规范练56 直线与圆锥曲线的位置关系-2027届高三数学一轮复习试题

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线位置关系，以代数法（联立、韦达）、几何法（定义、性质）、点差法构建解题体系，形成“概念-方法-应用”逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题（含2023全国乙卷等真题）|联立方程+判别式（位置判断）、点差法（中点弦）、定义法（焦点弦长）|从曲线方程、离心率等概念出发，通过代数运算与几何性质推导位置关系，解决弦长、切线问题| |综合提升练|5题（多选+解答题）|韦达定理+弦长公式（综合计算）、参数法（动态问题）|整合椭圆、双曲线、抛物线综合应用，强化运算能力与推理能力，培养模型观念|

课时规范练56　直线与圆锥曲线的位置关系 (分值:89分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.已知直线y=-x+1与椭圆=1(a>b>0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率为,焦距为2,则线段AB的长是(　　) A. B. C. D.2 2.(2025·江苏常州模拟)若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:=1有两个不同的交点,则k的取值范围是(　　) A.(0,) B.(,+∞) C.(0,) D.(,+∞) 3.(2025·北京通州模拟)已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|等于(　　) A.16 B.6 C. D.4 4.(2025·内蒙古包头模拟)直线l与双曲线-y2=1交于P,Q两点,线段PQ的中点为M(4,1),则直线l的方程为(　　) A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 5.(2023·全国乙,理11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 6.过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 7.(2025·河北金科大联考)已知椭圆C:=1(a>b>0)与直线y=x+a相切,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 8.(2023·新高考Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A. B. C.- D.- 9.(2023·天津,12)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为　　　　　.  10.(2025·陕西榆林模拟)若直线y=k(x+2)与抛物线y2=4x相切于第一象限的点P,则实数k=　　　　　.  综合提升练 11.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 12.(多选题)(2024·新高考Ⅱ,10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,对P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过点P作l的垂线,垂足为B,则(　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 13.(多选题)(2025·全国1,10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 14.(多选题)(2025·全国2,11)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　　) A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 15.(15分)(2024·新高考Ⅰ,16)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:=1(a>b>0)上两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程. 参考答案 课时规范练56　直线与圆锥曲线的位置关系 1.B　解析 由条件知c=1,e=,所以a=,b=1,椭圆方程为+y2=1.联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),(,-),所以|AB|=. 2.B　解析 双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:=1有两个不同的交点,又直线l过原点,则k>,则k的取值范围是(,+∞).故选B. 3.C　解析 由题意可得,抛物线的焦点F(1,0),由直线的倾斜角为,可知直线AB的斜率为,故直线AB的方程为y=(x-1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=. 由抛物线的定义可知,|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=.故选C. 4.A　解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为线段PQ的中点为M(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2. 又两式相减可得,即=(y1+y2)(y1-y2),所以,即=1,所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-1=x-4, 即y=x-3,经检验符合题意.故选A. 5.D　解析 (方法1)依题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x0,y0),根据选项中点与双曲线的位置关系可知,若为线段AB的中点,则直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,与双曲线方程联立可得(9-k2)x2-2kmx-m2-9=0,则9-k2≠0,Δ=4k2m2+4(9-k2)(m2+9)>0,即k≠±3,且-k2+m2+9>0.由点A,B在双曲线上可得两式作差可得(x1+x2)(x1-x2)-=0,整理得,即9·.对于A,直线AB的斜率为=9,则直线AB的方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8,-k2+m2+9=-81+64+9<0,不合题意;对于B,直线AB的斜率为=-,则直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x-,-k2+m2+9=-+9<0,不合题意;对于C,直线AB的斜率为=3,不合题意;对于D,直线AB的斜率为,则直线AB的方程为y+4=(x+1),即y=x-,-k2+m2+9=-+9>0,符合题意.故选D. (方法2)由题可知若线段AB的中点在直线x=1或直线x=-1上时,只有kAB∈(-3,3)时,AB与双曲线有两个交点.设AB的中点为M,根据双曲线性质有kAB·kOM==9.对于A选项,kOM=1,得kAB=9,不满足;对于B选项,kOM=-2,得kAB=-,不满足;对于C选项,kOM=3,得kAB=3,不满足;对于D选项,kOM=4,得kAB=,满足.故选D. 6.D　解析 (方法1)由题意得双曲线的左焦点为(-2,0),当直线垂直于x轴时,|AB|=2,不符合题意.双曲线的渐近线方程为y=±x,故可设l:y=k(x+2)(k≠±1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(1-k2)x2-4k2x-4k2-2=0,则x1+x2=,x1x2=.由弦长公式知|AB|=·|x1-x2|==4⇒k2+1=|k2-1|,则k=±(-1)或k=±(+1).故存在4条直线满足条件. (方法2)由题意得双曲线的左焦点为(-2,0),当直线垂直于x轴时,|AB|=2, 双曲线的实轴长为2,|AB|=4>2,结合图形可知存在4条直线满足条件. 7.B　解析 联立消去y后整理为(a2+b2)x2+a3x+a4-a2b2=0,有Δ=a6-4(a2+b2)·(a4-a2b2)=a4b2-4a4b2+4a2b4=-3a4b2+4a2b4=0,整理可得a2=b2. 由c2=a2-b2=b2-b2=b2,有a2=4c2,可得e=.故选B. 8.C　解析 如图所示,椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0), 设点F1,F2到直线y=x+m的距离分别为d1,d2,由点到直线的距离公式可知d1=,d2=. 由消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0. ∵y=x+m与椭圆C交于A,B两点, ∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2<m<2. ∵△F1AB的面积是△F2AB的两倍, ∴有·|AB|·d1=2×·|AB|·d2,即d1=2d2,=2,两边平方整理,得3m2+10m+6=0, 解得m=-或m=-3. 又-2<m<2,∴m=-.故选C. 9.6　解析 易知切线的斜率存在,设其方程为y=kx,k≠0,则由题意,得圆C的圆心为(-2,0),半径r=.由,解得k=±.由圆与抛物线的对称性,不妨取直线y=x.直线y=x与曲线y2=2px(p>0)交于点P,则由得P(p,p).因为|OP|=8,所以(p)2+(p)2=64,解得p=6. 10.　解析 (方法1)设P(x0,y0),因为点P在第一象限,所以x0>0. 由y=2,得y'=. 可得解得 (方法2)联立得ky2-4y+8k=0,则Δ=(-4)2-4·k·8k=0,解得k=±. 又切点P位于第一象限,所以->0,即k>0,所以k=. 11.AC　解析 对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A正确;对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由不妨设M(),N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确;对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=,故以MN为直径的圆与l相切,故C正确;对于D,因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC. 12.ABD　解析 准线l的方程为x=-1,与☉A相切,A正确;A(0,4),当P,A,B三点共线时,P(4,4),|PA|=4,|PQ|=,B正确; 当|PB|=2时,P(1,±2),PA与AB显然不垂直,C错误; (方法1)当|PA|=|PB|时,设P(x,y),则,即(y-4)2=2x+1,又y2=4x,即y2-16y+30=0,解得y=8±,对应x的值有两个,所以点P有2个,D正确. (方法2)焦点F(1,0),由|PB|=|PF|,|PB|=|PA|,即|PF|=|PA|,则点P在线段AF的垂直平分线上,此垂直平分线的方程为y=x+,与抛物线方程联立有两组解,所以点P有两个,D正确.故选ABD. 13.ACD　解析 由题意知,F(,0),抛物线的准线方程为x=-. 由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确;设AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x可得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,则|AB|=x1+x2+p=6m2+6,|AB|≥6,故C正确;当m=0时,E(-,0),|AB|=6,|AE|=3,此时|AE|≠|AB|,故B错误;当m=0时,|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18;当m≠0时,直线EF的方程为x=-y+,E(-,3m),|EF|=,S△AEB=|AE|·|BE|sin∠AEB=(6m2+6)=9(m2+1)>9,则|AE|·|BE|>>18,综上可知,|AE|·|BE|≥18,故D正确.故选ACD. 14.ACD　解析 因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-π=,故A正确;以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x,由设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2∶,故B错误;所以|A1M|=,由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=,故C正确;因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2,所以=2=2·2a·b·=2ab=2××2=8,故D正确.故选ACD. 15.解 (1)将点A(0,3),P(3,)的坐标分别代入椭圆C:=1(a>b>0)的方程,得得a2=12,b2=9,所以a=2,c2=a2-b2=12-9=3,所以c=,所以离心率e=. (2)由(1)知椭圆C的方程为=1. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,B(3,-),|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3,此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-3),联立直线l与椭圆C的方程,得消去y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0.设点B(x0,y0),则 所以|PB|=|x0-3|=, 又点A到直线l的距离d=,所以△ABP的面积S==9. 解得k=或k=. 所以直线l的方程为y=x或y=x-3. 学科网（北京）股份有限公司 $