂直平分线的性质定理，得到，的周长为，等量代换其周长为，进而完成求解． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，点在边上，且的垂直平分线经过点，点在边上，且，连接，且，延长交的延长线于点，已知，则的长为__________． 【答案】1 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线． 连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再证明，结合垂直平分的性质，进而求出的长度． 【详解】解：连接，如图， 点在的垂直平分线上， ， ， ，， 点是中点， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的崔嵬作图，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的尺规作图步骤作的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点即为所求， 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是垂直平分线上的一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先由线段垂直平分线的性质得到，然后证明即可； （2）连接，先证明，则设，则，那么，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵点是垂直平分线上的一点， ∴ ∵，，， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，，， ∴ ∴， 设， 则， ∴， 解得，即． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，垂直平分线的性质可得，进而得到；根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，即可证明结论； （2）由线段的和差可得，．设，则．由勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，． 设，则． 在中，根据勾股定理得：． 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 7．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而可得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分，， ． 在中，，，， ， ，即． （2）解：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ． 即的长为． ( 考点05 角平分线 ) 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数． 【详解】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查垂线段的性质，角平分线的性质定理．由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， 平分，， ， 的最小值为4， 故选A． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，于点，点是外一点，且平分．若，，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，再由可得答案．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，平分，线段垂直平分，交于点M，交于点O．若，，则点O到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点N，得，， 继而得到，利用勾股定理，角的平分线性质定理是解题的关键． 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，角的平分线性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：过点O作于点N， ∵线段垂直平分，交于点M，交于点O，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若的面积为4，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 平分，， ， 的面积为， ， 点为的中点， ． 故选：D． 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，的平分线和的平分线交于点O，于点D，若的周长为10，，则的面积为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是把问题转化为．根据题意得到点到三条边的距离都等于，由三角形面积公式可得，结合的周长为10，即可求解． 【详解】解：在中，的平分线和的平分线交于点O， ∴点到三条边的距离相等， ∵， ∴点到三条边的距离都等于， ∵的周长为10，即， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，，是的中线，是的角平分线，与交于点，则的面积为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，含角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，求得，过作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的中线，， ∴， 过点作于，过点作于， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为______． 【答案】 【分析】利用角平分线、垂直的性质以及平行线的性质，得出线段相等关系，进而将的周长转化为的长度．本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，平分， ∴，， ∵， ∴（） ∴，． 的周长为 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点，若，则下列结论错误的是（    ）      A． B．的值不变 C．的长不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【分析】由角平分线的性质，可得，由四边形的内角和，结合同角的补角相等，可得，证明，可得，，，可判断A、B、D选项，结合在绕点旋转的过程中，、的长度是变化的，可判断C选项． 【详解】解：∵点为平分线上的一个定点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，四边形的面积不变， ∴的值不变， ∴选项A、B、D结论正确，不符合题意； 在在绕点旋转的过程中，， ∵、的长度是变化的， ∴的长度是变化的， ∴选项C结论错误，符合题意． 故选：C． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知，如图，．用尺规作图在三角形内部求作点，使得，且点到，的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图作一条线段的垂直平分线、尺规作图作过一点作已知直线的垂线，利用尺规作图作的平分线，过点作交射线于点，根据直角三角形的两个锐角互余可知，点即为所求． 【详解】解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧交于点，画射线， 则是的平分线， 射线上任意一点到、的距离相等， 以点为圆心任意长度为半径画弧，交于点、， 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点， 作射线交于，则， ， ， ， ， ， 射线与射线交于点， 点即为所求． ( 考点0 6 问题解决与策略：反思 ) 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）问题提出：（1）如图①，在中，，则点到边的最短距离是_____； 问题探究：（2）如图②，在中，，是的角平分线，与相交于点，点在边上，点在边上，分别连接、，且，求四边形的面积； 问题解决：（3）王叔叔门前有一块空地，他计划开垦一个四边形菜地种植黄瓜和南瓜，如图③，按照王叔叔的设想，和是两条小路，长为12米，他计划在内种植黄瓜，在内种植南瓜，若要使种植南瓜的区域面积尽可能大，王叔叔的设想能否实现？若能，请你求出区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）． 【答案】（1）4；（2）；（3）王叔叔的设想能实现，区域面积的最大值为平方米． 【分析】（1）过点作于点H，则线段的长度即为点到边的最短距离，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可； （2）过点作于点，于点，证明，，则，，再求出，即可求出答案； （3）延长到点，使得，连接，过点作于点，证明，得到米，，再证明是等边三角形，则米，得到米，设米，则米， 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理分别得到米，米，利用三角形面积公式和完全平方公式得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点H，则线段的长度即为点到边的最短距离， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 即点到边的最短距离是4， 故答案为：4 （2）解：过点作于点，于点，则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积； （3）如图，延长到点，使得，连接，过点作于点， ∵ ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴米， ∴ ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， 设米，则米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值为， 即当米时，区域面积取得最大值为平方米， ∴王叔叔的设想能实现，区域面积的最大值为平方米． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图①，在中，，，点D在下方，满足，．连接交于点E． 【问题感知】 （1）的度数为________； 【问题探究】 （2）求证：； 【问题解决】 （3）如图②，点F是边上的中点，连接交于点M，当时，求和的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先由三角形内角和定理和等边对等角求出，再由角度和差计算求解即可； （2）过点作于点H，由三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，则，即可证明，再根据全等三角形的性质以及线段和差计算即可证明； （3）先证明，即可得到；过点作于点，由（2）得，，设，则，则，，则，然后对运用勾股定理得到，解得（舍负），然后求出，则，则，可求，再根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）如图①，过点作于点H，则， ∵， ∴， ∵, ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵点F是边上的中点， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴； 过点作于点， 由（2）得，， 设，则， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍负）， ∴． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图，一次函数与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则的面积为______； 【解决问题】 (2)如图，是某植物园的花卉培育基地示意图，和是两条小路，和的交点处有一口水井，是一条水渠（点在上），区域是水培植物试验区．已知，于点，点是的中点，且．现以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系（图中个单位长度表示），得到边所在直线的函数表达式为，点的坐标为．（小路和水渠的宽度以及水井的大小均忽略不计） ①求小路所在直线的函数表达式； ②求水培植物试验区的面积（即的面积）． 【答案】(1)； (2)①小路所在直线的函数表达式为； ②水培植物试验区的面积为 【分析】本题是考查一次函数与等腰三角形、全等三角形结合的几何综合题．熟悉一次函数的主要性质和根据坐标求函数解析式的方法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据一次函数的表达式得到一次函数与轴和轴的交点坐标，得到线段，的长度，进而得到的面积． （2）①根据所在直线的函数表达式为，得到，，，根据，结合勾股定理得到，继而根据待定系数法得到所在直线的函数表达式． ②根据所在直线的函数表达式得到，过点作于点，证明，得到，进而得到，，进而得到的面积． 【详解】（1）解： 一次函数表达式为， 当时，， 当时, 即，解得， 点，， ，， ， 故答案为：； （2）解：①所在直线的函数表达式为， 当时，， 当时，即， 解得：， 点，, ，， 把点代入，得：， 解得：， 点, 设点（），则有， ，， ， ， 解得：，经检验，是原方程的解，符合题意， 点， 设小路所在直线的函数表达式为，代入点，，得： ， 解得：， 小路所在直线的函数表达式为； ②所在直线的函数表达式为， 当时，， 点， ， 如图，过点作于点， ，， 又，点是的中点， 是的角平分线， , 在和中， ， ， ， ， ， ． 答：水培植物试验区的面积为． 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 整式的乘除 ☆高频考点概览 考点01三角形纳角和定理 考点02等腰三角形 考点03直角三角形 考点04线段的垂直平分线 考点05角平分线 考点06问题解决与策略：反思 目目 考点01 三角形内角和定理 1.(24-25八年级下陕西榆林期末)一个多边形的内角和是720°，则这个多边形是() A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.（23-24七年级上陕西西安期末)从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是 3.(14-15八年级·江西·阶段检测)若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为 度 4.(24-25八年级上陕西榆林期末)如图，在ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且 ∠F=30°，LE=45°，LD=90°，则∠ABF的度数为() E 45° A.30° B.15 C.60° D.25 5.(25-26八年级上陕西安康期末)如图，在ABC与ADE中，∠ACB=∠AED=90°， ∠CAE=∠BAD=56°，BC=DE,则∠ABD的度数为 6.(25-26八年级上陕西西安期末)若ABC三个角的大小满足∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A的度数为 1/14 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(25-26七年级上陕西汉中期末)【问题提出】 (1)如图1，从五边形ABCDE的顶点A出发，一共可以画 条对角线，将五边形分成个三角 形： 【问题探究】 (2)如图2，点O在直线AC上，OB、OE是直线AC上方的两条射线，OE在OB的左侧，OD平分 ∠BOC,∠AOE=2∠B0E,若∠D0E=70°，求∠BOE的度数： 【问题解决】 (3)如图3，六边形A0BCDE是某公园的一块空地，∠A0B=120°，公园规划人员为美化公园环境，沿 OC、OD、OE铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若∠BOE=3∠AOE,OC平 分∠BOD,且∠AOC=2LDOE.求小路OE与小路OC的夹角（即∠COE)的度数. 图1 图2 图3 8. (25-26八年级上·陕西西安·期末)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何 问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三 角形，把分散的己知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决 问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” D G B D C B F C 图1 图2 图3 (I)【问题解决】如图1，在ABC中，AB=6,AC=10,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范 围.小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长AD至点E,使DE=AD,连接BE), 请结合小明做的辅助线，直接写出AD的取值范围； (2)【类比运用】如图2，LABD=LECD=∠ADE=90°，点D为BC的中点，AB=8,CE=20,求AE的 长 (3)【拓展探究】如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB=LCAE=90°，AB=AD,AC=AE.连接DE, BC,点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.若AF=2,DG=3,请直接写出GE的长度， 2/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 等腰三角形 1. (25-26八年级上陕西汉中期末)如图，有一条橡皮筋放置在直线1上，固定两端A和B,然后把中点 C竖直向上拉升8cm至点D,若此时橡皮筋的长度比原长伸长了4cm,则橡皮筋原长AB是() D B A.29cm B.30cm C.31cm D.32cm 2.(25-26八年级上·陕西西安期末)如图，在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点D,过点D作 EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,若AB=6,AC=4,BC=8,则△AEF的周长是 B 3.(25-26八年级上陕西榆林期末)如图，ABC是等边三角形，E、D分别为边AB,AC上的动点，且 AE=CD,连接BD,CE交于点G,点F为线段BD上一点，连接EF,∠EFG=60°.当BF+DG=5时， 线段CG的长为 4.(25-26八年级上·陕西西安期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC为等腰三角形，AB=AC, BC∥x轴，若A(2,4),B(-1,1,则点C的坐标为· 5.(24-25八年级上·陕西西安·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠A=60°，BE⊥AC于E,延长BC 到D,使CD=CE,连接DE,若ABC的周长是24，BE=a,则BDE的周长是 3/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 6.(23-24七年级下·陕西汉中期末)如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC=10,AD=6,BD平分 ∠ABC,且BD=8,若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 7.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB,BD与CE交于点 O,且BE=CD=DE.下列说法错误的是() D A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC=4∠ABD C.当E为AB中点时，ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时，S。ABc=3S.BoC 8.(25-26八年级上·陕西西安期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，点E、F分别是边AB、AC上的动 点，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形， 那么∠B= C 折叠 9.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直x轴于点 N,点P是y轴上的动点，当以M,N,P为顶点的三角形为等腰直角三角形时点M的坐标为 4/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 /y=2x+3 M NO 10.(24-25八年级下·陕西榆林期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是直角边 AC上的一点，连接BD,以BD为边向上作等边BDE,延长BC到点F,使FC=BC,连接AF,FE. (1)求证：△ABF为等边三角形： (2)求∠BFE的度数. 11.(24-25八年级下·陕西榆林期末)如图，在ABC中，AB=AC,点E是AC上一点，过点E作 ED⊥BC交BC于点D,DE的延长线交BA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形. B D 12.(25-26八年级上陕西安康·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为边CD上一点，AE, BE分别平分∠DAB,∠CBA,延长AE交BC的延长线于点F, E (1)求证：△ABF是等腰三角形； (2)若AD=2,BC=4,求AB的长 13.(25-26八年级上陕西安康期末)如图，分别以ABC的边AB,AC为腰作等腰△ABD和等腰 △ACE,AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠CAE,使点D,E,C在同一直线上. 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：BC=DE; (2)若∠BAD=90°，BC=6,SBCD=30,求ADE的面积. 14.(25-26八年级上陕西安康期末)在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC,垂足为G,且 AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠EDF=60°， 4 (I)求证：△ABD是等边三角形； (2)若AB=AC=8,AE=6,求AF的长. 目目 考点03 直角三角形 1.(25-26八年级上·陕西榆林·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将△BDC沿CD 折叠，使点B落在边AC上的点B处，若LA=32°，则∠CBD的度数是() A.64° B.58 C.45° D.32° 2.(25-26八年级上·陕西西安期末)ABC的三边分别为，b,c,下列选项中的条件能判定直角三角形的 是() A.a=32,b=42,c=52 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a=6,b=7,c=8 D.a=8,b=15,c=17 3.(25-26八年级上陕西西安·期末)如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+4的图象与x轴，y轴分别 6/14 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交于点A,B,与函数y=。x+b的图象交于点C(-2,m).函数y=三x+b的图象与x轴交于点D,点E从点 3 3 D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A(到A停止运动)·设点E的运动时间为t秒， D E OA (I)求△ACD的面积； (②)在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，请求t的值及点E的坐标；若不 存在，请说明理由， 目目 考点04 线段的垂直平分线 1.(25-26八年级上陕西榆林期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12,BC=DC,∠A=60°， 点E在边AD上，CE∥AB,连接BD,交CE于点F.若CE=7,则EF的长为() A.6 B.5 C.4 D.3 2.(25-26八年级上陕西榆林期末)在△ABC中，DE垂直平分BC,若AB=5,AC=6,则△ABD的周长 等于() B E A.9 B.10 C.11 D.12 3.(25-26八年级上陕西榆林期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在边BC上，且AB的垂 直平分线经过点E,点F在CD边上，且DF=CF,连接EF,AF,且AF⊥EF,延长AF交BC的延长线于 点G,已知AD=2,BE=3,则CE的长为 7/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G 4.(24-25八年级下·陕西榆林期末)如图，在ABC中，请用尺规作图法，在AB边上求作一点D,使得 △BCD的周长等于AB+BC,(保留作图痕迹，不写作法) 5.(25-26八年级上陕西西安·期末)如图，点P是BC垂直平分线上的一点，过点P作PD⊥AB,交BA的 延长线于点D,PE⊥AC于点E,且PD=PE. B (I)求证：BD=CE; (2)若AB=2.4cm,AC=6cm,求AD的长， 6.(24-25八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，∠C=90°，点P、点D分别在边AC和AB上且 PD=PA,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE· (I)证明：DE⊥DP; (2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE的长. 7.(22-23八年级下·陕西渭南期末)如图，在ABC中，BC=2,AC=4,AB的垂直平分线DE交AB于 点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,连接AF,AD=V5 8/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：∠BCA=90°； (2)求AF的长。 目目 考点05 角平分线 1.(24-25八年级下陕西榆林期末)如图，在∠A0B内作一条射线0C,在0C上取一点P,过点P分别 作PQ⊥OB于点Q,PE⊥OA于点E,若PQ=PE,∠A0B=50°，则∠AOC的度数为() B A.30° B.25 C.20° D.45° 2.(23-24七年级下陕西榆林期末)如图，己知0C平分∠A0B,点P在0C上，PD⊥0A于点D, PD=4,点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为() B D A A.4 B.5 C.6 D.3 3.(25-26八年级上·陕西安康期末)如图，在ABC中，CE⊥AB于点E,点D是ABC外一点，且AC 平分∠DAB.若AB=6,AD=4,S。ABC=6,则△ACD的面积为 D 9/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九年级上陕西西安期末)如图，ABC中，AD平分∠BAC,线段EF垂直平分AB,交AB于 点M,交AD于点O.若AB=8,∠D0F=67.5°，则点O到AC的距离为() B E D A.4V2+4 B.2√2+2 C.2√2-2 D.42-4 5.(25-26八年级上陕西安康期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,点E 为AB的中点，连接DE,若△DBE的面积为4，CD=2,则AB的长为() D A.5 B.4 C.6 D.8 6.(25-26八年级上陕西安康·期末)如图，AD是ABC的角平分线，DE1AB,DF⊥AC,垂足分别 是E,F,若AB=8cm,AC=6cm,S4Bc=14cm2,则DE的长为cm. D 7.(25-26八年级上·陕西榆林·期末)如图，在ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点O, OD⊥BC于点D,若ABC的周长为10，OD=2,则ABC的面积为 B D 8.(24-25八年级上·陕西西安期末)如图，己知在△ABC中，AB=4,BC=6,∠ABC=60°，AE是△ABC的 中线，BD是△ABC的角平分线，AE与BD交于点F,则△ABF的面积为 10/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .LAHB=LAHE=90°， B HME C .∠ABC=60°， ∠BAH=90°-∠ABC=30°， :.BH=TAB=2,AH =AB-BH=25, :AE是ABC的中线，BC=6, :BE=IBC=3, 2 过点F作FM⊥BC于M,过点F作FN⊥AB于N, :BD是ABC的角平分线， :FM =FN, :Se8EAH,Se=Se+Sam48N+EpM, 2x3x2-x4xFN+ X3xFM ·FM=FN=5, Se三。ABFN=2×4x=23 1 77 故答案为：12W5 7 9.(23-24八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在ABC中，CD平分∠ACB,且CD⊥AB于点D, DE∥BC交AC于点E,BC=6cm,AB=4cm.那么ADE的周长为Cm, D 10.(24-25八年级下陕西榆林期末)如图，点P为∠A0B平分线上的一个定点，∠MPN在绕点P旋转的 过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若 11/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠MPN+∠AOB=180°，则下列结论错误的是() M E p N F B A.△PEM≌△PFN B.OM+ON的值不变 C.MN的长不变 D.四边形PMON的面积不变 11.(25-26八年级上陕西西安期末)已知，如图△ABC,∠C=90°.用尺规作图在三角形内部求作点P, 使得LACP=∠B,且点P到AC,AB的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）· B 目目 考点06 问题解决与策略：反思 1.(25-26八年级上陕西西安期末)问题提出：(1)如图①，在ABC中，AB=AC,AB=5,BC=6,则 点A到BC边的最短距离是 问题探究：(2)如图②，在ABC中，∠BAC=60°，AD是ABC的角平分线，AD与BC相交于点 D,AD=6,点E在AC边上，点F在AB边上，分别连接DE、DF,且DE=DF,求四边形AEDF的面积； 问题解决：(3)王叔叔门前有一块空地，他计划开垦一个四边形菜地ABCD种植黄瓜和南瓜，如图③，按 照王叔叔的设想，AB=BC,∠ABC=60°，∠ADC=120°，AC和BD是两条小路，BD长为12米，他计划在 ABC内种植黄瓜，在△ACD内种植南瓜，若要使种植南瓜的△ACD区域面积尽可能大，王叔叔的设想能否 实现？若能，请你求出△ACD区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）， 图① 图② 图③ 2.(25-26八年级上陕西西安期末)如图①，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在AC下方， 12/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 满足LACD=∠BAC,CD=二AC.连接AD交BC于点E. 2 B 图① 【问题感知】 (1)∠ECD的度数为 【问题探究】 (2)求证：BE=3EC; 图② 【问题解决】 (3)如图②，点F是AC边上的中点，连接BF交AD于点M,当AD=14时，求BF和AM的长， 3.(25-26八年级上·陕西咸阳期末)【问题提出】 A B B OF C 图1 图2 )如图1，一次函数y=-x+4与X轴、y轴分别交于点B、A,0为坐标原点，则40B的面积为 3 【解决问题】 (②)如图2，ABC是某植物园的花卉培育基地示意图，A0和CD是两条小路，A0和CD的交点E处有一口 水井，EF是一条水渠（点F在OC上），△CEF区域是水培植物试验区.已知AC=BC,AO1BC于点O, 点D是AB的中点，且∠EFO=∠OAC,现以BC所在直线为x轴、AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系 (图中1个单位长度表示1m),得到边AB所在直线的函数表达式为y=2x+80,点D的坐标为t,40).(小 路和水渠的宽度以及水井的大小均忽略不计) ①求小路CD所在直线的函数表达式： 13/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②求水培植物试验区的面积（即△CEF的面积）· 14/14