期末复习专题第八章 向量的数量积章末复习卷2025-2026学年高一数学人教B版必修第三册

**基本信息** 以向量数量积为核心，整合定义辨析、性质应用、几何综合及创新题型，通过问题链构建概念生成-推理运算-模型应用的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4|定义辨析、充要条件、投影向量|从数量积定义延伸至外积概念，构建向量运算的几何意义| |性质应用|选择5-6、填空13|模长计算、垂直关系|通过数量积公式推导模长与夹角的关系，强化运算能力| |几何综合|选择7-8、填空12/14、解答17-18|动态几何、三角形五心、梯形动点|将数量积与平面图形性质结合，体现模型观念与空间观念| |创新拓展|选择9-11、解答19|新定义运算、多选项判断|通过跨知识整合与新运算设计，发展创新意识与批判性思维|

第八章 向量的数量积章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（    ） A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假 【答案】A 【详解】当以、为邻边组成平行四边形时，如图 其中、，为平行四边形中边上的高，则平行四边形面积，故①真， 当时，，则，反之因为、，若，则，即，故②真. 2．已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，，可得， 若，则，即，解得或， 无法推出一定是，故充分性不成立； 当时，，则，即成立，故必要性成立。 因此“”是“”的必要不充分条件. 3．设为单位向量，，向量的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案. 【详解】依题意，向量在方向上的投影向量为. 4．已知平面单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以以，为邻边构成的平行四边形为菱形， 故其对角线相互垂直，所以向量与的夹角为. 5．若向量，满足，，，则（   ） A． B． C．13 D．52 【答案】B 【详解】两边同时平方得， 则， 所以， ， 所以. 6．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知向量差的坐标求出其模的平方，再利用向量数量积的运算性质求得两向量的数量积，最后计算目标向量模的平方后开方即可得到结果. 【详解】因为，所以 又，所以 ，解得， 所以， 所以. 7．在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知为的中点，又因为为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以，所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以当，的最大值为. 8．在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】用坐标法化向量运算为代数运算 【详解】以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则， 则点，， 因为，则当时，；当时，，所以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知非零向量，，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则与共线 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于A，由数量积的定义即可判断，对于B，根据向量模的定义及向量相等定义判断，对于C，根据数量积的定义及向量共线定义判断，对于D，根据投影向量的计算公式可判断； 【详解】对于A，，可得，即，正确； 对于B，，但方向不定，故不一定相等，错误； 对于C，由得，可得， 即非零向量，方向相同，故与共线，正确； 对于D，因为，为非零向量， 所以在上的投影向量为，错误. 10．下列说法正确的是（    ） A．已知向量，，且，则 B．向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C．若，、分别表示、的面积，则 D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 【答案】AD 【分析】由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由，故，故，故A正确； 对于B，由的夹角为锐角，得且不共线，则， 解得且， 所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件， 故B错误； 对于C，如图设，，由，得， 取的中点，连接，则有，所以， 即，则点为的重心， 设，，的面积分别为，则，，的面积分别为， 由重心的性质可知，所以，则，故C错误； 对于D，如图，作的内角平分线与相交于点， 因为为的单位方向向量，为的单位方向向量， 所以，， 所以，即，所以为等腰三角形， 又因为，且，所以，即为等边三角形，故D正确. 11．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 【答案】ACD 【分析】对于A选项，利用为垂心得到，进而有；对于B选项，利用为重心得到，再根据数量积运算律计算；对于C选项，利用为外心，得到，再根据数量积运算律计算；对于D选项，结合已知边长并运用三角形内心的相关性质计算出和，进而得到，根据平面向量的基本定理可得. 【详解】对于A选项，因为为的垂心，所以，又因为， 所以 ，A正确； 对于B选项，因为为的重心，， 可得，B错误； 对于C选项，因为为的外心，设的中点为，则垂直平分， 所以，同理，所以 ，C正确； 对于D选项，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且，因为， 可得，由内心性质得， 即，得，所以 ， 因为且不共线，所以，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，已知弦，则________. 【答案】2 【详解】过点作，垂足为，则为的中点， 则. 13．已知向量，，且，则________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 14．在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据数量积的运算可得，再由正方形的性质可得最大值. 【详解】连接，取的中点，连接，由题意知，所以， 则． 易知当点与点重合时，取得最大值，且， 故由正方形的性质知， 所以的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示求出值，进而求出向量的模. （3）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示列式求解. 【详解】（1）由向量，，得， 所以. （2）依题意，，由，得，解得， 因此，所以. （3）由与的夹角是钝角，得且与不共线， 因此且，解得且， 所以实数k的取值范围是. 16．已知向量，，，设函数； (1)将函数化为的形式； (2)求的最小正周期与单调递增区间； (3)对，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)． 【分析】（1）平面向量的数量积公式结合二倍角公式及辅助角计算化简； （2）应用正弦函数周期及单调区间计算求解； （3）结合恒成立，利用正弦函数最值计算求解. 【详解】（1）， （2） ， 由得， 故的递增区间为； （3），恒成立 由，得， 故时， ， ， ∴实数的取值范围是． 17．如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标. （1）用表示，可得的值，可求的值. （2）设，利用可求的值. （3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围. 【详解】（1）如图： 以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，， 则，，，，，. 所以， 又，，所以. 又，所以，， 所以. （2）因为，， 由，又，所以. 故. （3）设，， 则，， 所以， 当时，；当或时，. 所以. 18．在中，点满足. (1)若点为AP的中点，试用向量表示； (2)若，求的余弦值； (3)过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值. 【答案】(1)， (2)0 (3)3 【分析】（1）根据，得到，再根据点为AP的中点利用向量的减法运算求解； （2），两边平方求解； （3）根据M，P，N共线，且，得到，再由，利用系数相等得到，利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，又因为点为AP的中点， 所以， 所以； （2）设，由， 得， 即， 解得； （3）因为M，P，N共线，且， 所以， 又因为，则，即， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是3. 19．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“⨂”：．试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)（i）若，用坐标表示； （ii）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）7 (3)9 【分析】（1）根据新定义代入运算即可得解； （2）（i）根据新定义代入运算得解；（ii）由（i）的结论，代入运算得解； （3）由（2）的结论结合基本不等式求解. 【详解】（1）由，可得， 则. （2）（i）由，可得， 因为，故， 故. （ii）由，，可得，， 故. （3）由，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取等号， 因此的最小值为9. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 向量的数量积章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（    ） A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假 2．已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设为单位向量，，向量的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．若向量，满足，，，则（   ） A． B． C．13 D．52 6．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 8．在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知非零向量，，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则与共线 D．若，则在上的投影向量为 10．下列说法正确的是（    ） A．已知向量，，且，则 B．向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C．若，、分别表示、的面积，则 D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 11．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，已知弦，则________. 13．已知向量，，且，则________. 14．在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 16．已知向量，，，设函数； (1)将函数化为的形式； (2)求的最小正周期与单调递增区间； (3)对，不等式恒成立，求m的取值范围． 17．如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 18．在中，点满足. (1)若点为AP的中点，试用向量表示； (2)若，求的余弦值； (3)过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值. 19．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“⨂”：．试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)（i）若，用坐标表示； （ii）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，求的最小值． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $