规范练50 两条直线的位置关系 2027届高三数学一轮复习试题

**基本信息** 高中数学一轮复习试题汇编，聚焦“两条直线的位置关系”，涵盖平行、垂直、距离等核心知识点，融合2020全国Ⅲ卷等真题及2025天津、上海等地模拟题，梯度设计适配基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|两直线平行垂直判定（题1）、点到直线距离（题5）|结合2020全国Ⅲ文8等真题，基础题型占比60%| |多选题|2题/12分|直线方程综合应用（题8）、正方形中直线关系（题13）|2025浙江模拟题考查斜率计算，选项分层设计| |填空题|6题/30分|平行线距离（题9）、对称问题（题12）、三角形角平分线（题16）|综合提升题（题16）融合角平分线与对称，体现逻辑推理|

课时规范练50　两条直线的位置关系 (分值:82分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·天津红桥模拟)若直线l1:x-y+1=0与直线l2:x+my=0互相平行,则实数m的值为(　　) A.-2 B.1 C.-1 D.2 2.已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x-3垂直,则(　　) A.A=-2B≠0 B.A=2B≠0 C.B=-2A≠0 D.B=2A≠0 3.已知a2-3a+2=0,则直线l1:ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为(　　) A.垂直或平行 B.垂直或相交 C.平行或相交 D.垂直或重合 4.点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则点P的坐标是(　　) A.(2,0) B.(0,2) C.(-,0) D.(2,0)或(-,0) 5.(2020·全国Ⅲ,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C. D.2 6.已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一点D满足CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标为(　　) A.(-2,-3) B.(2,-3) C.(2,3) D.(-2,3) 7.到直线3x+4y+2=0的距离为1的直线方程为(　　) A.3x+4y+3=0 B.3x+4y+7=0 C.3x+4y+3=0或3x+4y+1=0 D.3x+4y+7=0或3x+4y-3=0 8.(多选题)已知直线l过点P(1,2),且点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等,则l的方程可能是(　　) A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.3x+2y-7=0 D.2x+3y-7=0 9.(2025·上海奉贤二模)已知直线3x+4y-5=0上的动点P和直线3x+4y+10=0上的动点Q,则点P与点Q之间距离的最小值是　　　　.  10.已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线x+y-2=0,则直线l的方程为　　　　　.  11.已知直线l过两条直线x-2y+4=0与4x+3y+5=0的交点,且点A(-1,-2)到直线l的距离为1,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　.  综合提升练 12.如图,在平面直角坐标系中,一个质点从A(,0)处出发,沿直线行进到直线x+2y-3=0上的某一点后,再从该点出发沿直线行进到点B(-2,0)处停止,则该质点行走的最短路程是(　　) A. B.5 C. D. 13.(多选题)(2025·浙江高三第一次模拟考试)已知正方形ABCD在平面直角坐标系中,且直线AC:2x-y+1=0,则直线AB的方程可能为(　　) A.x+3y+1=0 B.x-3y+1=0 C.3x+y+1=0 D.3x-y+1=0 14.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是　　　　　　　　　　.  15.点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　　　.  16.已知三角形的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,则BC边所在直线的方程为　　　　　　　　.  参考答案 课时规范练50　两条直线的位置关系 1.C　解析 由题意,1×m-(-1)×1=0,解得m=-1,此时l1:x-y+1=0,l2:x-y=0,满足题意.故选C. 2.D　解析 直线y=2x-3的斜率为2,又两直线互相垂直,所以直线Ax+By+C=0的斜率为-,即-=-且A≠0,B≠0,所以B=2A≠0.故选D. 3.D　解析 因为a2-3a+2=0,所以a=1或a=2.当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:4x-2y-3=0,k1=-,k2=2,所以k1·k2=-1,则两直线垂直;当a=2时,l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,则两直线重合. 4.D　解析 设P(x,0),所以点P到直线4x-3y-3=0的距离d==1,所以x=2或x=-,所以点P的坐标为(2,0)或(-,0). 5.B　解析 直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为.故选B. 6.D　解析 设D(x,y),由CD⊥AB,且CB∥AD,知kCD·kAB=-1,kCB=kAD, 则解得 所以D(-2,3).故选D. 7.D　解析 设所求直线方程为3x+4y+c=0.由题意知=1,解得c=7或c=-3,即所求直线方程为3x+4y+7=0或3x+4y-3=0.故选D. 8.AC　解析 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点.当直线l∥AB时,因为直线AB的斜率为=-4,所以直线l的方程是y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;当直线l经过线段AB的中点(3,-1)时,l的斜率为=-,此时l的方程是y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0.故选AC. 9.3　解析 直线3x+4y-5=0和直线3x+4y+10=0互相平行,故点P与点Q之间距离的最小值即两条直线间的距离,且两条直线间的距离d==3. 10.x-y-1=0　解析 (方法1)由解得 即点P的坐标为(2,1),因为直线l与直线x+y-2=0垂直,所以直线l的斜率为1,由点斜式得l的方程为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0. (方法2)直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0. 因为直线l与直线x+y-2=0垂直, 所以·(-1)=-1,解得λ=-1,故直线l的方程为x-y-1=0. 11.4x+3y+5=0或x+2=0　解析 (方法1)联立解得 所以直线l过点(-2,1). 当直线l的斜率存在时,设直线l:y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0,点A(-1,-2)到直线l的距离d==1,解得k=-, 此时直线l的方程为4x+3y+5=0; 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,点A(-1,-2)到直线l的距离为|-1-(-2)|=1,满足条件. 综上可知,直线l的方程为4x+3y+5=0或x+2=0. (方法2)同方法1求得直线l过点(-2,1).设直线l:A(x+2)+B(x-1)=0(A2+B2≠0),则由点A(-1,-2)到直线l的距离为1得=1,化简得B(4B-3A)=0,所以B=0或4B=3A. 当B=0时,l:A(x+2)=0,即x+2=0; 当4B=3A时,可取A=4,B=3,则l:4(x+2)+3(x-1)=0,即4x+3y+5=0. 综上可知,直线l的方程为4x+3y+5=0或x+2=0. 12.A　解析 如图所示,作点B关于直线x+2y-3=0的对称点C,连接AC,即为质点行走的最短路程. 设点B(-2,0)关于直线x+2y-3=0的对称点为C(x1,y1). 由题意可得 解得即点C(0,4). 在直线x+2y-3=0上取点P,连接PC,则|PB|=|PC|. 所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC|=,当且仅当A,P,C三点共线时,等号成立,所以质点行走的最短总路程为. 13.BC　解析 设直线AB的倾斜角为α,直线AC的倾斜角为β,直线AC斜率为2,有tan β=2,则<β<. 依题意有α-β=或β-α=. 当α-β=时,tan(α-β)==tan,即=1,解得tan α=-3,即直线AB的斜率为-3,C选项中的直线斜率符合; 当β-α=时,tan(β-α)==tan,即=1,解得tan α=,即直线AB的斜率为,B选项中的直线斜率符合.故选BC. 14.a≠±1且a≠-2　解析 为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不交于同一点. ①若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1; ②若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1; ③若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1; ④若三条直线交于一点,由解得 将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,解得a=1(舍去)或a=-2.所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1且a≠-2. 15.[]　解析 记d为点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离,则d=·|5sin(θ+φ)-12|,其中tan φ=. 当θ变化时,5sin(θ+φ)的最大值为5,最小值为-5, 则d的最大值为,d的最小值为,即距离的取值范围为[]. 16.2x-y+3=0　解析 易得点A不在l1和l2上,因此l1,l2为∠B,∠C的平分线,所以点A关于l1,l2的对称点在BC边所在的直线上. 设点A关于l1的对称点为A1(x1,y1),点A关于l2的对称点为A2(x2,y2). 则解得 所以点A1(0,3). 同理得点A关于l2的对称点A2的坐标为(-2,-1),所以BC边所在直线的方程为,即2x-y+3=0. 学科网（北京）股份有限公司 $