绵阳市2025-2026学年高二下学期数学期末模拟练习

**基本信息** 以现实情境与数学思维融合为特色，覆盖函数导数、数列、概率统计等高二核心知识，梯度设计适配期末综合测评，解答题注重多考点综合与实际应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|平均变化率、充要条件、排列组合|基础概念辨析，考查抽象能力与运算能力| |多选|3/18|正态分布、数列性质、函数图像|综合知识应用，如化学实验误差分析，体现数据意识| |填空|3/15|函数极值、概率递推、参数范围|情境化问题，如日常套餐选择概率，培养模型观念| |解答|5/77|概率分布列、期望计算、导数综合、数列求和|多问递进设计，如数学考试得分策略优化，考查推理能力与应用意识|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B C C B B AC ABC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据平均变化率的定义计算可得. 【详解】. 故选：C. 2．B 【分析】分别求出和为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即得答案. 【详解】是等比数列，. 由，得，即， 所以，所以，所以或， 所以的充要条件为或. 又，所以数列为递增数列的充要条件为， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“为递增数列的必要不充分条件”. 故选：B. 3．A 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，， 则，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确. 故选：A. 4．B 【分析】根据题意，分为两类：个位数字是0和个位数字是5，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，能被5整除的没有重复的三位数分成两类： ①个位数字是0，有； ②个位数字是5，先填百位再填十位，有种， 由分步计数原理，可得共有种. 故选：B． 5．C 【答案】A 【解析】相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为. 故选：A. 6．C 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：C 7．B 【分析】由得，两式相减化为，再利用对数的运算性质化简，由裂项相消法可得，然后利用累乘法可得结果. 【详解】因为， 所以，， ，， 又，也符合上式， 所以， ， ， ， 故选：B. 8．B 【分析】构建，利用导数判断单调性可得，构建，利用导数判断单调性可证，进而可得，即可得结果. 【详解】构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 因为， 可知，即； 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，即， 可得，且，则，即； 综上所述：. 故选：B. 9．AC 【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D. 【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小. 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误； 故C正确; 而对于任何正态分布都有 故，故D错误. 故选：AC. 10．ABC 【分析】根据前项和与通项之间的关系求得．对于A：根据等比数列定义分析判断；对于B：根据等差数列定义分析判断；对于C：根据等比数列求和公式分析判断；对于D：举反例说明即可． 【详解】因为①， 若，则，即； 若，则②， ①减②可得，即； 且符合上式，所以． 对于选项A：因为，且， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，故A正确； 对于选项B：因为， 所以数列为首项与公比都为的等差数列，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，，， 显然，所以数列不是等比数列，故D错误； 故选：ABC． 11．ACD 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，由单调性的应用即可判断；对于B，由即可判断；对于C,由题可得则,令,可得,,从而将问题转化为证,构造函数,结合导数研究函数的最小值即可求解；对于D，将问题转化为，当时，，由于在上单调递增可得，即在时恒成立，构造函数,结合导数求出函数的最小值即可求解. 【详解】对于A，,则,所以当,,则在上单调递减，当时，,则在上单调递增，所以,故A正确； 对于B,由于,由于,所以,则，故B不正确； 对于C，,由A选项不妨假设,则,则,令,则,所以,解得：,, 要证，即证,即证,设,则,所以在上单调递增，则，则,所以,故C正确． 对于D,在恒成立，即在恒成立， 则，当时，，由于在上单调递增，， 即在时恒成立，令,则,令,解得：,所以在上单调递增， 令,解得：,所以在上单调递减，则,所以,故D正确． 故选：ACD 12．1 【分析】对进行求导并判断其单调性即可求出. 【详解】由题意得，，恒成立，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减，是的极大值点，且的极大值为. 故答案为：. 13．/ 【分析】设小明第天选择米饭套餐的概率为，选择面食套餐的概率为，且，进而利用全全概率公式计算即可. 【详解】设小明第天选择米饭套餐的概率为，选择面食套餐的概率为，且， 根据题意可得， 根据题意可得， 所以，， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】变形给定不等式，再构造函数与，求出它们的最值即可得解. 【详解】函数定义域为， 不等式， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，； 设，则，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 于是，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 15．(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）求出的可能取值及对应的概率，列出分布列即可得解. （2）根据条件概率的公式计算即可得解. 【详解】（1）由题意，次品数的可能取值为， 则，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件 “恰好有2件次品”， 则. 16．(1)2 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）应用二项分布计算数学期望即可； （2）结合二项分布的数学期望及数学期望的性质计算求解； （3）列出对应概率后根据3和的大小关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，得，所以，即的数学期望为2. （2）由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. （3）对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 17．(1) (2) 【分析】（1）若选择①得到，得到等比数列公比为，计算得到，若选择②，计算，得到公比，计算得到通项公式. （2）确定，，利用裂项相消法得到，得到实数的取值范围. 【详解】（1）若选择条件①：且，则， 两式相减，， 又，，解得， 则为公比的等比数列， 因此数列的通项公式为：； 若选择条件②：为等比数列，且满足， 则，， 因此可得， 则. （2）由（1）知，， 则， ， 又，则，故， 要使不等式恒成立，则，即. 18．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，由不等式，转化为得 恒成立，即，得到恒成立，求得数对组成的集合； （3）根据题意，仅考虑的情形，设，由0是函数的一个零点，可分，，和，四种情况讨论，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得，所以， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）解：由， 可得，即， 又因为，所以， 所以，即， 整理得恒成立，所以，解， 所以符合要求的数对组成的集合为． （3）解：若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形， 设，显然，0是函数的一个零点， 若，不符合题意，舍去； 若，则由，且， 因此在中另有一根，矛盾； 若，则由， 因此在中另有一根，矛盾； 从而，以下证明，对任意符合题意， 当时，由图象在连接两点的线段的上方， 可得，即， 当时，，即， 当时，，则， 因此有且仅有一个解， 即在满足题意， 综上所述，实数的取值范围是． 19．(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由题当个点中任意三点都不共线时，连接线段条数最大，进而得解； （2）（ⅰ）求出随机变量的取值对应的概率，列出分布列求出期望；（ⅱ）由题，有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为3，当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为5，当三个异色点构成三角形时，赋值和为6，分别求出相应的概率得到期望的表达式，作差得证. 【详解】（1）红蓝、蓝黄、黄红三对里，每对中两种颜色均有个点，则当个点中任意三点都不共线时，连接线段条数取最大值. （2）（ⅰ）端点颜色的所有可能情况为红蓝、蓝黄、黄红、红红、蓝蓝、黄黄， 端点颜色相同的线段有条，端点颜色不同的线段有条，线段总条数为， 则，， 的分布列为： 1 2 所以数学期望. （ⅱ）共有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为3，有种可能， 当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为5，有种可能， 当三个异色点构成三角形时，赋值和为6，有种可能， 从个点中任取三个点，共有种可能， 则， 所以， 因为，所以，，即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市高2024级高二下学期期末模拟练习 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则从1到的平均变化率为 A． B． C． D． 2．设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为 A． B．0 C．1 D．3 4．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的个数是 A．48 B．36 C．32 D．24 5．在的展开式中，项的系数为 A． B． C． D． 6．已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为 A． B． C． D． 7．已知数列满足，数列的前项和为，则 A． B． C． D． 8．已知是自然对数的底数，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则 A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲小组更集中 C． D． 10．已知数列的前项和为，满足，则 A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D．数列是等比数列 11．已知函数，则下列结论正确的是 A． B． C．若方程有两个不相等的实根，则 D．若不等式对恒成立，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的极大值为 . 13．已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，如果小明第一天选择了米饭套餐，则第4天选择米饭套餐的概率是 ． 14．设函数，若，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验． (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率． 16．（本小题满分15分） 已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 17．（本小题满分15分） 已知数列的前n项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，条件①，且；条件②为等比数列，且满足；解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前n项和为，若对任意正整数n，都有，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数． (1)若直线是曲线在处的切线，求的表达式； (2)若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合； (3)当时，方程在区间上恰有1个解，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知平面内有n个红点、n个蓝点、n个黄点（），这3n个点中任意两点都不重合. (1)在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出连接线段条数的最大值； (2)若3n个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值1，端点颜色不同的线段赋值2. （ⅰ）记每条线段的赋值为随机变量X，在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色进行分类（端点无序），求X 的分布列及数学期望； （ⅱ）从3n个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望为，证明：. 高二期末数学试题 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $