核心素养测评(第8章 第46节 两条直线的位置关系)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)(2024·长沙模拟)已知直线l1:x-3y+1=0,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角是(　　) A.150° B.120° C.60° D.30° 【解析】选B.因为直线l1:x-3y+1=0, 所以l1的斜率k1=. 因为直线l2与l1垂直,所以直线l2的斜率k2满足k1k2=-1,解得k2=-,所以l2的倾斜角为120°. 2.(5分)已知直线l1:mx+3y-3=0,l2:(3m-2)x+my+1=0.则“m=-”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】选A.当m=-时,直线l1的斜率为,l2的斜率为-9,又×(-9)=-1,所以l1⊥l2,充分性成立;直线l1:mx+3y-3=0,l2:(3m-2)x+my+1=0,若l1⊥l2,则有m(3m-2)+3m=0,解得m=0或m=-,必要性不成立. 所以“m=-”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. 3.(5分)当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为(　　) A. B.0 C.-1 D.1 【解析】选C.直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1), 所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,PQ垂直于该直线, 即m×=-1,所以m=-1. 4.(5分)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(　　) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 【解析】选D.设所求直线上任一点(x,y), 则它关于直线x=1的对称点为(2-x,y)在直线x-2y+1=0上, 所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0. 5.(5分)(2024·河南部分学校联考)已知直线l1:x-2y-1=0,l2:2x+my+2-2=0,若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为(　　) A.1 B.2 C. D. 【解析】选A.因为l1∥l2,所以m+4=0, 解得m=-4,经检验符合题意, 所以l2:x-2y+-1=0, 所以l1与l2之间的距离d==1. 6.(5分)(一题多法)已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为(　　) A.-3 B.3 C.-1 D.-3或3 【解析】选D.法一:由题意得=,即|2a+3|=|a+6|, 所以2a+3=a+6或2a+3+a+6=0, 解得a=3或-3. 法二:连接AB(图略),因为A,B两点到直线l的距离相等,则直线AB∥l或AB的中点在直线l上, 则=-a或-a++1=0, 得a=-3或3. 二、多选题 7.(5分)已知直线l1:4x+3y-2=0,l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R),则下列说法正确的有(　　) A.直线l2过定点(2,3) B.当m=10时,l1∥l2 C.当m=-1时,l1⊥l2 D.当l1∥l2时,直线l1,l2之间的距离为3 【解析】选ABD.l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R)变形为m(x+y-5)+2x-y-1=0, 由解得 因此直线l2过定点(2,3),故A正确; 当m=10时,l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,所以=≠,故两直线平行,故B正确; 当m=-1时,l1:4x+3y-2=0,l2:x-2y+4=0,因为4×1+3×(-2)≠0,故两直线不垂直,故C错误; 当l1∥l2时,满足=≠,解得m=10,此时l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,即4x+3y-17=0, 则两直线间的距离为=3,故D正确. 8.(5分)已知直线l1:3x-y-1=0,l2:x+2y-5=0,l3:x-ay-3=0不能围成三角形,则实数a的取值可能为(　　) A.1 B. C.-2 D.-1 【解析】选BCD.因为直线l1的斜率为3,直线l2的斜率为-,所以直线l1,l2一定相交,交点坐标是方程组的解,解得交点坐标为(1,2).当a=0时,直线l3与x轴垂直,方程为x=3不经过点(1,2),所以三条直线能构成三角形;当a≠0时,直线l3的斜率为.当直线l1与直线l3的斜率相等时,即=3⇒a=,此时这两直线平行,因此这三条直线不能构成三角形;当直线l2与直线l3的斜率相等时,即=-⇒a=-2,此时这两直线平行,因此这三条直线不能构成三角形;当直线l3过直线l1,l2交点(1,2)时,三条直线不能构成三角形,即1-2a-3=0⇒a=-1. 三、填空题 9.(5分)已知入射光线经过点A(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点B(3,8),则反射光线所在直线的斜率为___________.  【解析】设点A(-3,4)关于直线l:x-y+3=0对称的点为A'(a,b), 则解得故A'(1,0).反射光线经过点A',B,所以kA'B==4, 即反射光线所在直线的斜率为4. 答案:4 10.(5分)已知两直线a1x+b1y-1=0和a2x+b2y-1=0的交点为P(2,3),则过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程为________.  【解析】因为P(2,3)在已知的两条直线上,所以所以点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)是直线2x+3y-1=0上的两个点,故过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y-1=0. 答案:2x+3y-1=0 【能力提升练】 11.(5分)(2024·青岛模拟)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　) A.3 B.2 C. D.4 【解析】选A.由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x+y+c=0,则=, 即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上, 所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3. 12.(5分)(2024·南京师大附中模拟)已知实数a>0,b<0,则的取值范围是(　　) A.[-2,-1) B.(-2,-1) C.(-2,-1] D.[-2,-1] 【解析】选A.根据题意,设直线l:ax+by=0恒过原点, 那么点A(1,-)到直线l的距离为d=. 因为a>0,b<0,所以d=, 且直线l的斜率k=->0, 当直线l的斜率不存在时,d==1, 所以d>1. 当OA⊥l时,dmax=|OA|==2, 所以1<d≤2,即1<≤2, 所以-2≤<-1. 13.(5分)(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 【解析】选BC.由题意知,当点M到直线的距离不超过4时,符合要求. 对于A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离为=3>4,故不符合题意; 对于B,点M(5,0)到直线y=2的距离为2-0=2<4,故符合题意; 对于C,点M(5,0)到直线y=x的距离为=4,故符合题意; 对于D,点M(5,0)到直线y=2x+1的距离为=>4,故不符合题意. 14.(5分)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,则直线BC的方程为_________________.  【解析】由题意知kAC=-2,A(5,1), 所以直线AC的方程为2x+y-11=0,联立直线AC和直线CM的方程, 得所以C(4,3). 设B(x0,y0),AB的中点M为(,), 代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0, 所以 所以B(-1,-3),所以kBC=, 所以直线BC的方程为y-3=(x-4), 即6x-5y-9=0. 答案:6x-5y-9=0 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)已知:直线l1:cos θx+sin θy=1,直线l2:cos θx-sin θy=1,直线l3:sin θx+cos θy=1,直线l4:sin θx-cos θy=1,则下列说法正确的是(　　) A.对任意的θ∈R,l2⊥l3恒成立 B.对任意的θ∈R,l1∥l4恒成立 C.存在θ∈R,使得l1⊥l3成立 D.存在θ∈R,使得l2∥l4成立 【解析】选ACD.A.因为直线l2:cos θx-sin θy=1,直线l3:sin θx+cos θy=1, 又因为cos θsin θ+(-sin θcos θ)=0,θ∈R,故l2⊥l3恒成立,选项正确,符合题意; B.因为l1:cos θx+sin θy=1,l4:sin θx-cos θy=1, 又因为cos θ(-cos θ)-sin θsin θ=-1≠0,故θ∈R,l1∥l4不成立,选项错误,不符合题意; C.因为l1:cos θx+sin θy=1,l3:sin θx+cos θy=1,又因为当θ=时,cos θsin θ+sin θcos θ=0,故l1⊥l3成立,选项正确,符合题意; D.因为l2:cos θx-sin θy=1,l4:sin θx-cos θy=1,又因为当θ=时,cos θ(-cos θ)-sin θ(-sin θ)=sin2θ-cos2θ=0, 且-1×(-sin θ)-(-cos θ)×(-1)=≠0,使得l2∥l4成立,选项正确,符合题意. 16.(5分)如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到直线l1,l2的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为________.  【解析】以A为坐标原点,平行于l1的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 设B(a,-2),C(b,3). 因为AC⊥AB,所以·=0, 即ab-6=0,所以ab=6,b=. Rt△ABC的面积S=·=·=≥ =6(当且仅当a2=4时取等号), 所以△ABC的面积的最小值为6. 答案:6 - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $