课下巩固精练卷(58) 空间向量的概念与运算（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(五十八)　空间向量的概念与运算 【基础巩固题】 1．已知a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，则a·(b＋c)等于(　　 ) A．18 B．－18 C．3 D．－3 解析：选B.因为b＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18. 2．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2， 又|a|＝＝， 所以cos〈a，b〉＝， 又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为. 3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　 ) A．(1，－1，1) B． C． D． 解析：选B.对于选项A，＝(1，0，1)，·n＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有，所以·n＝0，故B正确． 4．如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　 ) A．2 B．3 C．2 D．4 解析：选B.∵， ∴， ∵⊥⊥，∴＝cos (180°－120°)＝1×2×＝1. ∴＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴＝3. 5．(2024·陕西西安模拟)已知点P在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1的表面上运动，则的最大值为(　　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C.取AB中点O，连接PO，如图， 则＝·＝－1， 当P在正方体表面上运动时，运动到D1或C1处时，PO最大，所以max＝D1D2＋DA2＋AO2＝9， 所以的最大值为8. 6．(多选)给出下列四个说法，其中正确的是(　　 ) A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 B．若a为直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是直线l的方向向量 C．若，则 D．在三棱锥P­ABC中，若＝0，则＝0 解析：选CD.对于A，当a＝－b时，满足a·b<0，但〈a，b〉＝π，不是钝角，故A错误； 对于B，当λ＝0时，λa＝0，不是直线l的方向向量，故B错误； 对于C，由，得3，则，所以，故C正确； 对于D，过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O，连接CO并延长，交AB于点M，连接AO并延长，交BC于点N，连接BO并延长，交AC于点T(图略)，由＝0，可得PA⊥BC，则AN⊥BC，同理得CM⊥AB，所以O为△ABC的垂心，所以BT⊥AC，则PB⊥AC，从而＝0，故D正确． 7．(多选)已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，则下列说法正确的是(　　 ) A．向量c＝(－8，5，6)与a，b垂直 B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面 C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为 D．向量a在向量b上的投影向量为(6，0，8) 解析：选BC.对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A错误；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2，1)＋n(3，0，4)＝(1，－4，－2)，所以解得即2a－b＝d，故B正确；对于C，因为cos 〈a，b〉＝，所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为，故C正确；对于D，向量a在向量b上的投影向量为 ×(3，0，4)＝，故D错误． 8．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2，3，3)．若l⊥α，则a＋b＝________． 解析：因为l⊥α，所以m∥n，所以，解得a＝，所以a＋b＝2. 答案：2 9．(人教A版选择性必修一P48)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长． 解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则E，F，C(0，1，0)，G. (1)＝＝， 则＋×0＝0，∴⊥，∴EF⊥CF. (2)设EF与CG所成角为θ，＝， 则cos θ＝＝，所以EF与CG所成角的余弦值为. (3)CE＝. 10．如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF. 证明：(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点， ∴PB∥EH. ∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH， ∴PB∥平面EFH. (2)建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， ∴＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴⊥⊥，∴PD⊥AF，PD⊥AH. ∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF， ∴PD⊥平面AHF. 【综合应用题】 11．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　 ) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 解析：选A.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1， 所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2， 则D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，0)． 设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则可取m＝(2，2，－1)， 同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误． 12．(多选)(2024·梅州模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　 ) A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1­A1D1M的体积不变 解析：选ACD.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A1(3，0，3)，D1(0，0，3)，C(0，3，0)，B(3，3，0)， 设M(3，y，0)，N(3，3，z)，y，z∈(0，3)，＝(3，y，－3)，＝(0，3－y，z)，而D1M⊥MN， 则＝y(3－y)－3z＝0，即z＝y(3－y)． 对于A，连接A1M，＝(0，y，－3)，则＝y(3－y)－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，故A正确； 对于B，＝(3，y－3，0)，＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误； 对于C，＝(0，0，z)，则线段BN的长度＝z＝，当且仅当y＝时等号成立，故C正确； 对于D，连接A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而V三棱锥C1­A1D1M＝V，所以三棱锥C1­A1D1M的体积为定值，故D正确． 13．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，，AC1与平面EFG交于点M，则＝________． 解析：由题图知，设(0＜λ＜1)， 由已知，得， 所以. 因为M，E，F，G四点共面， 所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝. 答案： 14．如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，点M是AC的中点，PB＝1，则的最小值为________． 解析：连接EC，如图， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，即有BC⊥PB.因为点M是AC的中点，则＝，又AE⊥PB，·＝ ≥－，当且仅当＝＝时，等号成立，所以的最小值为－. 答案：－ 15．如图，已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点，则＝________． 解析：如图，设BC的中点为E，连接AE，PE，PO，则O在AE上且AO＝2OE， 所以＝＝. 故， 由于S，M，N，O四点共面， 于是＝1， 因此. 答案： 16．如图，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BD⊥AC， 连接A1O，如图所示， 在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，所以A1O2＝＋AO2－2AA1·AO cos 60°＝3，所以AO2＋A1O2＝，所以A1O⊥AO， 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABCD， 又BO⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD， 所以A1O⊥BO，A1O⊥CO， 所以以O为原点，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B，C(0，1，0)，D，A1，C1， 由于＝＝， ＝0×＋1×0＋×0＝0， 所以⊥，即BD⊥AA1. (2)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1， 设，P(x，y，z)， 则(x，y－1，z)＝λ， 从而有P， 则＝， 又＝(0，2，0)，＝， 设平面DA1C1的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则则 取n1＝(1，0，－1)， 因为BP∥平面DA1C1，所以n1⊥， 即n1·λ＝0，解得λ＝－1， 即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1. 学科网（北京）股份有限公司 $