专题06 平行四边形（期末真题汇编，陕西专用）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 平行四边形专题期末试题汇编，涵盖性质、判定及三角形中位线三大考点，精选陕西多地期末真题，注重基础巩固与综合应用，含动态几何、探究性问题，体现逻辑推理与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|平行四边形性质（折叠、动态）、判定（边/角关系）、中位线计算|结合陕西期末真题，如动点形成平行四边形判定| |填空|5题|性质（对角线、面积）、中位线性质|设置折叠问题求角度，关联性质与计算| |解答（含探究）|10题|判定证明（平移、尺规作图）、中位线综合应用|含中点性质探究（如2025汉中期末中点连线证明），注重逻辑推理|

专题06 平行四边形 高频考点概览 考点01 平行四边形的性质 考点02 平行四边形的判断 考点03 三角形的中位线 ( 考点01 平行四边形的性质 ) 1．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，对角线、相交于点，且，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边、对角、对角线的基本性质． 根据平行四边形的性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A．平行四边形的对角相等，因此，A正确； B．平行四边形的对角线互相平分，但只有当邻边相等（即菱形）时对角线才垂直，已知，故与不垂直，B错误； C．平行四边形的对角线互相平分，因此，C正确； D．平行四边形的对边相等，因此，D正确． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在中，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，平行四边形的性质求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点，若，则平行四边形的面积为（   ） A．60 B．65 C．30 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 先由平行四边形得到，然后对运用勾股定理求高，即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为， 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的邻角互补及对角相等的性质求解． 【详解】解：在平行四边形中，与为邻角， 故． 由，设，， 则， 解得， 因此． 根据平行四边形对角相等，． 故选：A． 5．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行，对角相等．由平行四边形的性质推出，，得到，求出，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（   ） A．14 B．15.5 C．12 D．15 【答案】D 【分析】此题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、分别在、上，将沿直线折叠，使得点的对应点恰好落在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握平行四边形的性质与三角形的内角和定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，由折叠可得，进而根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由折叠可得， ∴． 故选：C 8．（24-25八年级下·陕西安康·期末）用两个完全相同的等腰直角三角板拼成一个平行四边形．若等腰直角三角板的直角边长为，则得到的平行四边形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由等腰直角三角板的直角边长为，求得它的斜边长为，再分两种情况求平行四边形的周长，一是将两个全等的等腰直角三角形的斜边拼在一起，得到的平行四边形的周长是；二是将两个全等的等腰直角三角形的一组直角边拼在一起，得到的平行四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵等腰直角三角板的直角边长为， ∴它的斜边长为， 分以下两种情况： 如图1，将两个全等的等腰直角三角形的斜边拼在一起， ∵， ∴得到的平行四边形的周长是； 如图2，将两个全等的等腰直角三角形的一组直角边拼在一起， ∵， ∴得到的平行四边形的周长是． 综上所述，到的平行四边形的周长是或． 故选：D． 9．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，同时，点从点出发，以的速度向点运动，连接，当点到达终点时，点停止运动．设运动的时间为，在运动的过程中，当四边形为平行四边形时，的值为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，动点运动问题，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由题意可知，， ，，根据四边形是平行四边形，得，即，即可求解． 【详解】解：运动时间为，由题意可知，， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质．本题可根据平行四边形对边平行且相等的性质，求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵已知，， ∴的长度为，且在轴上， ∴的长度也为6，且，即平行于轴． 已知D点， 平行于轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为5， 又∵，点的横坐标为2， ∴点的横坐标为， ∴顶点的坐标是． 故选：D． 11．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 12．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 13．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点E，于点F．若，的周长为50，则的长为 _________ ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为50， ∴，， ∴， 根据平行四边形的面积公式，得， ∴，， ∴， 故答案为：10． 14．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据平行四边形的性质证明，再根据“边角边”说明，则答案可得. 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， . 15．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 16．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16． ( 考点02 平行四边形的判断 ) 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，举反例证明假命题，熟练掌握平行四边形的判定及举反例证明假命题是解题的关键．根据平行四边形的判定定理及举反例证明假命题的方法，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、如图，，，但四边形不是平行四边形，所以选项A不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知选项B符合题意； C、和关于直线轴对称，且，，则，但四边形不是平行四边形，所以选项C不符合题意； D、如图，在等腰梯形中，，，显然四边形不是平行四边形，所以选项D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在四边形中，，对角线，交于点O，添加下列一个条件，仍不能使四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答案． 【详解】解：A.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，不符合题意； B.不能得到四边形为平行四边形，符合题意； C.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，不符合题意； D.由可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为____． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于__________． 【答案】2 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴，即平移距离为2； 故答案为：2 6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 8．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，请使用尺规作图法在边上求作一点，连接，使四边形为平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行四边形的判定． 以为一边，在的内部作，交于点F即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求作的平行四边形． 理由：由作法知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 10．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 11．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，已知点O是对角线的中点，过点O的直线分别交、于E、F两点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质得到，进而根据证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】证明：在中，，O是的中点， ， 在与中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 12．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，对角线交于点，过点作交延长线于点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，可得，即可求证． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形． 13．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，已知矩形，E是边上一点，连接．请用尺规作图法在上作出一点F，连接，使得四边形为平行四边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识解答本题的关键． 在上截取，连接，可得四边形是平行四边形． 【详解】解，如图，点F即为所作， ∵，， ∴四边形为平行四边形． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， ； （2）解：设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图： ， ，由平行四边形的性质得：和互相平分 ∴，， 解得，， ； 当为平行四边形的对角线时，如下图： 同理可得，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标为或． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，得，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）因为，所以，，求得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 16．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，连接，，，，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形性质求证线段相等是解题的关键． （1）根据平行四边形性质，可推证，，进一步证明，于是得到； （2）证明，，利用平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 17．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在四边形中，对角线、交于点，，过点作⊥，垂足为，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，涉及平行线的判定、勾股定理等知识． （1）由，，证明，则，因为，所以，可得，从而证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质得，根据，其中已知，可在根据勾股定理求得，得到的长，进而中根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）证明：，， ，     ， ， ， ， 四边形是平行四边形；     （2）解：，，， 在中，，     ， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 的长为． ( 考点0 3 三角形的中位线 ) 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点，，分别是边，，的中点，连接，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，，由线段的中点等于得到，，即可求出四边形的周长． 本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 【详解】解：点，，分别是边，，的中点， 和是的中位线， ，， ，， ，， ，， 四边形的周长． 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行线于三角形的第三边． 根据是的中位线，得到，即可得到． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，为四边形的对角线，点、分别为、的中点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理逆定理，首先根据点、分别为、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形，，从而可求． 【详解】解：点、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， ，， 又， ， 是直角三角形，， ， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，已知是的中位线，为上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据中位线得到，求出． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，平分交于点N，点M在上，且，连接，P为的中点，连接，则的长为（   ） A．2.4 B．2 C．1.5 D．2.5 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 为的中点， 为的中位线， ． 故选：D． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为________． 【答案】6 【分析】该题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质和判定，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形即可得出结论． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 8．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，在中，，点为上一点，连接分别为、上的动点．且交于点，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及垂线段最短，三角形的中位线定理，正确作出辅助线，熟练运用以上知识点是正确解答此题的关键．需要通过构造平行四边形将进行转化，再根据垂线段最短求出其最小值． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ，又， ∴四边形是平行四边形， ， 当时，最短． ， ， ， ， D为线段的中点， ，且， E为线段的中点，又D为线段的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，．点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别是、的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， 如图，过点作于点，此时线段的长最小， 在中，，，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质定理． 利用三角形的中位线性质定理得出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点E，F，G分别是，，的中点， ， 又， ， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的判定．根据点、分别是、的中点，得到，，，从而证得，得到，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， ，是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，点、、分别为、、的中点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的判定得到，得到，根据三角形中位线定理得到，，等量代换即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，即， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ， 同理可得：， ． 13．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）【提出问题】 如图1，在中，，，于点，点、分别是线段、的中点，连接、、．以线段为边作等边（点在边的左侧），连接． （1）试说明是等边三角形； （2）判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）如图2，是某植物园的局部示意图，其中，，于点，线段为园区通道，是的中点，此处设有卫生间．园区拟改造该区域及其周边区域，在线段上取一点，以为边，在左侧作等边用于种植某种常绿植物，在点处修建凉亭，并沿、、铺设三条不同材质的小路．为合理预算修建费用，请你帮助园区工作人员确定、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）；理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，，根据直角三角形的性质得出，证明，根据等边三角形的判定即可得出结论； （2）证明，得出，根据中位线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论； （3）证明，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：（1）∵在中，，，， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）；理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、分别是线段、的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）；理由如下： ∵，， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 15．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】    （1）如图①，在中，D，E，F分别是，，的中点，，，则四边形的周长为______； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是，的中点，且，连接，若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的平面示意图，A，B，C，D分别是该公园的四个入口，两条立干道、交于点O，经侧量，，，为提升游客游览的体验感，准备修建三条鹅卵石小路，，，按照设计要求，点M在主干道上，点N在主干道上，且点M与点O，B不重合，若修建鹅卵石小路每千米费用为10万元，该会园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入多少资金？ 【答案】（1）18；（2） 2；（3）该公园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入万元资金 【分析】（1）根据D，E，F分别是，，的中点，可得、是的中位线，进而根据中位线的性质即可求解； （2）根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论； （3）如图，过点N作，过点C作，，交于点E，连接，过点E作交的延长线于点H，过点D作于点，证明，求出的最小值可得结论． 【详解】解：（1），E，F分别是，，的中点，，， 由中位线的定义可知：、是的中位线， ，， 四边形DECF的周长； （2），F分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ； （3）如图，过点N作，过点C作，，交于点E，连接，过点E作交的延长线于点H，过点D作于点，   四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ，即， ， ∵，， 四边形是平行四边形，， ，， 又， ， ，， ， 在中，根据勾股定理，得， ， 的最小值为， 的最小值为， ， 该公园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入万元资金． 16．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，连接，，相交于点M，． 【初步探究】 （1）如图1，求的度数； 【衍生拓展】 （2）如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，延长至点H，使，连接．试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）由为等边三角形，结合证明，得到，即可得到，最后根据三角形内角和求的度数； （2）延长至点Q，使，连接、，可得到，和都是等边三角形，即可证明，得到，再由是的中位线，得到，最后根据证明即可； 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点Q，使，连接、， ， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ∵， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， 即， ． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 已知和都是等腰直角三角形，，连接，M、N分别是、的中点． 【初步探究】 （1）如图1中，点D、E分别在、的边上，试判断线段与的位置关系和数量关系，并说明理由； 【拓展证明】 （2）将图1中的绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），，理由见详解（2）仍然成立，证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形中位线定理得，，即可得证； （2）连接，延长，交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，结合三角形中位线定理，即可得证． 【详解】（1）解：，， 理由如下： 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， M、N分别是、的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）仍然成立； 证明：连接，延长，交于， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， M、N分别是、的中点 是的中位线， ，， ，． 18．（24-25八年级下·陕西西安·期末）【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点为的中点，连接，点为上一动点（不与端点重合），点为的中点，点为内一点，连接并延长到点，使得，连接，已知，． ①若，则 ， ， ．（请用含的式子表示）； ②判断与的关系，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，取的中点将四边形分成两部分，为上任意一点（不与端点重合），取的中点，点为四边形内任一点，连接，使，若，试探究：与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，；（2） 【分析】（1）①根据线段中点的定义，和三角形的中位线定理求解即可； ②根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，根据三角形中位线定理并结合已知可得出，则可求出，由①知：，则可证明，得出，，进而得出，然后根据等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）延长至点F，使，连接，，，，证明是等边三角形，得出，，设，，同（1）可求，根据三角形中位线定理以及交的和差关系可求，证明，，，进而得出，则可证是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， 又， ∴， 故答案为：；；； ②， 理由： ∵，， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由①知：， 又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； （2） 理由，延长至点F，使，连接，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，， 同（1）可求， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题06平行四边形 ☆高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判断 考点03三角形的中位线 目目 考点01 平行四边形的性质 1.(22-23八年级下·陕西榆林期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,且AB≠AD, 则下列关系不正确的是() D B A.∠BAD=∠BCD B.AC⊥BD C.BO=DO D.AB=CD 2.(24-25八年级下·陕西榆林·期末)在口ABCD中，连接AC,若AC⊥AB,∠ABC=60°，则∠DAC的 度数为() A.120 B.60° C.30° D.15 3.(24-25八年级下·陕西安康·期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若 AB=13,AD=12,AC⊥BC,则平行四边形ABCD的面积为() D B A.60 B.65 C.30 D.5 2 4.(24-25八年级下·陕西汉中期末)在平行四边形ABCD中，若∠A:B=3:2,则∠C的度数是() A.108 B.72° C.144° D.36 5.(24-25八年级下·陕西安康期末)如图，在口ABCD中，若2∠A=7∠B,则∠D的度数为() A.20 B.30 C.40° D.140 1/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25八年级下.陕西咸阳·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若AB=6, AC=7,BD=11,则△OCD的周长为() B A.14 B.15.5 C.12 D.15 7.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)如图，在ABCD中，点E、F分别在BC、DC上，将ABCD沿直 线EF折叠，使得点C的对应点C恰好落在AD边上，若∠1=58°，∠2=42°，则∠C的度数为() B A.130° B.126.5° C.109 D.100° 8.(24-25八年级下·陕西安康期末)用两个完全相同的等腰直角三角板拼成一个平行四边形.若等腰直角 三角板的直角边长为10cm，,则得到的平行四边形的周长是() A.40cm B.(20+20W2)cm C.16+20N3]cm D.40cm或20+20√2)cm 9.(24-25八年级下·陕西榆林期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AB=9Cm, AD=18cm,BC=22.5cm,点M从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时，点N从点C出发，以 2Cms的速度向点B运动，连接MN,当点N到达终点时，点M停止运动.设运动的时间为s,在运动的 过程中，当四边形MNCD为平行四边形时，t的值为() M A B A.4 B.4.5 C.5 D.6 10.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别 是0,0)，(6,0)，2,5)，则顶点C的坐标是() 2/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D O() B A.（5,2 B.（2,5 C.(6,5 D.(8,5 11.(24-25八年级下·陕西汉中期末)如图，口ABCD中，EF∥AB,GH∥AD,则图中共有平行四边形的 个数为( G H M B F A.9个 B.8个 C.7个 D.6个 12.(24-25八年级下陕西汉中.期末)如图，E是▣ABCD的边AB上的点，连接DE、CE,Q是CE的中点， 连接BQ并延长交CD于点F,连接AF与DE相交于点P,若S,m=5cm,S,ac=9cm2,则阴影部分的面积 为() B A.23cm2 B.20cm2 C.17cm2 D.13cm2 13.(24-25八年级下·陕西西安期末)如图，在口ABCD中，AE1BC于点E,AF⊥CD于点F,若 AE:AF=2:3,口ABCD的周长为50，则AB的长为 A D B E 14.(22-23八年级下陕西汉中期末)如图，在口ABCD中，AB=FA,E是AF上一点，连接BE,且 AE=FD.求证：AD=BE. D F 3/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(24-25八年级下·陕西渭南·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD, 分别交BC,BD于点E,P D (I)证明：△ABE是等腰三角形； 2)连接0E,若AB=BC=2,∠ABC=60°.求△A0E的面积. 16.(24-25八年级下·陕西汉中期末)如图，口ABCD中，BE,CF分别是∠ABC和LBCD的平分线， BE,CF相交于点O F D (I)求证：BE⊥CF; (2)若AB+BC=8,求ABCD的周长. 目目 考点02 平行四边形的判断 1.(24-25八年级下陕西西安期末)如图，下列条件中能判定四边形ABCD为平行四边形的是() D A.∠ABC=∠ADC,AD=BC B.AB=DC,AD=BC C.∠ABC=∠ADC,BD=AC D.AB∥DC,AD=BC 2.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,添加下 列一个条件，仍不能使四边形ABCD为平行四边形的是() A.AB=CD B.BC=AD C.BC∥AD D.∠ADB=∠CBD 3.(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)在四边形ABCD中，AC与BD相交于点0，且OB=OD,再添加下 面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是() 4/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A 4入 B C A.OA=0C B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.AD=BC 4.(24-25八年级下·陕西榆林期末)如图，将直角ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，点A、B、 C的对应点分别为点D、E、F,连接BE,若CD=5,AF=I3,则BE的长为· A B 5.(22-23八年级下·陕西榆林·期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,将Rt△ABC沿BC向右平 移得到△DEF,若四边形ACFD的面积等于8，则平移的距离等于 6.(24-25八年级下·陕西榆林·期末)如图，在▣ABCD中，已知∠B+∠D=108°，求∠B的度数. D 7.(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C 作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD. C (I)求证：四边形ADCE是平行四边形； (2)若∠B=30°，∠CAB=45°，CD=BD=4,求AD的长. 8.(24-25八年级下陕西汉中期末)如图，在四边形ABCD中，连接BD,∠A=∠C,∠1=∠2.求证： 5/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 四边形ABCD是平行四边形. D 9.(24-25八年级下·陕西渭南·期末)如图，在ABC中，点D为边BC上一点，连接AD,过点D作 DE∥AC交AB于点E,请使用尺规作图法在边AC上求作一点F,连接DF,使四边形AEDF为平行四边 形.（保留作图痕迹，不写作法） 10.(22-23八年级下·陕西渭南期末)如图，在口ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且AF∥CE, 求证：四边形AECF是平行四边形 D B C 11.(22-23八年级下陕西西安期末)如图，已知点O是口ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分 别交AB、CD于E、F两点，连接AF、CE.求证：四边形AECF是平行四边形 D F E B 12.(22-23八年级下·陕西渭南期末)如图，在四边形AECF中，对角线AC、EF交于点 D,AD=CD,ED=FD,过点C作BC∥EF交AE延长线于点B,求证：四边形EBCF是平行四边形. B E D 13.(24-25八年级下陕西安康·期末)如图，已知矩形ABCD,E是BC边上一点，连接AE.请用尺规作 图法在AD上作出一点F,连接CF,使得四边形AECF为平行四边形.（不写作法，保留作图痕迹） 6/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25八年级下·陕西西安·期末)如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B, 若0A=8,0B=16,点C为y轴上一点，且点C的坐标为(0,6) B A (I)求直线AB的表达式： (2)点P为x轴上一个动点，点Q为直线AB上一个动点，如果以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为 边的平行四边形，求点Q的坐标. 15.(24-25八年级下陕西西安期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点 0,且A0=C0, A D B (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (②)若AB=10,AD=6,AC⊥BC,求BD的长 16.(23-24八年级下陕西汉中·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点， 连接DE,DF,BE,BF,且∠I=∠2 B 7/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AE=CF; (②)求证：四边形EBFD是平行四边形， 17.(23-24八年级下·陕西商洛期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,BC⊥BD, 过点A作AE⊥BD,垂足为F,交CD于点E,连接CF,LBCF=∠BAF, A B E (I)求证：四边形ABCF是平行四边形： (2)若BC=5,CD=13,BF=7,求AD的长. 目目 考点03 三角形的中位线 1.(24-25八年级下陕西西安期末)如图，在ABC中，AB=6,AC=8,点D,E,F分别是边AB, BC,AC的中点，连接DE,EF,则四边形ADEF的周长为() B A.10 B.12 C.14 D.16 2.(23-24八年级下·陕西咸阳期末)如图，在ABC中，∠C=44°，D,E分别是边AB,BC的中点， 则∠BED=() A B E A.22° B.36° C.44° D.48 3.(24-25八年级下·陕西渭南·期末)如图，BD为四边形ABCD的对角线，点M、N分别为AB、AD的 中点，连接MN,MN=6,BC=5,CD=13,∠AMN=50°，则∠ABC的度数为() 8/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.100 B.120° C.140° D.150 4.(24-25八年级下·陕西期末)如图，己知DE是ABC的中位线，F为DE上一点，连接CF,若 48=8,DF-号：则EF的长为() E B D A.3 B. J C.3 D.4 2 5.(24-25八年级下·湖北武汉期中)如图，在ABC中，AB=AC=8,AN平分∠BAC交BC于点N,点 M在BA上，且AM=3,连接CM,P为CM的中点，连接PN,则PN的长为() B A.2.4 B.2 C.1.5 D.2.5 6.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)如图，在四边形ABCD中，对角线BD⊥AB,且DB平分∠ADC, 连接AC交BD于点O,且O为BD的中点，在AD上取一点G,连接CG,使CG⊥BD于点E,取AC的中 点F,连接BF,EF,延长AB,DC相交于点H.下列四个结论：①AO=2BO;②EF∥AD;③BF是 △AHC的中位线；④FB=FE.其中所有正确的结论为() G D H A.①③④ B.③④ C.②④ D.②③④ 9/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八年级下，陕西汉中期末)如图，在口ABCD中，E是CD的中点，连接AE、BE,F是AE的中点， 连接CF与BE交于点G,若BE=8,则BG的值为 D B 8.(24-25八年级下·陕西期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点，连接 CD,AD=CD,M、N分别为CD、AD上的动点.且CM=DN,ME∥AB交BC于点E,若 ∠B=∠ECM,AC=2√2，则MN的最小值为 E M D 9.(24-25八年级下·陕西宝鸡期末)如图，在口ABCD中，∠B=60°，AB=4.点H、G分别是边CD、 BC上的动点，连接AH、HG,点E、F分别是AH、HG的中点，连接EF,则EF的最小值为· D B 10.(24-25八年级下陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,BD的中 点，若AB=CD,∠EGF=124°，则∠GEF的度数为 D 11.(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE, ∠ACB的平分线交DE于点F,连接AF,若AC=12,BC=20,求DF的长 D 10/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25八年级下陕西咸阳·期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上，连 接BE、DE,点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，若∠ADE=∠AED,求证：FG=FH. D G B H 13.(25-26八年级上陕西宝鸡期末)【提出问题】 如图1，在ABC中，BA=BC,∠ABC=120°，BD⊥AC于点D,点E、K分别是线段DC、BC的中点， 连接BE、KE、DK,以线段BE为边作等边△BEF(点F在边BE的左侧)，连接DF, 图1 图2 (1)试说明aBDK是等边三角形； (2)判断线段DK与DF之间的数量关系，并说明理由. 【解决问题】 (3)如图2，ABC是某植物园的局部示意图，其中AB=BC,LABC=120°，BD⊥AC于点D,线段 BD为园区通道，H是AB的中点，此处设有卫生间.园区拟改造该区域及其周边区域，在线段AD上取一 点E,以BE为边，在BE左侧作等边△BEF用于种植某种常绿植物，在点F处修建凉亭，并沿FH、AE、 CD铺设三条不同材质的小路.为合理预算修建费用，请你帮助园区工作人员确定FH、AE、CD这三条线 段之间的数量关系，并说明理由. 14.(24-25八年级下·陕西榆林期末)【问题探究】 (1)如图1，在口ABCD中，∠ABC和∠DAB的平分线BE,AE交于CD边上的点E,求证：E为CD的中 点： 【问题解决】 (2)如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园ABCD,点E是CD上一点，连接BE、AE,沿BE和 AE修建景观步道，BE平分∠ABC,AE平分∠DAB,△ECB为花卉区，△AEB是休憩草坪区，△DAE为健 身活动区，为方便游客，在AE中点F设休息驿站，并修建一条连接驿站F与大门C的观景小道CF,CF与 BE交于点G,规划师需确定BG与EG的数量关系，请你帮忙解答并说明理由. 11/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E D E B 图1 图2 15.(24-25八年级下·陕西榆林期末)【问题提出】 D M B 图① 图② 图③ (1)如图①，在ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，AC=8,BC=10,则四边形DECF 的周长为 ； (2)如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=140°，E,F分别是AB,AD的中点，且∠AFE=50°，连接BD, 若CD=3,BC=5,求EF的长. 【问题解决】 (3)如图③，口ABCD是某公园的平面示意图，A,B,C,D分别是该公园的四个入口，两条立干道AC、 BD交于点O,经侧量AB=0.5km,AC=1.2km,BD=1km,为提升游客游览的体验感，准备修建三条鹅 卵石小路AN,MN,CM,按照设计要求，点M在主干道OB上，点N在主干道OD上，且BM=ON(点 M与点O,B不重合)，若修建鹅卵石小路每千米费用为10万元，该会园修建这三条鹅卵石小路最少需要 投入多少资金？ 16.(24-25八年级下·陕西渭南·期末)【问题呈现】 己知ABC为等边三角形，E、F分别为线段BC、AB上的动点，连接CF,AE,相交于点M,BF=CE, 【初步探究】 (1)如图1，求∠AMC的度数； 【衍生拓展】 (2)如图2，若∠DAB=60°，AD=AB,连接DM,点N是DM的中点，连接AN,延长ME至点H,使 MH=MC,连接CH.试判断线段AM,CM,AW之间的数量关系，并说明理由. 12/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B E H 图1 图2 17.(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)【问题情境】 己知ABC和△DEC都是等腰直角三角形，LACB=∠DCE=90°，连接AE,M、N分别是DE、AE的中 点. B E M 图1 D图2 【初步探究】 (1)如图1中，点D、E分别在AC、BC的边上，试判断线段BE与MN的位置关系和数量关系，并说明 理由； 【拓展证明】 (2)将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接BE,则(1)中的结论是否仍然成立， 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 18.（24-25八年级下陕西西安期末)【问题探究】 (1)如图1，在等腰ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，连接AD,点E为BD上一动点（不与端 点重合)，点P为CE的中点，点H为ABC内一点，连接EH并延长到点F,使得HF=EH,连接 CF,PH,AF,AH,己知PD=PH,PH⊥BC. ①若PD=m,PC=n,则BD=-,BE=-,CF=-·(请用含m,n的式子表示)： ②判断AH与EF的关系，并说明理由. 【问题解决】 (2)如图2，在四边形ABCD中，BC=CD,∠C=60°，取BC的中点P,DP将四边形ABCD分成两部分， E为BP上任意一点（不与端点重合），取CE的中点G,点H为四边形ABCD内任一点，连接GH,EF, 使HG=PG,若LPGH=120°，试探究：DE与EH的数量关系，并说明理由. 13/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D H F方D B EPG 图1 图2 14/14