规范练46 空间向量及其运算 --2027届高三一轮复习试题 数学

**基本信息** 以空间向量运算为核心，通过基础巩固与综合提升两级训练，系统覆盖线性运算、数量积、共线共面等考点，融入夹角计算、投影向量等解题方法，逻辑递进且突出易错点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|11题|向量线性分解、数量积求夹角、投影向量公式、共面定理、钝角条件（排除共线）|从向量概念生成到线性运算、数量积推导，再到共线共面应用，层层递进| |综合提升练|5题|空间坐标系构建、异面直线距离公式、向量法求线线角|结合几何体情境，拓展向量在空间几何中的综合应用，强化建模能力|

课时规范练46　空间向量及其运算 (分值:83分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.已知四面体ABCD中,G是BD的中点,则)=(　　) A. B. C. D. 2.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°角的是(　　) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 3.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A.(,-) B.(2,-1,2) C.(,-) D.(1,-2,1) 4.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|=(　　) A.2 B.0 C.3 D.3 5.已知空间向量a=(2,-1,1),b=(m,3,-3),若a与b的夹角是钝角,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,-6)∪(-6,3) B.(-∞,3) C.(3,6)∪(6,+∞) D.(3,+∞) 6.(多选题)已知空间向量a=(1,-1,4),则下列说法正确的是(　　) A.|a|=3 B.向量a与向量b=(-2,2,-8)共线 C.向量a关于x轴对称的向量为(1,1,-4) D.向量a关于yOz平面对称的向量为(-1,1,-4) 7.(多选题)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　　) A.=3 B. C.=0 D.=0 8.(2025·上海行知中学模拟)如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c.点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则=　　　　.  9.在空间直角坐标系中,A(1,-2,a),B(0,3,1),C(b,-1,2),若A,B,C三点共线,则ab=　　　　　.  10.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=,点E,F满足,则||=　　　　　. 11.已知向量b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上存在一点E,使得⊥b(O为原点),则点E的坐标为　　　　　　.  综合提升练 12.已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动,则的最大值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 13.(多选题)《九章算术》中,将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵,在如图所示的堑堵中,=2,则(　　) A. B. C.向量在向量上的投影向量为 D.向量在向量上的投影向量为 14.在空间四边形OABC中,M为OA的中点,N为BC的中点,若,则使G,M,N三点共线的x的值是　　　　　.  15.(2025·湖北武汉华中师范大学附属中学模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长相等,且∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,则异面直线AB与B1C所成角为　　　　　.  16.(2026·广东华侨中学高三期中)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC,则异面直线AD与BC的距离为　　　　　.  参考答案 课时规范练46　空间向量及其运算 1.B　解析 由题意,)=.故选B. 2.B　解析 设a与各项中的向量的夹角为θ,对于A,cos θ==-,则θ=120°;对于B,cos θ=,则θ=60°;对于C,cos θ==-,则θ=120°;对于D,(-1,0,1)=-a,θ=180°.故选B. 3.A　解析 b在向量a上的投影向量为a=a=a=(,-).故选A. 4.D　解析 由a⊥c,得a·c=x-4+2=0,所以x=2,则c=(2,-4,2).由b∥c,得,所以y=-2,z=1,所以b=(1,-2,1),故2a+b=(3,0,3),则|2a+b|==3.故选D. 5.A　解析 由题意可得a·b<0,且a,b不能反向共线,即解得m<-6或-6<m<3.故选A. 6.ABC　解析 对于A,|a|==3,故A正确;对于B,∵b=-2a,∴a与b共线,故B正确;对于C,设a=(1,-1,4)的起点为坐标原点,则该向量的终点为(1,-1,4). ∵点(1,-1,4)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,-4),∴向量a关于x轴对称的向量为(1,1,-4),故C正确;对于D,设a=(1,-1,4)的起点为坐标原点,∴该向量的终点为(1,-1,4),∵(1,-1,4)关于平面Oyz对称的点的坐标为(-1,-1,4),∴向量a关于平面Oyz对称的向量为(-1,-1,4),故D错误.故选ABC. 7.AC　解析 空间向量共面定理,=x+y+z,若A,B,C不共线,且A,B,C,M共面,则其充要条件是x+y+z=1. 对于A,因为3-1-1=1,所以A,B,C,M四点共面,故A正确;对于B,因为≠1,所以不能得出A,B,C,M四点共面,故B错误;对于C,=-,则为共面向量,所以M与A,B,C一定共面,故C正确;对于D,因为=0,所以=-,因为-1-1-1=-3≠1,所以不能得出A,B,C,M四点共面,故D错误.故选AC. 8.-a+b+c　解析 依题意,=-)=-a+b+c. 9.　解析 由题得=(-1,5,1-a),=(b,-4,1).因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ, 即(-1,5,1-a)=λ(b,-4,1), 所以解得所以ab=. 10.　解析 由题得,)-. ∵斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=, ∴=1+1+1+×2×2××2×2××2×2×=2, ∴||=. 11.(-,-)　解析 由题知,=(-2,-2,2)-(-3,-1,4)=(1,-1,-2). ∵E在直线AB上,设=t,则=(t,-t,-2t),=(-3,-1,4)+(t,-t,-2t)=(-3+t,-1-t,4-2t). 因为⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为(-,-). 12.C　解析 取AB的中点O,连接PO,如图, 则=()·()=-1.当P在正方体表面上运动时,运动到点D1或C1处时,PO最大,所以=D1D2+DA2+AO2=9,故的最大值为8. 13.BD　解析 因为)=,故A不正确,B正确. 如图所示,故过点D作DU⊥BC,过点U作UV⊥AB,UW⊥AC, 故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为,由题意得,,故,故C不正确,D正确.故选BD. 14.　解析 由题意可知, =2,则2,∴)=.∵G,N,M三点共线,∴=1,解得x=. 15.　解析 设三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,因为∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,所以||=||=||=2,=2×2×=2. 因为=-,所以||2=(-)2=+2-2-2=22+22+22+2×2-2×2-2×2=8,即||=2,且=-=-2+2-4=-4,所以cos<>==-. 又异面直线夹角的范围为(0,], 所以异面直线AB与B1C所成角为. 16.　解析 取AC的中点O,连接OB,OD.如图,以O为原点,OB,OC,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,),=(0,),=(-,0),=(-,0,). 设与垂直的向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1), 则异面直线AD与BC的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $