训练47 直线的方程-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 第八章 平面解析几何 训练47 直线的方程 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） A.m=-4,n=-3 B.m=4,n=3 1.下列四个命题中，正确的是 ( ) C.m=4,n=-3 D.m=一4，n=3 A.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 为a 7.下列说法正确的是 ( B.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 tan a x+y=a(a∈R)表示 C.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.方程m,x+y一2=0(m∈R)表示的直线的斜率 D.直线的倾斜角的取值范围是[0，π) 一定存在 2.如图，已知直线11l2,l3的斜 C.倾斜角为90°的直线不存在斜率 率分别为k1,k2,k3,则（) D.经过两点P1(x1y1),P2(x2y2)(x1≠x2)的 A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 直线方程为y-y=二业(x一1) x2一x1 C.k3<k2<k1 8.已知点P(1,1)与直线1：x一y十1=0，下列说法 D.k1<k3<k2 正确的是 () 3.直线x一√3y十1=0的倾斜角是 A.过点P且在两坐标轴上截距相等的直线与直线 A.30° B.60° 1一定垂直 C.120° D.150° B.过点P且与坐标轴围成的三角形的面积为2的 4.(2024·山东济南一模)已知直线1的倾斜角为 直线有3条 60°，且经过点(0,1)，则直线1的方程为() C.点P关于直线1的对称点坐标为(0,2) A.y=√3x B.y 3x+1 D.直线1关于点P对称的直线方程为x一y一1=0 9.已知直线l:y=ax一a十1，下列说法正确的是 C.y=√3x+1 D.y=-5x+1 () 5.(2024·河南安阳模拟)已知点A(2,一3)， A.直线1过定点(-1,1) B(-3,-2).若直线1：mx+y-m-1=0与线 B.当a=1时，l关于x轴的对称直线为x十y=0 段AB相交，则实数m的取值范围是() C.直线1一定经过第四象限 A(,-]U,+e) D.点P(3,一1)到直线1的最大距离为2√2 三、填空题（每小题5分，共15分）》 10.若直线的斜率k∈[1√5)，则直线l的倾斜角0 c(+) 的取值范围为 得分 11.已知直线1过点(3,1)，且在x轴上的截距是在y n 轴上截距的3倍，则直线1的方程为 6.若直线y=-(+)在y轴上的截距为-1， 得分 12.已知直线1经过点P(√2,1)，且倾斜角等于直线 且它的倾斜角是直线y一女十号的颜斜角的2 y=一√3x+3的倾斜角的一半，则直线1的点斜 倍，则 式方程为 得分 (横线下方不可作答) 353 第八章 平面解析几何 四、解答题（共37分） 14.(19分)(2025·湖南长沙重点中学摸底)已知直 13.(18分)设直线l的方程为(a+1)x十y+2-a= 线l:(a-1)y=(2a-3)x+1. 得分☐ 0(a∈R) 得分■ (1)求证：直线1过定点； (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程. (2)若直线1不经过第二象限，求实数a的取值 (2)是否存在实数a,使得直线1不经过第二象 范围； 限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请 (3)当直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形 说明理由. 面积最小时，求1的方程. 红对勾·讲与练354 高三数学·基础版 ■以n2=(2,-√2,0)，n1·n2=1× 2+√2×(-√2)+0=0， 所以平面ADO⊥平面BEF (3)由(2)知，平面ADO的一个法向 量为n1=(1,√2，W3),平面AC0的 一个法向量为ng=(0,0,1), 所以cos(n1,n3〉= n1·ng n1·ng √5 W1+2+3 21 因为〈n1na)∈[0，π]，所以sin(n1, m:〉=√-c0s(m1,)=, 2 故二面角D-A0-C的正弦值为 2 第八章 平面解析几何 训练47直线的方程 1.D对于A,直线y=x的斜率为1，而 n5匹=1，显然5不是直线y=x的 tan 4 倾斜角，故A错误；对于B,直线x=1 的领斜角为2，而直线工=1的斜率不 存在，故B错误；对于C,坐标平面内的 任何一条直线均有倾斜角，而垂直于工 轴的直线没有斜率，故C错误；对于D, 直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故 D正确.故选D. 2.D设直线11，l2,l:的倾斜角分别为 a1,a2,a3,由题图知，直线l1的倾斜角 a1为钝角，.k1<0.又直线l2,la的倾 斜角a2,a3均为锐角，且a2>a3, 0<kg<k2k1<k<k2.故选D. 3.A因为直线x-√3y十1=0的斜率 k= 是= 后=兮，所以其领斜角为30，故 选A. 4.C由题意知，直线1的斜率为√3，且 经过点(0,1)，则直线l的方程为y 3x十1.故选C. 5.A直线l的方程m.x十y-m-1= 0可写成m(x-1)十y-1=0,令 -二80架得化：重线1必 y-1=0, 过定点P1,1).如图kA=2-1 -3-1 -4,k PB =子直线 -3-1 l:mx十y-m一1=0与线段AB相交， y 4 2\P -4-2710八24 B -2 A 由图象知，一m≥子或一m≤一4， 解得m≤子或m≥4，则实数m的 取位龙周是人0，-]U[4 十∞).故选A. 6.Dy=-"(x+3)=-mx 72 n =-1,解得n=3,则y= 1 3x-1,设直线y=2x 3的倾 针角为a,则1an0=子，得an2a 2× 1 2tan a 2 44 1-tan'a 1-() 3则 m 3 号解得m=一4故选D 7.BCD对于A,当直线过原点时，直线 在两坐标轴上的裁距相等，如y=2x 但不能用x十y=a(a∈R)表示，故A 错误；对于B,方程m.x十y-2= 0(m∈R)表示的直线的斜率为一， 故B正确：对于C,若直线倾斜角为 90°，则该直线斜率不存在，故C正确； 对于D,经过两，点P1(x1y1),P2(x2, y2)(x1≠x2)的直线的斜率存在，斜 率6=二出，结合直线的点斜式方 xg一x1 程可知D正确.故选BCD. 8.BCD对于A,当在两坐标轴上的截距 都为0时，直线y=x与直线l平行，故 A错误；对于B设直线方程为工 义=1，因为直线过点P(1,1),所以 a十b=ab①，又过，点P的直线与坐标 轴国成的三角形的面积为？b=2, 片以山=@，由①@，得份二2x a=-2-2W2, a三2.5或62+2瓦， b=-2-2√2 共有3组解，所以符合题意的直线有3 条，故B正确；对于C,设点P关于直线 1的对称点坐标为(x,y),则 y-1 Jx-1 ×1=-1, x十1_y+1+1=0, 2 2 解将化二28：申点P关于直线1的时称 点坐标为(0,2)，故C正确：对于D,设 直线l关于点P对称的直线方程为x y+c=0(e≠1)，则有1-1+c w√/1+1 1-1+1 -,解得c=-1,即直线l √1+1 关于点P对称的直线方程为x一y 1=0,故D正确.故选BCD. 9.BD对于A,直 线l:y=ax a+1=a(x- 1)十1，所以直线 H 1过定点Q(1,1), 07 故A错误；对于 B,当a=1时，直 线方程为y=x,l关于x轴的对称直 线为x十y=0,故B正确：对于C,当 a=1时，直线方程为y=x,直线l不 经过第四象限，故C错误；对于D,如图 所示，过点P作PH⊥l于点H,由图 象知，PQ≥PH,点P(3,-1) 到直线l的最大距离d=PQ= √/(3-1)2+(-1-1)2=22，故D 正确.故选BD. o[） k 解析：如图，根据 k=tan8(0∈[0， π))的图象，可以 得出倾斜角日的取 值范司为[只） 11.x-3y=0或x十3y-6=0 解析：当在两坐标轴上的截距都为0 时，设直线方程为y=kx,直线l过，点 《3,1),所以1=3次，解得k=5,直 1 线方程为y=3x,即x一3)=0：当 在两坐标轴上的截距都不为0时，设 在y轴上的裁距为a,则在x轴上的 截范为3a,则直线方程为后十音- 1,直线1过点(3,1，所以。十一 1,解得@=2，直线方程为后十兰 1,即x十3y一6=0.综上所述，直线l的 方程为x-3y=0或x十3y-6=0. 12.y-1=√3(x-√2) 解析：设直线y=一√3x十3的倾斜 角为01，则斜率k1=tan01=一√3， 2π 又0≤01<，故01=写，设直线1的 领斛角为0，则0=？=，直线1的 斜率k=tan=5,又直线l经过 点P(√2,1)，则直线l的点斜式方程 为y-1=3(x-√2). 13.解：(1)当a=一1时，直线l平行于x 轴，在x轴上无截距，不合题意，则 a≠-1，直线l在x,y轴上的截距分 别为a二2 a+1a2, 依题意，a一2 =a一2，解得a=2或 'a+1 a=0, 当a=2时，直线l的方程为3x十y= 0,当a=0时，直线l的方程为x十 y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或 x+y+2=0. (2)假设存在实数a,使得直线l不经 过第二象限， 直线l的方程化为y=一(a+1)x+ a-2, 则有仁2》≥0解得。冬-1上 所以存在实数α，使得直线l不经过第 二象限，a的取值范围为（一∞，一1]. 14.解：(1)证明：(a-1)y=(2a-3)x+ 1,即a(2x-y)-3x十y十1=0， 令仁71=0每得行二2： y=2, 所以直线过定点(1,2). 参考答案557 (2)当a=1时，直线斜率不存在，直 线方程为x=1,不经过第二象限， 成立； 当a≠1时，直线斜率存在，直线方程 为y= 2a-3 a-x+。- 又直线不经过第二象限，则 2a-3≥0， a-1 解得a<1. 1 a1s0, 综上所述，实数a的取值范围为 a1. (3)已知直线l:(a-1)y=(2a 3)x十1，且由题意知a≠1， 令x=0,得y=1 -1>0,得a>1, 令y=0,得x=3-2a >0,得a 则s-××a -4a2+10a-6 1 1 4(-)+ (1<a<): 所以当a=三时，S取最小值， 4 此时直线1的方程为（任-1）小y- (2×号-)x+1,即2z+y-4=0 训练48两条直线的位置关系 1.A点P(1,-2)到直线l:x-y-2= 1 0的距离d= W1+12 √ 之故选A 2.C设直线l的方程为x一2y十k= 0(k≠5)，又直线1过，点(1,0)，所以1+ k=0,即k=一1，故直线1的方程为 x一2y一1=0.故选C. 3.B直线l:x-2y十1=0的斜率为 1 ,而所求直线套直于直线1，则所求 直线斜率为一2，于是有y十1= 一2(x-1),即2x十y-1=0,所以所 求直线方程为2x十y一1=0.故选B. 4.B因为直线-3x十4y-3=0与直 线6x十my-14=0平行，所以 -3m=4X6,解得m=一8，所以直线 6x+my-14=0,即6.x-8y-14= 0,即一3x十4y十7=0，所以两平行线 之间的距离d= -3-71 =2. √/(-3)2+4 故选B. 5.A若两条直线x十2my-1=0, (3m一2)x一my一1=0平行，则两直 线斜率相等或斜率均不存在，当两直 线斜率均不存在时，m=0,两直线方 程为工=1，江=7，成立：当两直线 斜率存在时，一2m 3m一2，解得 m m=2,两直线方程为x十y-1=0, 5582对闪·讲与练·高三数学· x十y十2=0，成立，综上，m=0或 m=子所以“m=号”是“两条直线 x+2my-1=0,(3m-2)x-my 1=0平行”的充分不必要条件，故 选A. 6.D设直线l与直线x-y一9=0平 行，且与函数f(x)=e十x2的图象 相切，切点为Q(t,e十t2),因为 f(x)=e十2x是单调递增函数，直 线x一y-9=0的斜率为1，所以 f'(t)=e十2t=1,得t=0,即切，点为 Q(0,1),所以点P到直线x一y一9= 0的距离的最小值是点Q(0,1)到直线 x一y一9=0的距离，即为 10-1-9=5反.故选D. √2 7.ACD直线l的倾斜角等于30°，则直 线1的斜争为1an30=气对于A,因 为直线1的斜率为，所以1的一个另 向向量为n=(W,1),A正确；对于B, m·n=√5+5=25≠0，故m= (1,√3)不是直线l的法向量，B错误： 对于C,直线√3x-3y十2=0的斜率 为5，且不过点(0,1)，其与1平行，C 3 正确；对于D,直线W3x十y十2=0的 斜率为一√3，则两直线斜率之积为 一1，故两直线垂直，D正确.故 选ACD. 8.ABD对于A,当A2=0时，l2斜率为 0,与x轴平行或重合，故A正确；对于 B,当B1=0时，l1斜率不存在，当 B1≠0时，1斜率存在，能表示任意直 线，故B正确；对于C,若A1B2一 A2B1=0,且AC2一A2C1≠0或 B1C2-B,C1≠0，则l1∥l2,故C错 误；对于D,若B1B2≠0，则由A1A2 B,B2=0可得斜率之积为一1，故l1 l2,若B1=0(B2=0),可得A2= 0(A1=0),此时满足A1A2十B1B2= 0,此时两条直线一条斜率为0，一条斜 率不存在，故11⊥l2,故D正确.故 选ABD. 9.BDl1:(a+1)x+ay+2=0台a(x十 y)十x+2=0,令士)二0解得 1x+2=0, {口=一2即直线1恒过点(-2,2)， y=2, 故A错误；若l1∥l2,则有(a十1)(1 a)=a,且a×(-1)-(1-a)×2≠ 0,解得a=2,故B正确：若1上l, 则有a(a十1)十a(1-a)=0,解得 a=0,故C错误；若直线l2不经过第三 1之0： 象限，则当1-a≠0时，1- ,a≤0，解得0≤a<1,当1 1-a a=0时，直线l2:x=1,也不过第三象 限，综上可知，当0a1时，l,不经 过第三象限，故D正确，故选BD. 基础版 10.y=x十2（答案不唯一） 解析：直线1：x十2y-1=0的斜率 为一2，故只需所求直线斜率不是 。即可，可取过点P且与直线1相 交的一条直线的方程为y=x十2 (答案不唯一) 11.(0,1) 解析：设点A(1,2)关于直线x+y一 2=0的对称，点是B(a,b),则有 a+1+b+2 十 2 2 2=0: 好份=： 故点(1,2)关于直线x+y一2=0的 对称，点是(0,1). 12.x+2y-1=0 解析：由题意可得PQ所在直线方程 为y=4三2+(x十1)，即2x十 y一2=0，联立直线方程 2x十y一2=0·解得入射点的坐标 x十y-1=0, 为(1,0)，设点Q(-1,4)关于直线 x十y-1=0的对称点为N(x,y), y-4、 喇x7×一1）三一1· 解得 二1+x+4+y-1=0, 2 2 口=。3·所以N(-3,2),即反射光 y=2, 线所在直线方程为y一0=2-0 -3-1 (x-1),即x十2y-1=0. 13.解：(1)因为M(1,1),N(3,-1),P(4, -1一1=-1， 0),Q(2,2),所以kN=3-1 2-0 2-4 =-1,即kMN=-1, kPQ=一1. (2)证明：因为k=二1，kPQ= -1,所以MN∥PQ.又因为kMa= 2-1 2-1 一1一0=1，所以 =1,kNP=3-4 MQ∥NP,所以四边形MNPQ为平 行四边形，又因为kMN·kMa 所以MN⊥MQ,所以四边形MNPQ 为矩形. 4解：D联立2}8：解得 仔二2：即两直线交点坐标为(1,2》. 因为所求直线垂直于直线3x十4y 5=0,所以所求直线的斜率为专， 故所求直线方程为y二2三(x 1),即4x-3y+2=0. (2)如图，设点B(0,2)关于直线11对 称的点为C(x,y), y一2= 1 则x 3 号×3-y十2-1=0， 2 9 即c(》 x= 解得 y=5