规范练43 空间点、直线、平面之间的位置关系-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间位置关系核心考点，基础巩固与综合提升梯度分明，适配一轮复习对概念辨析和空间想象能力的训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|平面确定（第1题）、异面直线判定（第2题）、空间角计算（第8题）|基础题辨析概念（如第1题平面确定条件）| |多选|1题/6分|正方体截面与空间角（第12题）|综合考查空间想象与逻辑推理| |填空|2题/10分|圆柱（第13题）、圆锥（第14题）中异面直线问题|结合旋转体考查空间距离与角| |解答|1题/13分|正四棱台中点共面及三线共点证明（第9题）|注重几何证明与空间结构分析|

课时规范练43　空间点、直线、平面之间的位置关系 (分值:79分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.下列条件一定能确定一个平面的是(　　) A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点 C.两条相互垂直的直线 D.两条相互平行的直线 2.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a,b是异面直线,A,B是a上的两点,C,D是b上的两点,M,N分别是线段AC,BD的中点,则MN和a的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 4.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D(点D不同于A,B,C),过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ与平面β的交线必过(　　) A.点A B.点B C.点C,但不过点D D.点C和点D 5.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分,则n的最小值与最大值之和为(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 6.(2025·山东济南模拟)如图,下列正方体中,M,N,P,Q分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线MN和PQ为异面直线的是(　　) A. B. C. D. 7.已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长均相等,则直线SA与其他经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AC=BC=1,则异面直线A1C,AB所成角的大小是(　　) A. B. C. D. 9.(13分)如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点. 证明:(1)E,F,G,H四点共面; (2)GE,FH,BB1相交于一点. 综合提升练 10.将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是(　　) ① ② ③ ④ A.①④ B.②③ C.①② D.③④ 11.如图,已知正四面体ABCD的棱长为1,M,N分别是BC与AD的中点,则异面直线AM和CN所成角的余弦值为(　　) (第11题图) A. B. C. D. 12.(多选题)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,则(　　) A.直线EF与BC1所成的角为60° B.过空间中一点有且仅有两条直线与A1B1,A1D1所成的角都是60° C.过A1,E,F三点的平面截该正方体,所得截面图形的周长为3+2 D.过直线EF的平面截正方体,所得截面图形可以是五边形 13.如图,已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1,B,A分别为上、下底面圆周上的点,若异面直线O1B,O2A所成的角为,则AB=　　　　　. (第13题图) 14.在如图所示的圆锥中,底面直径与母线长均为4,C是底面直径AB所对弧的中点,D是母线PA的中点,则异面直线AB与CD所成角的正切值为　　　　　. (第14题图) 参考答案 课时规范练43　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.D　解析 空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面,故A错误;空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面,故B错误;两条相互垂直的直线,可能共面垂直,也可能异面垂直,故C错误;两条相互平行的直线能确定一个平面,故D正确.故选D. 2.A　解析 若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若“这两条直线没有公共点”,则“这两条直线可能异面,也可能平行”.故“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要条件. 3.A　解析 若MN与AB平行或相交,则MN与AB共面,设它们的平面为α.由题知C∈直线AM,D∈直线BN,所以C∈α,D∈α.又A∈α,B∈α,所以a⊂α,b⊂α,与a,b异面矛盾.故MN与AB异面,即MN与a异面.故选A. 4.D　解析 假设A∈β,因为A∈α,则A∈(α∩β).又α∩β=l,所以A∈l.因为A∈AB,所以A∈(AB∩l),与AB∩l=D矛盾,则A∉β,即平面γ,β的交线不过点A,故A错误;同理,B错误;因为C∈β,C∈γ,D∈l⊂β,D∈AB⊂γ,所以C∈(β∩γ),D∈(β∩γ),即点C,D在平面β与γ的交线上,故C错误,D正确.故选D. 5.B　解析 按照三个平面中平行的个数来分类: (1)三个平面两两平行,如图1,可将空间分成4个部分; (2)两个平面平行,第三个平面与这两个平行平面相交,如图2,可将空间分成6个部分; 图1 图2 (3)三个平面两两不平行: ①三个平面两两相交且交线互相平行,如图3,可将空间分成7个部分; ②三个平面两两相交且三条交线交于一点,如图4,可将空间分成8个部分; ③三个平面两两相交且交线重合,如图5,可将空间分成6个部分. 图3 图4 图5 综上,三个不互相重合的平面可以将空间分成4个、6个、7个、8个部分,故n的最小值与最大值之和为12.故选B. 6.D　解析 对于A,如图,PQ∥CD∥AB∥MN,则M,N,P,Q四点共面,故A错误; 对于B,如图,MP∥GH∥EF∥NQ,则M,N,P,Q四点共面,故B错误; 对于C,如图,MP∥KL∥NQ,则M,N,P,Q四点共面,故C错误; 对于D,如图,PQ∈平面MPQ,N∉平面MPQ,M∈平面MPQ,M∉直线PQ,则MN与PQ是异面直线,故D正确.故选D. 7.A　解析 如图,因为四棱锥S-ABCD是正四棱锥,且所有棱长均相等,所以∠SAB=60°,故C可能成立; 易知,△SAC为直角三角形,则∠ASC=90°,∠SAC=45°,故B,D可能成立; SA与其余的棱或对角线都不能成30°,故A不可能成立.故选A. 8.C　解析 如图所示,连接B1C. ∵A1B1∥AB, ∴∠B1A1C或其补角为异面直线A1C,AB所成角. ∵AA1=AC=BC=1,∴A1C=,B1C=. 又AC⊥BC,∴AB=A1B1=. 在△B1A1C中,∵A1B1=A1C=B1C=,∴△B1A1C是正三角形, ∴∠B1A1C=.故选C. 9.证明 (1)连接AC,A1C1,如图所示. 因为ABCD-A1B1C1D1为正四棱台,所以A1C1∥AC.又E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点,所以EF∥A1C1,GH∥AC, 则EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面. (2)因为A1C1≠AC,所以EF≠GH,所以四边形EFHG为梯形,则直线EG与FH必相交.设EG∩FH=P,因为EG⊂平面AA1B1B,所以P∈平面AA1B1B.因为FH⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C.又平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,所以P∈BB1,则GE,FH,BB1交于一点. 10.A　解析 ①对应图1,Q是平面PMN外一点,M在平面PMN内,且M不在直线PN上,因此QM与PN是异面直线,①正确; ②对应图2,Q,N重合,MN与PQ是相交直线,②错误; ③对应图3,由中位线定理得MN∥AB,PQ∥AB,则MN∥PQ,③错误; ④对应图4,由图可得,MN与PQ是异面直线,④正确.故选A. 图1 图2 图3 图4 11.A　解析 如图,连接DM,取DM的中点为P,连接PN,PC.因为P,N分别是MD与AD的中点,故NP∥AM,则∠CNP或其补角即异面直线AM和CN所成角. 又正四面体ABCD各棱长相等,设正四面体棱长为1,则AM=CN=,则PM=PN=. 易知DM⊥BC,则PC=. 在△CPN中,由余弦定理,得 cos∠CNP== .故选A. 12.ACD　解析 对于A,如图所示,连接AC,A1C1,A1B. 因为E,F分别为棱AB,BC的中点,所以EF∥AC.由正方体性质可知,AC∥A1C1,所以EF∥A1C1,所以EF与BC1所成的角即为A1C1与BC1所成的角,即∠A1C1B或其补角.因为△A1BC1是等边三角形,所以∠A1C1B=60°,所以EF与BC1所成的角为60°,故A正确; 对于B,因为直线A1B1,A1D1所成角是90°,且两条直线相交于点A1, 所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4条,故B错误; 对于C,易知平面A1EFC1为过A1,E,F三点的截面,该截面为梯形,显然A1C1=2,A1E=C1F=,EF=,所以截面图形的周长为A1C1+A1E+EF+C1F=2=3+2,故C正确; 对于D,如图所示,分别取AA1,CC1的靠近A,C的三等分点G,H,连接GD1,GE,HD1,HF,易知GE∥HD1,HF∥GD1, 故点D1,G,E,F,H共面,该截面图形为五边形,故D正确.故选ACD. 13.2或　解析 如图,过点A作AD垂直上底面于点D,则AD是圆柱的母线. 连接DB,∵O1O2垂直于底面, ∴AD∥O1O2,AD=O1O2, 则四边形ADO1O2是平行四边形, ∴O1D∥O2A,∴O2A与O1B所成的角就是∠DO1B或其补角. 当∠DO1B=时,△DO1B是等边三角形,则BD=1.在Rt△ABD中,AB=.当∠DO1B=时,在△O1DB中,BD=2×. 在Rt△ABD中,AB==2. 综上,AB=2或. 14.　解析 取PO的中点E,连接DE,CE. 因为D是母线PA的中点,则DE∥AO,则∠CDE或其补角为异面直线AB与CD所成的角. 易知AO⊥OC,AO⊥PO,且DE∥AO, 所以DE⊥EO,DE⊥OC. 又EO∩OC=O,EO,OC⊂平面EOC, 所以DE⊥平面EOC. 因为CE⊂平面EOC,所以DE⊥EC,DE=OA=1. 又△PAB是正三角形,所以PO==2,所以OE=, 则CE=,故tan∠CDE=, 即异面直线AB与CD所成角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $