命题大赛 四川泸州市2025-2026学年高二下学期期末模拟预测数学试题

**基本信息** 泸州市高二下期期末数学模拟卷，原创题占比高，融合统计抽样、数列、概率模型等情境，覆盖高二核心知识，梯度设计合理，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|分层抽样、直线倾斜角、等差数列前n项和|结合分层抽样实际情境，考查数学抽象与运算能力| |多选|3题18分|数列递推、二项式定理、正方体线面关系|立体几何动态问题，培养空间观念与推理意识| |填空|3题15分|导数切线斜率、小球入盒计数、抛物线性质|原创计数问题，强化数学建模与数据意识| |解答|5题77分|数列证明与求和、三棱台线面角、导数极值、马尔可夫链概率、双曲线综合|马尔可夫链概率模型，体现数学语言表达现实世界，综合考查逻辑推理与创新应用|

泸州市高2024级高二下期期末模拟预测试题 数学参考答案 一 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B B A D A 二. 多选题 题号 9 10 11 答案 ABD BC ACD 三. 填空题 12.-5 13.330 14.3 3 四.解答题 a一，可得 15.解：(1)因为4=1，a1+3 1 1 +3 ……3分 antl an 可得数列 是首项为1，公差为3的等差数列；… ……4分 a 2)由(1)可得=1+3n-=3-2,6 an 则an= 0…●……………●●……0…………●●。7分 3n-2 3)由题可知b2=3n-228分 a 则前项和T,=12+4·2+…+(3n-2·2” 2Tn=1…22+423+…+(3n-22+1…9分 两式相减可得-T=2+3(22+…+2）-(3n-2-21…10分 =2+3.41-2) -(3n-2）-2m州…12分 1-2 化简可得Tn=10+(3n-5)2+1..... ……13分 16.解：(1)取B,C的中点M,连接NM、CM.…1分 因为三棱台ABC,-ABC中，对应边成比例49=4g-BC,且AR11AB,AC11AC,BC,11BC, AC AB BC 知4C2,4C山，所以瓷=所以46B2…3粉 第1页，共2页 因为N为AB的中点，所以BN=。AB三1© …···4分 所以AB/1BN,且AB,=BN=1, 所以四边形ANBB,是平行四边形，所以AN/B,B.· ……5分 又因为B,BC平面B,BCC1,A,Nd平面B,BCC,, A M 所以A,N/平面B,BCC.… …6分 (2)因为平面A,ABB,⊥平面A,ACC1,平面AABB,∩平面AACC,=AA, 且AA⊥AC,ACC平面A,ACC1,所以AC⊥平面AABB,, 又因为ABC平面AABB,,所以AC⊥AB, 因为AA⊥平面ABC,ABc平面ABC,ACC平面ABC,所以AA⊥AB,A,A⊥AC 所以以A为坐标原点，以AB,AC,AA,所在的直线分别为x,y,z轴，· …8分 B 建立如图所示的空间直角坐标系A-z, 可得B(2,0,0),C(0,2,0,C(0,1,2),N(1,0,0),A1(0,0,2）… …9分 则BC=（-2,2,0),AN=(1,0,-2),4C=(0,1,0) B m·4N=x-2z=0 设平面A,NC的法向量为m=（x,y,z),则 ………10分 m·4C=y=0 令x=2,可得y=0,z=1.所以m=2,0,1.…12分 设直线BC与平面AWC,所成的角为O,则 mBC sin0=cos(m,BC) -4 V10 …14分 mBC V2+0+F×-2)2+2+0 所以直线BC与平面4NC所成的角正弦值为0 0…15分 17.解：(1)由题意可知：f(x)的定义域为-1，+0）… 0…1分 且f闲=n(x+1+x=n(x+l-1+1…3分 x+1 x+1 因为y=n(x+1,y=-+1在定义域-1，+0内单调递塔…4分 x+1 所以f'(x在(-1，+0）上单调递增，又'(0)=0……5分 第1页，共2页 当-1<x<0时，f'(x<0;当x>0时，f'(x>0; 可知f(x在(-1,0内单调递减，在(0，+0）内单调递增… …6分 所以函数∫x的极小值为f(0)=0,无极大值.………7分 212-号台x42-号台x+-+ 之0……8分 令A()=n(x+1-x+ 2x>-1, 则)=-1+x= 9…10分 x+1 x+>0在-1+0)上恒成立…。 可知h(x)为(-l,+o）上的增函数，且h(0)=0, 当-1<x<0时，hx)<0,则xhx>0…………………11分 当x>0时，hx>0,则xh(x)>0.…12分 当x=0时，xhx=0.……13分 综上所述： +-+}0.2-号 …15分 18.解：（1)设A为“第1天选择米饭套餐”，4为“第2天选择米饭套餐”，则A为“第1天不选择米饭套餐”， 银然题意P4-子P风-行P叫44利-行P(4风)=1分方 …2分 由全据*会式：P41-P叫4P44+P叫国到P4)-号片 ·…。。··。··。。。·。4分 (2)①设A,为“第n天选择米饭套餐”，则Pn=P(An,PAn=1-Pn…5分 意P44】=4P44)=) 由全概率公式得：P=P叫4=P(44+P可)P(4风)P+l-=-4+号 …9分 园引为-号… 9……10分 所2以引是以告为首，为公比的等比数列.… 4 …11分 ……12分 …14分 第1页，共2页 当正数，-音 25 -< …16分 512 5 因此，当n≥2时，Pn≤ 2≤m,所以m∈ ·…···17分 19. =1; ……3分 24 (2)(i)设P(x%,M(x,),N(x2,y2),如下图所示： 设过点P的切线方程为y-=k(x-x),即x-y+y。-kx=0, …4分 所以圆心0到切线的距离为 %-=2,即(4-)k2+2%+4-听=0，…6分 Vk2+1 因此，2的斜率k,k2是上式中方程的两根，即kk2= 4-6 X…门 又调为-年1.所爱-4受-2 24 所以，12的斜率之积为定值，且定值为2.… …9分 (i)不妨设直线PM的斜率为k,直线PN的斜率为k2, 联立%X-,得2-)2-2张%-xx-好买+2张%-店-4=010分 2x2-y2=4 因为4-)k2+2k+4-y=0, 所以2-k)x2-2k(y%-kx）x-4k+2）=0,…11分 -4k3+2 则xx= 4+2,同理可得x6= …13分 2-k2 2-k 所以点-医+22-4-+2-树 五(2-)(k号+24-k号+23-)' ……14分 因为，=2，所以4-=0，所以5= 2k-5=1,得x+,=0…15分 22k好-k2) 又因为写上=，发星=1，得%+，=0或男=为（舍去）…16分 24 24 所以存在定点A0,0),使得M,N关于点A0,0对称. …17分 第1页，共2页 泸州市高2024级高二下期期末模拟预测 数学试题考点细目表 各题考查的知识点及分值 题号 知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 分层抽样 单选题 5 0.95 基础题 2 直线的倾斜角计算 单选题 5 0.95 基础题 3 平行线间的距离计算 单选题 5 0.88 基础题 4 空间向量线性运算（基底） 单选题 5 0.85 基础题 5 等差数列的性质 单选题 5 0.80 基础题 6 椭圆离心率 单选题 5 0.70 中档题 7 独立事件与互斥事件的判断 单选题 5 0.70 中档题 8 函数同构问题 单选题 5 0.40 较难题 9 等比数列的基础知识 多选题 6 0.75 基础题 10 二项式定理 多选题 6 0.60 中档题 11 正方体有关的综合题 多选题 6 0.40 较难题 12 根据切线斜率求参数 填空题 5 0.80 基础题 13 隔板法 填空题 5 0.65 中档题 14 抛物线的综合题 填空题 5 0.35 难题 15 等差数列的证明与错位相减求和 解答题 13 0.65 中档题 16 空间向量与立体几何 解答题 15 0.60 中档题 17 导函数极值点讨论以及函数不等式证明 解答题 15 0.58 中档题 18 全概率公式与马尔科夫链。 解答题 17 0.40 较难题 19 双曲线几何性质的综合题 解答题 17 0.30 难题 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市高2024级高二下期期末模拟预测试题 数 学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分。考试时间共120分钟。 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号。考试结束，将试卷和答题卡一并交回。 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效。 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高一年级抽取的学生人数为 A．120 B．90 C．100 D．50 2．直线的倾斜角是 A． B． C． D． 3．（原创）两平行线与之间的距离为 A． B． C． D． 4．在四面体中， 点在上，且，点是中点，则 A． B． C． D． 5．（原创）记等差数列的前项和为，，则 A．440 B．550 C．660 D．500 6．若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 7．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是 A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 8．若正实数是方程的根，则 A． B．1 C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列的首项，前n项和为，且，则 A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 10．已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是 A． B． C．除以8所得的余数为1 D． 11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是 A．平面 B．不存在点，使得平面平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为11题图 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（原创）已知曲线在点处的切线斜率为，则_______. 13．（原创）将12个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 14．设抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设与相交于点.若，且的面积为是抛物线上的一点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列满足：，求的前项和． 16． （15分） 如图，三棱台中，平面，平面平面为的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 17.（15分） 已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 18.（17分） 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列；②当时，恒成立，求取值范围． 19.（17分） 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $