2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册综合检测

人教A版选择性必修第二册综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设函数，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 0 2. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. B.1 C. 2 D. 3 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，是函数的极值点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，仅有唯一极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知数列中，，.记， 则正确的结论是（    ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若方程有两个不相等的实数根，则 C. 存在，使 D. 若不等式恒成立，则 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和为，满足，则________． 13. 若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 16. 已知公差不为零的等差数列的前3项和为9，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求证：． 17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 18. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第二册综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A B C A B C ACD ABC BD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设函数，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 0 【解析】C 因为， 因为，所以，所以. 即. 2. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. B.1 C. 2 D. 3 【解析】B 设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【解析】C 由求导得： ， 则，故. 4. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ） A. B. C. D. 【解析】C由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 5. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 6. 在等比数列中，是函数的极值点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【解析】D由可得， 依题意是方程的两根，则，， 又数列是等比数列，设公比为， 则，， 故，，故. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【解析】D 当时： 原式变为 ，整理得： 当时： 原式变为 ，已知，且由得， 代入得：  化简得 ，解得 ， 把代入式(1)，得 ，解得  时：原式变为 ，由得前两项和为 ， 代入得：  化简得 ，解得  故 . 8. 已知函数，仅有唯一极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【解析】B . 因为函数在上仅有唯一极值点， 所以在上仅有一个变号根，显然为一个变号根， 所以在上恒大于等于0或恒小于等于0. . 当，即时，在上恒成立， 此时在单调递增，且， 所以在恒成立，故满足题意. 当，即时，令，解得. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以在上恒大于等于0或恒小于等于0均不成立， 因此不符合题意，实数的取值范围为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【解析】ABC 因为，所以A错误； ，而，所以B错误； ，所以C错误； ，所以D正确. 10. 已知数列中，，.记， 则正确的结论是（    ） A. B. C. D. 【解析】ABC 因为，所以A正确； 由题意得，， 若存在，则，得或（舍），则与矛盾， 故，故，即，故B正确； 因为，所以， 则，故， 所以 ， 因为，所以， 所以， 故， 所以， 因为，，所以，，故， 所以，故，故C正确，D错误. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若方程有两个不相等的实数根，则 C. 存在，使 D. 若不等式恒成立，则 【解析】ABD 因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 由在上单调递减，得，所以A正确． 由，得，所以． 易知函数在上单调递增．令，则，所以，即与有两个交点，所以，故B正确． 因为，且当时，，所以由，得，故C错误． 由，得，所以，即． 令，易知函数在上单调递增． 因为，所以，所以，所以，，故正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和为，满足，则________． 【解析】令，得，得， 由，当时，， 两式相减得，，即， 即，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. 13. 若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 【解析】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 【解析】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 【解析】（1），则 所以在处的切线方程为，整理得 （2）设，在P处的切线斜率为， 即，由斜率，， 且得，. 16. 已知公差不为零的等差数列的前3项和为9，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求证：． 【解析】（1）设数列的公差为，则，， 由，可得， 又，，成等比数列，故，即，整理得， 因为，故，代入可得，，． 故． （2）， 故 因，则，故可得. 17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 【解析】（1）由题意得 米 （2）设总造价为万元，，设， (0舍去) 当时，；当时，，因此当时，取最小值，当米时，桥墩CD与EF的总造价最低. 18. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由可得， ， 所以数列是常数列，又因为，所以， 即的通项公式为； （2）（ⅰ）由， 则， 两边乘以可得：， 上两式相减得：， ， 即； （ⅱ）由可得：， 由对任意恒成立，则， 令，则函数在上单调递减， 即当时，，所以， 即的取值范围是. 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 【解析】（1）由题意，得，则，所以切点为， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）（ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是极小值点，则， 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，则， 所以上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. （ⅱ）由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $