专题4-8 几种简单几何体的表面积与体积（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦高中数学柱体、椎体、台体、球的表面积与体积计算，先系统梳理侧面积、表面积、体积公式，通过即学即练夯实基础，再分题型进行典例与变式训练，最后综合练习提升应用能力，构建完整学习支架。 资料特色是结合各地期中期末真题设计题型，融入羽毛球曲面面积、玉琮体积等生活实例，通过典例变式培养数学思维与空间观念，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

4-8 表面积与体积 讲义 教学目标 掌握柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法. 教学重点 柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法. 教学难点 台体、球的面积与体积计算公式及方法. 知识点01 面积公式 1.侧面积公式： 圆柱：S圆柱侧2πrl， 圆锥：S圆锥侧πrl， 圆台：S圆台侧＝π(r1＋r2)l. 2.表面积公式： 球体表面积公式：, 【即学即练1-1】（25-26高一下·河北唐山·期中）长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（   ） A．6 B．11 C．18 D．22 【即学即练1-2】(多选)（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 知识点02 体积公式 1.体积公式： 所有椎体体积公式：, 所有柱体体积公式：, 台体体积公式：V＝(S上＋S下＋)h 球体体积公式：, 2.圆柱：, , 圆锥：, , 3.其它公式 1.棱长为的正四面体的内切球：,外接球：；外接球与内切球半径之比为3∶1. 2.设正方体的棱长为a，球的半径为R，则 (1)正方体的外接球：2R＝a； (2)正方体的内切球：2R＝a； (3)正方体的棱切球(球与正方体的各棱都相切)：2R＝a. 3.设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 【即学即练2-1】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【即学即练2-2】(多选)（24-25高一下·云南楚雄·期末）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 题型01 柱体的面积 【典例1-1】（25-26高一下·北京大兴·期中）已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 【典例1-4】（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． 【变式1-1】1．（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【变式1-5】(多选)（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．与底面所成角的正弦值为 C．斜三棱柱的侧面积 D．侧棱到平面的距离为 【变式1-6】（25-26高一上·天津西青·期末）已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 题型02 椎体面积 【典例2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 【典例2-2】（25-26高一下·河北沧州·期中）已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例2-3】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 【典例2-4】（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 【变式2-1】（25-26高一下·山东青岛·期中）圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·福建福州·期中）已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一下·山东济南·期中）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【变式2-5】(多选)（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，，M为边BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为线段的中点，则在翻折过程中，（    ）    A．异面直线CN与所成的角为定值 B．存在某个位置使得 C．点C始终在三棱锥外接球的外部 D．当二面角为60°时，三棱锥的外接球的表面积为 【变式2-6】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 题型03 台体与球的面积 【典例3-1】（25-26高一下·湖南永州·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【典例3-3】(多选)（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【典例3-4】（22-23高一下·福建厦门·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则（    ） A．圆台的母线长为 B．圆台的高为 C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为 【变式3-1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（    ） A．105.5cm2 B．111cm2 C．92.8cm2 D．100.8cm2 【变式3-2】（25-26高一下·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 【变式3-6】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________．    题型04 柱体与椎体的体积 【典例4-1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 【典例4-2】（25-26高一下·山西晋中·期中）如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)（25-26高一下·广东深圳·期中）如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（    ） A．若D是棱中点，则三棱锥的体积为 B．三棱锥体积为定值 C．周长的最小值为 D．棱AB上总存在点E，使得直线平面 【典例4-4】（25-26高一下·山东青岛·期中）四棱锥的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点M，N，T．若N为棱PC的中点，则当四棱锥的体积与四棱锥的体积之比最小时，________． 【变式4-1】（25-26高一下·广东广州·期中）若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26高一下·贵州毕节·期中）2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥．已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C．32 D．64 【变式4-5】(多选)（25-26高一下·重庆·期中）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．若且，则当取得最小值时， C．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 D．若点在以的中点为球心，为半径的球面上，则点的轨迹的长度为 【变式4-6】（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 题型05 台体与球的体积 【典例5-1】（25-26高一下·北京·期中）北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（    ） A．108π平方分米 B．144π平方分米 C．180π平方分米 D．216π平方分米 【典例5-2】（25-26高一下·青海西宁·期中）已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（     ） A．圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B．圆台的侧面积是 C．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D．圆台的体积为 【典例5-3】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 【典例5-4】（25-26高一下·福建福州·期中）若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________. 【变式5-1】（25-26高一下·广东·期中）已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一下·重庆江北·期中）若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．2 【变式5-4】（25-26高一下·山东·期中）刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】(多选)（24-25高一下·湖南·期末）若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 【变式5-6】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 一、单选题 1.（25-26高一下·天津红桥·期中）已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·河北衡水·期中）体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B．2 C． D． 4.（25-26高一下·广东深圳·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·山东济宁·期中）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（   ） A． B． C．28 D．56 6.（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高一下·浙江金华·期末）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 二、多选题 9.（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 10.（25-26高一下·重庆渝北·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 11.（25-26高一下·浙江·期中）正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 三、填空题 12.（25-26高一下·湖北武汉·期中）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 13.（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________． 14.（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，，M，N分别为AC，AB上的动点（不包括端点），将沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCMN．若点均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________． 四、解答题 15.（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面；(2)求证：；(3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 16.（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间. (1)内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为，求这个球体的表面积； (2)学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有效利用空间. 17.（25-26高一下·山东淄博·期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的体积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 18.（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. (1)当时， （i）求证：；（ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 19.（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)用，表示三棱锥的体积； (3)设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-8表面积与体积讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01柱体的面积 题型02椎体面积 4-8表面积与体积 知识点01面积公式 题型03台体与球的面积 题型04柱体与椎体的体积 知识点02体积公式 题型05台体与球的体积 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法. 教学重点 柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法. 教学难点 台体、球的面积与体积计算公式及方法. 知识清单 知识点01面积公式 1.侧面积公式： 圆柱：S圆柱制=2πrl, 圆锥：S圆锥测=兀rl, 圆台：S圆台侧=π(1十)儿. 2.表面积公式： 球体表面积公式：S=4πR2, 【即学即练1-1】(25-26高一下.河北唐山期中)长方体1111 的长宽高分别为1,2,3，则该 长方体的表面积为() A.6 B.11 C.18 D.22 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【详解】由题设长方体的表面积为2(1×2+1×3+2×3)=22. 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一下广东深圳期中)已知圆锥顶点为S,高为1，底面圆O的直径AB长 为23，若C为底面圆周上不同于A,B的任意一点，则下列说法中正确的是() A.圆锥SO的侧面积为2V3π B.过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为√3 C.若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N,且/，则△PMN的周长的最大值为4+2V3 D.若=，E为线段AC上的动点，则+的最小值为√10+2V15 【答案】ACD 第1页共50页 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.22 【知识点】基本不等式求和的最小值、棱柱的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算 【分析】对于A,直接代公式即可求解；对于B,截面为等腰三角形且腰长确定，由基本不等式即可求解： 对于C,利用向量法表示出中线长，结合余弦定理，即可求解；对于D,将三角形 展开，即可求解。 【详解】对于A,由勾股定理得=V1+3=2,由侧面积公式得侧=π=23π，故A正确： 对于B,如图截面为，==2， 设=2，△的高为h,则2+h2=4, 可得么=k≤华=2，当且仅当=h时取等号，放B错误： D G H 对于C,如图，设|=|=， 而+ =2,(+)2=42, 即2+2+2 =4,即2+2+2c0s∠ =4, 又cosL 242=12,所以2+2+2C0s∠ = =4可化为2+2=8， 2 而(+)2=8+2≤8+2+2=16，+≤4，当且仅当=时取得等号. 故△ 的周长为++2V5≤4+23， 即△ 的周长的最大值为4+2V3,故C正确， 对于D,将△ 翻折到平面上，如图，+的最小值即为1， A长 B C 如图，另作出平面图形如下， E S 易得=V6,1=1=2,人 =45°， 且cosk1=9sink1=项 4 第2页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由两角和的余弦公式得cos41 =os1+459=9x号-平×9--5 24 2 4 在△ 中，1=2， =2V3,1=√12+2-21·c0s21 √4+12-2×2×2V3×-5 =V10+2V15 4 可得+ 的最小值即为V10+2V15,故D正确. 知识点02体积公式 1.体积公式： 所有椎体体积公式：V=Sh, 所有柱体体积公式：V=Sh, 台体体积公式：V=S上+S+SSh 球体体积公式：V=专πR3, 2.圆柱：V=Sh=r2L,表=S底+S侧=2r2+2rl, 圆锥：V=Sh=3r2h,表=S底+S侧=r2+πrl, 3.其它公式 1棱长为a的正四面体的内切球：「=瓷，外接球：R=华 4 ;外接球与内切球半径之比为3：1. 2.设正方体的棱长为a,球的半径为R,则 (1)正方体的外接球：2R=V3a: (2)正方体的内切球：2R=a; (3)正方体的棱切球（球与正方体的各棱都相切）：2R=V2a. 3.设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=Va2+b2+c2 【即学即练2-1】(25-26高一下·安徽芜湖·期中)已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的 体积之比为() A.是 8. C.6 1 0. 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【详解】设球的半径为，则球的体积1=专3， 又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积2=合)=3， 所以圆柱与球的休积之比为一一云 133 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·云南楚雄期末)在直角梯形ABCD中，1，‖，=5， =3, =1,以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则() A.该几何体为圆台 B.该几何体的母线长为5 第3页共50页 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 C.该几何体的体积为93π D.该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】台体体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线=√32+(5-1)2=5， 体积为号×3π×(12+1×5+52)=31π，表面积为π(12+52+1×5+5×5)=56m. 故选：ABD. 题型精讲 题型01柱体的面积 【典例1-1】(25-26高一下·北京大兴，期中)已知正三棱柱 -111中，=1=2，则该正三棱柱 的表面积为() A.23 3 B.2V3 C.12 D.12+23 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【详解】已知正三棱柱一111中， =1=2, ∴正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积1=x2×2×号=V3,侧面2=2×2=4， 正三棱柱的表面积为：=21+32=2×V3+3×4=12+2V3. 【典例1-2】(25-26高一下·福建厦门·期中)己知直四棱柱的高为2，其底面四边形 水平放置时的斜二 测直观图为矩形’‘如图所示若'=‘='=1，则该直四棱柱的表面积为() D A B A.20+42 B.8+2V3 C.20+8V2 D.8+4(V2+V3) 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】首先得到底面四边形 的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面 第4页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积与底面周长，再根据表面积公式计算可得： 【详解】由直观图可得底面四边形 的平面图形如下，由’‘=’‘=′‘=1， 则==1，′‘=√2+2=V2,所以=2V2, 则 =2×2V2=4V2,=V2+z=3, 所以直棱柱的底面周长 =2(2+3)=10,又直棱柱的高h=2, 所以棱柱的侧面积1= ·h=20, 所以棱柱的表面积=1+2 =20+8W2. A O B 【典例1-3】（多选）(23-24高一下·黑龙江大庆期末)如图所示，在棱长为2的正方体 -1111中， 、分别为， 的中点，则() D 11 E A. ⊥ B./平面11 C.直线1与平面 所成的角为 D.三棱锥1- 外接球表面积为6π 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】球的表面积的有关计算、用定义证明线面关系、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】由线面垂直的判定及性质即可判断A:由线面关系即可判断B;由线面角的定义即可判断C;由球 的表面积公式即可判断D。 【详解】对于A,连接，则/，因为上，所以上， 因为1上平面 ,c平面 所以1上，又n1=，，1c平面1v 所以⊥平面 1,又1c平面 19 所以⊥1，故A正确： 对于B,连接11，由正方体 -1111得，/111 又/升，所以/111 因为11n平面11=1，即11与平面11不平行， 所以与平面11不平行，故B错误； 第5页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于C,由题意知，∠ 1是直线 1与平面 所成的角，且tanL 1=1= 品1 所以直线1与平面 所成的角不是故C错误： 对于D,由正方体 1111得， 11平面 ,且1,1=2，==1， 所以三棱锥1一 外接球的直径2 2+2+?=1+1+4=V6, 所以=5，外接球表面积为4π2=4π×=6m,故D正确： 2 4 故选：AD. 【典例1-4】(25-26高一上·上海黄浦·月考)两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体， 该几何体的表面积为 【答案】28 【难度】0.85 【知识点】求组合多面体的表面积、棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正方体表面积公式计算求解 【详解】因为两个棱长分别为1和2正方体叠起来得到的几何体， 该几何体的表面积为6×4+6×1-2×1=28. 故答案为：28 【变式1-1】1.(25-26高二上北京期中)在长方体 -111中，底面 是边长为1的正方形， 1=2,则该长方体的表面积为() A.10 B.8 C.4 D.2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解， 【详解】解：因为长方体 -1111中，底面 是边长为1的正方形，1=2， 所以该长方体的表面积为：2×1×1+4×1×2=10. 第6页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 【变式1-2】(24-25高一下辽宁大连期末)如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一 层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了(). A.8 B.72-48V2 C.96-60v2 D.108-722 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其 直角边为，由2+√2=3可得，即可得答案。 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为反，则2+反=3，解得=3-号 由几何关系得1个小三角形的面积为1一3-9=号-妥 所以增加的面积为=161=16（仔-写）=108-72V2. 故选：D 【变式1-3】(24-25高一下福建泉州期中)如图，在一个表面积为18V3+108的正三棱柱一111 中，=1，其若存在一个可以在三棱柱一111内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大 值为() - A.2 B.V2 C.v3 D.1 【答案】A 第7页共50页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】棱柱表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件求出正三棱柱的棱长，进而求出正三棱柱的内切球，再由题设可知所求为内切球的内接 正方体的边长，即可求解， 【详解】因为-111是正三棱柱，且=1，令=1=(>0)， 则三棱柱 -11的表面积为=2△+311=2××2sin+3×2=(停+3)3， 由题有（侣+3）2=18V3+108,解得=6， 设△ 内切圆半径为，(++)=2sn学得到=V3, 又23<6，则正三棱柱 一111的内切球与下底面和侧面相切，且内切球半径为==V3, 因为存在一个可以在正三棱柱一111内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 则要使正方体棱长取到最大值，正方体的体对角线长为正三棱柱一111内切球的直径， 即32=(2)2，得到32=12，解得=2， 故选：A 【变式1-4】(24-25高一下.安徽滁州期中)如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长 分别为3,4,5，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（) 4.- 4- 3 A.36 B.38 C.40 D.42 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解。 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为1=2×6+2×(5+4+3)=36,2= 4×6+2×(5+4)=42,3=4×6+2×(5+3)=40. 故选：B 4 4- 图① 图② 图③ 【变式1-5】（多选）(23-24高一下江苏南京期末)如图，斜三棱柱111-的底面是边长为1的正三 角形，侧棱长为2,41=∠1=60°，是的中点，则下列结论正确的有(） 第8页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 上1 B.1与底面 所成角的正弦值为号 C.斜三棱柱111一 的侧面积2V3+2D.侧棱1到平面1 的距离为号 A 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】棱柱表面积的有关计算、求线面角、求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】首先证明⊥平面1，即可证明上1，即可判断A,根据平面 1平面1，求解1 与底面所成角，即可判断B,根据几何关系，求侧面积，判断C,根据线面平行，转化为点到直线的距 离，即可判断D. 【详解】A.如图，连结1=1，，1=1,41=∠1=60°， 所以△1兰△1，所以1=1，且=，点是的中点， 所以 1,11,且，1c平面1，n1=, 所以1平面1,1c平面1，所以上1，故A正确： B.由A可知，1平面1，c平面 ，所以平面1平面1，所以1与底面 所成角为21， 1=V22+12-2×2×1×c0s60°=V3,同理1=V3,且=1， A C 6 ，1=2, 4 △1中，cos∠1 6 s4+是=g,sin41=3’ 22x号 所以1与底面 所成角的正弦值为受故B错误： C.由B可知，2+12=12，即1⊥，四边形11与11全等， 第9页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以四边形11的面积为 ×1=1×V3=V3, 由A可知， 上1,1/1所以11，所以四边形11的面积是1×2=2， 所以三棱柱111一 的侧面积的侧面积是2V3+2,故C正确： D取11的中点，连结1，，由以上证明可知，⊥平面 1,c平面11，所以平面 111 平面 1,平面110平面1=， 所以点到平面 1的距离为点1到直线的距离， 如图，四边形 1是平行四边形，且1= 2,sin/1 =sin1 V6 3 E ，所以1=1×sin4:=号×5=马 2 3 所以侧棱 1到平面 1的距离为号，故D正确 故选：ACD 【变式1-6】(25-26高一上·天津西青期末)已知一个矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个 圆柱.当矩形的边长为 cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为cm 【答案】 9 162π 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、圆柱表面积的有关计算 【分析】设出未知数，表达出圆柱的侧面积，配方得到最大值，得到答案 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm,则圆柱的底面半径为=(18-)m, 则圆柱的侧面积为2π(18-)·=-2π(2-18)=[-2π(-9)2+162πcm2, 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为162πcm2. 故答案为：9,162m 题型02椎体面积 【典例2-1】(25-26高一下·湖南衡阳·期中)己知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 () A.12 B.15 C.48 D.60 【答案】C 第10页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】先根据正四棱锥的几何特征求出斜高，再代入侧面积公式计算即可。 【详解】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。 设斜高h,斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形， 由勾股定理得：h=52-32=4 单个侧面的面积为1=号×6×4=12 2 则正四棱锥的侧面积=41=4×12=48 【典例2-2】(25-26高一下.河北沧州期中)已知正四棱锥- 的外接球O的表面积为32π，点P在底 面ABCD的射影为，当)1·取最大值时，正四棱锥的体积为() A.16(V2+1) B.16v2+1或16v5- 3 3 3 C.8+42或8-4w2 3 3 D.16(2+1) 【答案】B 【难度】0.38 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先由正四棱锥外接球表面积4π2=32π，求出外接球半径=2√2：结合正四棱锥性质，可知外 接球球心在顶点到底面 的投影‘所在直线上设‘=，利用勾股定理推导底面边长= v√16-22，再通过均值不等式求出· 的最大值及取等条件=2、=2V2: 最后分球心在棱锥内部（高'=2√2+2）和外部（高 '=2V2-2)两种情况， 计算出正四棱锥的对应体积=16+卫和=16-① 3 3 【详解】设正四棱锥外接球的半径为，则有4π2=32π，所以=2V2, 图1 图2 因为为点P在平面ABCD上的投影，则有‘⊥平面 因为- 是正四棱锥，则点O一定在直线上. 如图1所示，连接OA,因为=2V2,所以==2√2 设‘=，∈(0,2V2),则‘=V8-2,所以=√16-22 则 ·‘=16-27=V2√08-2)2≤V2.8-42=42 2 当且仅当8-2=2，即=2时等号成立，即=2√2， ‘=2. 第11页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段 上时，正四棱锥的高为 ‘=22+2. 则正四棱锥的体积=×(2V2子×(2V2+2)=16+型 3 当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段 的延长线上时， 正四棱锥的高为 ‘=-‘=22-2 则正四棱锥的体积=×(2V②)子×(2V2-2)=162- 3 【典例2-3】（多选）(2526高一下·全国·课后作业)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积 与原来大圆锥的侧面积的比是1：3，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是() A.1:3 B.1:(V3-1) C.1:9 D.(3-1):1 【答案】BD 【难度】0.5 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】利用相似圆锥侧面积比等于相似比的平方求出高的相似比，再通过总高减去小圆锥高得到圆台高， 从而得到两段高的两种顺序的比例. 【详解】 设大圆锥 的高为，底面半径为，母线长为：小圆锥1的高为h1,底面半径为，母线长为，圆锥侧 面积公式为=； 由题意，侧面积比为：本=一=专因为△11~△，所以相似比满足：-=-=色=， 代入侧面积比，可得：土=2=专解得=言即：也=后 截面将大圆锥的高分为两段：小圆锥的高h1和圆台的高h2=一h1, 两段的比为：是=气=高若将两段顺序颜倒，则比为：尝= h2 1 因此，这个截面把圆锥的高分成的两段的比是1：(3-1)或(3-1)：1. 【典例2-4】(25-26高一下.四川眉山期中)在四面体中，若==5，=V41,=3, =5,则四面体 外接球的表面积为 【答案)贵π 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意可证垂直平分，同理可得垂直平分，则球心在上，再利用勾股定理求出 第12页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 球的半径即可. 【详解】如图，设，的中点分别为，，球心为，半径为， D C==5,=V,=3,==5, ⊥，⊥，又∩ =，， c平面 ⊥平面，又c平面 “上，则垂直平分， 同理可得垂直平分，故球心在上，设=， =V2-z= 2 =V2-2=5v2 2 2=+2=+号=2+2=华+（受-）月 又2=名，解得=，2=2+名=瑞 203 则四面体 外接球的表面积为元。 【变式2-1】(25-26高一下.山东青岛·期中)圆锥的底面半径为1，高为V3,则该圆锥的表面积为() A.2π B.3π C.4π D.10 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求出母线长，再根据圆锥表面积公式求解即可 【详解】圆锥母线长=V3+1=2,表面积=×12+号×2×1×2=3 【变式2-2】(25-26高一下·福建福州，期中)己知某圆锥的底面积为4π，轴截面为等边三角形，则该圆锥的 侧面积为() A.4π B.8π C.12π D.16π 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧 面积公式求解， 【详解】因为底面积为4π，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以=π=π×2×4=8π. 第13页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-3】(25-26高一下.山东济南期中)圆锥的轴截面是面积为4v3的等边三角形，则该圆锥的侧面 积为( ) A.32 B.16 C.8 D.4 【答案】c 【难度】0.82 【知识点】棱锥的结构特征和分类、圆锥表面积的有关计算 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为4V3的等边三角形， 得该三角形面积为9(2尸=4V3,解得=2，圆锥的母线=2=4， 所以该圆锥的侧面积为=π=8π。 【变式2-4】(25-26高一下.浙江·期中)如图，在正方形 中，为的中点，将△沿直线折起至 △ 处，使得点在平面 上的射影在上若三棱锥- 的外接球表面积为8π，则到平面 的距离为() D D 0 A B.16 9 c.8 D.1 【答案】A 【难度】0.38 【知识点】多面体与球体内切外接问题、判断线面是否垂直、求点面距离 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形 的边长为， 因为 为正方形，所以△沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面 上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即 1平面 则即为点到平面 的距离. D B 因为c平面 ,所以上 正方形 中，===，即=== 2 第14页共50页 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以为三棱锥一 外接球的球心，则三棱锥 外接球的半径= 2 又三棱锥一 的外接球表面积为8m,则4π2=4π× =8π，解得=2， 所以 =√2 因为为的中点，为的中点，所以为△ 的重心， 则 -x2=号 在Rt△ 中， =-=回2-(- 所以点到平面 的距离为 【变式2-5】（多选）(22-23高一下江苏徐州·期末)如图，在矩形ABCD中，=2=2，M为边BC的 中点，将△ 沿直线AM翻折成△1，连接1，N为线段1的中点，则在翻折过程中，() A.异面直线CW与1所成的角为定值 B.存在某个位置使得 11 C.点C始终在三棱锥1- 外接球的外部 D.当二面角1一-为60时，三棱锥1 的外接球的表面积为 【答案】AC 【难度】0.15 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形 【分析】A选项，作出辅助线，找到上 或∠的补角为异面直线CN与1所成的角，利用余弦定理求 出 =5, 异面直线CW与1所成的角的余弦值为定值：B选项，假如11可证出 11,与 1=矛盾；C选项，作出辅助线，得到即为三棱锥1一 外接球的半径，由于>，所以 >,可得到C正确：D选项，作出辅助线，找到∠1即为二面角1-一为平面角，即∠1= 60°，求出各边长，再找到球心，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积. 【详解】A选项，矩形ABCD中， =2=2,M为边BC的中点， 所以△ 为等腰直角三角形，故∠ =√2=2， 翻折过程中，上1=子 取的中点，连接 ，, 因为N为线段1的中点，所以/1，则∠或2 的补角为异面直线CN与1所成的角， 因为M为边BC的中点，所以/，且= 所以四边形为平行四边形，故/ 所以上 =41= 第15页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中 1=2 由余弦定理得2=2+2-2 =+2-2×x2x号= 故 故cosL 2+2-2 V5 2 所以异面直线CN与所成的角的余弦值为，A正确： B B选项，因为= =V2,=2,所以2+2=2，故⊥， 假如 11,因为 n1=-,,1c平面1， 所以 1平面1， 因为 1c平面1，所以上1这与41=矛盾， 故假设不成立，所以不存在某个位置使得⊥1，B错误： C选项，由于⊥，故△外接圆的圆心为，设三棱锥1一 外接球球心为，则⊥平面 连接，则 即为三棱锥1一 外接球的半径， 由于> ,所以> 所以点C始终在三棱锥1- 外接球的外部，C正确： B B D选项，取 的中点，连接1，，1== 2 因为1=1，所以1⊥，且/，所以⊥， 所以∠1即为二面角1-一为平面角，即41 =60°， 过点1作1上于点，则=1c0s60=号1=1sin60°= 4 4 -=2 41 因为上1，， 。,1∩=，所以⊥平面1， 因为1c平面1，所以上1， 因为n=,,c平面 ,所以1⊥平面 由C选项可知，三棱锥1一 外接球球心为，则⊥平面 过点作上1于点，则==九，==三， 4 第16页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若球心在平面 的上方时，如图，此时1=1一=-九， 4 B D 由勾股定理得2=2+2=2+1,12=2+12=(+（佰-n), 故2+1=（图+（停-n),解得h=-不合要求，舍去： 若球心在平面 的下方时，如图，此时1=1+=+， 由勾股定理得 2= 2+ 2=2+1,12=2+12=(图+(+n) 2 故h2+1= (图)+(+n),解得n= ,满足要求， 代入上式可得外接球半径为 =Vh2+i=厘， 61 三棱锥1一 的外接球的表面积为4π，( 422 6 = 故当二面角1一一为60时，三棱锥1一 的外接球表面积为织D错误。 故选：AC 【变式2-6】(25-26高一下·黑龙江佳木斯期中)已知一个圆锥的母线长为6，侧面积6π，则此底面半径为 【答案】1 【难度】0.88 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【详解】令圆锥的半径为，且母线=6，则侧面积=π×6=6π，可得=1. 题型03台体与球的面积 【典例3-1】(25-26高一下·湖南永州·期中)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面 积之比是() A吉 B. c. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为2， 第17页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以圆柱=2m·2+2:T2=6m2,球=4n2, 所以品号 【典例3-2(25-26高一下·安徽阜阳·期中)在三棱锥-中，==V15, ==2V5,== √23，则三棱锥- 的外接球的表面积为() A.28π B.27π C.19π D.29π 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】如图，根据题意补全为长方体，，，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为，·， 则2+2=15,2+2=20,2+2=23，所以2(2+2+2)=58， 所以2+2+2=42=29，所以三棱锥一的外接球的表面积为29π 【典例3-3】（多选）(25-26高一下浙江宁波期中)在三棱锥-中，==6，∠=60°， =6, 点在平面 上投影为，则三棱锥一的外接球的表面积为() A.84π B.88π C.92π D.96π 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意⊥平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表 面积即可. 【详解】设△ 的外接圆半径为，由题可知△ 为等边三角形，由正弦定理，2=m0=音=4W3, 6 2 则=2V3, 设外接球的球心为，半径为，△ 的外接圆的圆心为1 由题可得1平面 ，而1⊥平面 过点作上，交于点，连接 ，，1’ 则1=√2-12，易得矩形 1,则 = -=6-1=6-V2-12, 在直角三角形中，2=(6-√2-12+12，解得2=21， 所以三棱锥一 外接球的表面积为4π2=4π×21=84π. 第18页共50页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【典例3-4】（22-23高一下.福建厦门·期中)已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球与圆台的两个底 面和侧面都相切，则() A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4 C.圆台的表面积为26π D.球0的表面积为12π 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】圆台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为1,2，半径分别为1,2，球的半径为，连 接，，，利用平面几何知识得到2=12=3，即可根据公式逐项计算求解. 【详解】设梯形 为圆台的轴截面，则内切圆为圆台内切球的大圆，如图， D B B 0 设圆台上、下底面圆心分别为1,2，半径分别为1,2， 球的半径为，则1，，2共线，且121,121， 连接，，，则，分别平分4,2，且1 故 =1=1v=2=2 +=4=由△△ 故一=一，即2=·， 即2=12=3，解得=V3, 母线长为1+2=4，故A正确： 圆台的高为2=2√3，故B错误： 圆台的表面积为π×12+π×32+π×(1+3)×4=26π，故C正确， 球0的表面积为4×π×(3=12m,D正确： 故选：ACD. 【变式3-1】(25-26高一下.安徽合肥·期中)打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽 毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7c,球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧 面，测得顶端所围成的直径是6.8cm,底部所围成圆的直径是2.8cm,据此可估算得球托之外羽毛所在的曲 面的面积大约为() 第19页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.105.5cm2 B.111cm2 C.92.8cm2 D.100.8cm2 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算 【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式求出圆台的侧面积 【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大圆锥和小圆锥的侧面积之差， 因为顶端所围成的直径是6.8cm,底部所围成圆的直径是2.8cm, 所以相应半径为3.4cm,1.4cm. 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为+7， 由相似得，7=若即=49， 所以羽毛所在曲面面积 =π3.4(7+4.9)-π-1.44.9=33.6π≈105.5cm2 02 【变式3-2】(25-26高一下河北邢台期中)已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，V7,高为3，若该圆台 的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为() A.16π B.32π C.64V2π D.64V2n 3 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为h,而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 2=22+h2 则球心到下底面圆距离为h-3引，因此{2=W十h-3,解得h=乙，=22 所以球0的表面积为=4m2=32m 【变式3-3】(25-26高一下.湖北武汉阶段检测)在正三棱台-111中，=2，>11，侧棱1 与底面 所成角的余弦值为。若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是() A.5 B.53 2 c.9 0. 【答案】A 第20页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.4 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取和11的中点分别为，，上、下底面的中心分别为12”设11=，内切球半径为， 根据题意求出侧棱长以及2,1，再根据切线的性质及等腰梯形11和梯形1的几何特点列方程 组求出半径即可. 【详解】取和11的中点分别为，，上、下底面的中心分别为2 B 设11=，内切球半径为，因为tan上12=V2,棱台的高为2， 1= 1=1=2》+(迈了=V6,2=背=×9=9同理1= 6 :内切球与平面 11相切，切点在上， =2+1=(+2)①， 6 在等腰梯形11中， 2=6-(}@.62-(}- 在梯形 1中， 2=e’+(停-9®. 由②③得2-=V6,代入得=1，则11=1， 2 此棱台的表面积是：×1×1×9+号x2×2×9++2×3= 2+一2 2 【变式3-4】(25-26高一下.四川成都期中)已知球的表面积为48π，圆台的上、下底面半径之比为1：3，球 与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为() A.92π B.98π C.104π D.110π 【答案】c 【难度】0.42 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算、圆台的结构特 征辨析 【分析】由球的表面积得到球的半径，由球与圆台内切得到圆台的高，进而求出圆台上下底面半径和母线 长，求出表面积 【详解】已知球的表面积为48π，设球的半径为，则4r2=48π得2=12，解得=2V3, 因为球与圆台上下底面都相切，所以圆台的高h=2=4V3. 设圆台上下底面半径分别为、3（满足1：3），因为圆台有内切球，则母线长=上+下： 第21页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即=+3=4.又2=h2+(下-上)2，所以(4)2=(43)2+3-)2， 即162=48+42，整理得122=48解得=2，即上=2，下=6，母线=8. 所以圆台的表面积=π·22+π·62+π·(2+6)·8=4π+36π+64m=104π， 【变式3-5】（多选）(22-23高一下·新疆昌吉，期末)正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长 是5cm,则下列说法正确的是() A.该正六棱台的上底面积是6V3cm2 B.该正六棱台的侧面面积是15cm2 C.该正六棱台的表面积是(60v3+24v21)cm2 D.该正六棱台的高是3cm 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台的展开图、棱台表面积的有关计算 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高 即可. 【详解】如图在正六棱台 -111111中， 4O1 D 因为11=2cm, =6cm,1=5cm, 所以侧面的梯形 11的高即正六棱台斜高为： V5-( =V21, 所以梯形 11的面积为：=×(2+6)×V2工=4v21cm。 故正六棱台的侧面积为：6=6×4V21=24V21cm2,故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：1=6×乞×2×2×sin60°=6V3cm2,故A正确： 同理下底面积为：2=6×2×6×6×sin60°=54V3cm2, 所以该正六棱台的表面积是6+1+2=(60V3+24V21cm2,故C正确： 正六棱台的高为 1=√52-(6-2)2=3cm,0正确. 故选：ACD 【变式3-6】(25-26高一下·湖南邵阳·期中)已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积 为35π，则该圆台的外接球表面积为 【答案】/m 【难度】0.45 第22页共50页 而学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】圆台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为 ,外接球的球心到圆台下底的距离为|，则球心到圆台上底的距离为h+,从而结合勾股定理列出方程 组，求出2，进而根据球的表面积公式即可求解. 【详解】由圆台的上底面半径为1=2，下底面的半径为2=5，其侧面积为35π， 设该圆台的母线为，高为h,则π(1+2)=π(2+5)=35π，解得=5， 则h=√2-(2-)2=52-(5-2)2=4， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为丨，则球心到圆台上底的距离为h+,(若球心在 下底的上方，则为正值，反之为负值) 2=2+3=2+52 所以 2=(h+)2+名=(4++22解得 8 2=1625 64 所以该圆台的外接球表面积为=4π2=4π×1625=1625 64 16 71 R d R 题型04柱体与椎体的体积 【典例4-1】(25-26高一下四川成都期中)已知正四棱锥的底面边长为3v2,侧棱长为5，则它的体积为 () A.18 B.21 C.24 D.27 【答案】c 【难度】0.82 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】该正四棱锥的高为V52-32-4,则该正四棱锥的体积={h=}·(3V2)2.4=24. 【典例4-2】(25-26高一下山西晋中期中)如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积 之比为() R.O 第23页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3:2 B.2:3 C.3:1 D.1:3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设球的半径为R,根据球与圆柱的体积公式计算即可 【详解】设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高2· 则球的体积1=π3，圆柱的体积2=T2,2=2m3, 六12=号π3：2m3=2:3 4 【典例4-3】（多选）(25-26高一下广东深圳期中)如下图，在正三棱柱一111中，1==4， D是棱1上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是() A.若D是棱1中点，则三棱锥- 的体积为 B.三棱锥1一 体积为定值 C.△1周长的最小值为8V2+4 D.棱AB上总存在点E,使得直线/平面1 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】选项A.因为D是棱1中点，求出△，则-=-，利用棱锥的体积公式求解；选项 B.由1/1得到到平面1的距离等于到平面1的距离，取的中点，求出是到平面1 的距离，由△ 是正三角形求出的长度，求出△1，则1一=-1，利用棱锥的体积公式求解： 选项C.借助侧面展开图求出+1≥4V5,在正三棱柱中1的长度，从而得到△1 周长的最小值： 选项D.在1上取一点，使得∥1，则四边形 是平行四边形，得到/，利用线面平行的判 定定理得到结论， 【详解】选项A.因为D是棱1中点，1==4，所以=2， △是正三角形， 1 =4,·6= ·…sinz 2 =2×4×4:sin60°=4V3 1 1 =3△ =×43×2=83, 3 三棱锥一 的体积为，故选项A正确： 选项B:1/1,:到平面1的距离等于到平面1的距离， 取的中点，连接，△ 是正三角形，⊥， 又：11平面， c平面，·1⊥ ∩1=，⊥平面1，·是到平面1的距离， 第24页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ 是正三角形， =4,∴. =23, ”△1 =×1× =号×4×4=8， -1 =号△：·=×8×23=6 3 故三棱锥1一 体积为定值，故选项B正确： 选项C.侧面展开图为： A C B D A C 由侧面展开图可得 +1≥V82+42=45, 在正三棱柱中1 )2+()2=V4+4平=42, 则△1 的周长为1+1+≥4W2+45, 故△1周长的最小值为4W2+4V5,故选项C错误： 选项D.在1上取一点，使得/11，则/1 当=时，四边形 是平行四边形， 故1， ￠平面1，c平面1，则/平面1， 故选项D正确. A D E 【典例4-4】(25-26高一下山东青岛·期中)四棱锥- 的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面 与棱PB,PC,PD分别交于点M,N,T.若N为棱PC的中点，则当四棱锥一 的体积与四棱锥一 的体积之比最小时，一= 【答案】月 【难度】0.28 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质 第25页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】设=一，=一，由，，，共面且为中点，得约束关系=？了表示出两个四棱锥的体 积比，再用基本不等式求最小值. 【详解】解：如图所示，设=一，=一，其中，∈(0,1] 由于 故有 又由于N为棱PC的中点，所以-= 所以。 =-=-=一一-= 2 三一一 故有=+=一≤1 从而 1一=÷=8=0-1+六+2) 2- 当且仅当=时取等号. 【变式4-1】(25-26高一下.广东广州·期中)若圆锥的高为3，体积是3π，则它的侧面展开图的面积为() A.V3π B.3V3π C.6π D.9π 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】设圆锥的高为h=3,圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因圆锥的体积=}π2×3=3π，解得=V3, 则=Vh2+Z=√9+3=2V3, 故圆锥的侧面展开图的面积为=π×V3×2V3=6π. 【变式4-2】(25-26高一下·安徽阜阳·期中)已知圆锥的母线长为√10，侧面展开所成扇形的圆心角为m 5， 则此圆锥的体积为() A月 B.2n 4π 3 C.π D.3 【答案】C 【难度】0.7 第26页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出=1，进而求出高h,利用圆锥体积 公式即可求解 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为V1⑩，侧面展开所成扇形的圆心角为@， 5n, 所以2π=π×V0,解得=1， 所以圆锥的高为h=(10-2=3, 所以此圆锥的体积为=π2h=;r×12×3=元 h √10 【变式4-3】(25-26高一下广东东莞期中)如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为23，则这个圆锥的体积为() A.16v2 81 B.8V3n 27 C.25m 9 D. 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积. 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知==2，=23， 所以cos∠ 22+22-(232 2×2×2 3 设圆锥底面半径为，则2红=受=受=号 39 第27页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以圆锥的高为h=√2一Z= 22-(2-2。 所以圆锥体积为=π2h=π×()×V2=162 8n. 【变式4-4】(25-26高一下.贵州毕节期中)2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前 沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正 四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥.已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四 棱锥的体积为() A.16v3 B.16V3 C.32 D.64 3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】把该正四棱锥放入长方体，由条件求出正四棱锥的底面面积和高，结合体积公式求出体积即可. 【详解】由于该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4， 如图所示将该正四棱锥补形为长方体， 正四棱锥一 ，则 ====4×2=2V2, 2 顶点在底面的投影为正方形的中心， 那么，=V√2-7=V42-2=2V3,=×2W2×2W2×2W3=163, 3 所以A选项正确 【变式4-5】（多选）(25-26高一下.重庆期中)在棱长为2的正方体 一1111中，点满足= 1(∈[0,1，∈[0,1])，则下列结论正确的是() D C B B A.当=1，=时， 1-1 1-1 B.若=担=号y则当+取得最小值时，= C.当=1，=时，平面1截正方体所得的截面的面积为 第28页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若点在以1的中点为球心，V3为半径的球面上，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、直线与球、平面与球的位置关系、锥 体体积的有关计算 【分析】A选项，根据，到平面11的距离相等以及锥体体积的转换可知正确：B选项，首先判断出 在，11的中点连线上，然后把1与 1展开到一个平面上，根据两点之间直线段距离最短 判断出点位置：C选项，此时是1的靠近点的三等分点，取11的靠近1的三等分点，截面就是等 腰梯形1，根据等腰梯形性质计算其面积即可；D选项，计算得到11的中点的距离恰好为V3,因此 点的轨迹为在正方形11内的一段圆弧，根据半径和圆心角计算即可得到长度 【详解】A选项，根据正方体的性质可知/11 所以，到平面11的距离相等，所以-11二-11， 又因为11=-11：11=-11，所以11=1一1，A正确： B选项，设，分别是，1的中点， 连接，若=，则在上，连接1,1，， B E M A B 因为// 1 故可将四边形 1与四边形 1展开成平面图形， A B M 由图可知当，，共线时， +有最小值，此时一= 又= 1即一=所以=一=一=一一号8正确： 1、21 C选项，当=1，=时，是1的三等分点（靠近点）， 设是11的三等分点，且1=号11 连接1，，，则川111， 所以平面1截正方体所得截面为等腰梯形1 因为=号1=9,1=22,1=2+(0=2 3 第29页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以1 的高为h= 12-(}- 面积为+Lh=10西，c错误： 2 9 D F C B B D选项，根据点满足=十 1(∈[0,1]，∈[0,1])可知在正方形11内， 设1的中点为1，，分别是，11的中点， 可得 2+12=3,且11平面1 若点在以为球心，√3为半径的球面上， 则点的轨迹为在正方形 11内以1为圆心，1=√2为半径的圆弧， 圆弧与正方形 11的另一个交点即为，可得∠1=90°， 所以点的轨迹的长度为停=受，D正确。 D N B 【变式4-6】(25-26高一下河南期中)已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对 3 应扇形的圆心角的弧度数为 【答案】π 【难度】0.75 【知识点】弧长的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【详解】设该圆锥的高为h,母线为， 依题意可得×12×九=号，解得款=V3。所以圆锥的母线长为=V1+3=2, 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为2π，半径为=2： 设对应圆心角的弧度数为，则=2π，因此=π 题型05台体与球的体积 【典例5-1】(25-26高一下北京期中)北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓 意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约 为() 第30页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.108π平方分米 B.144π平方分米 C.180π平方分米 D.216π平方分米 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】先利用体积公式求球的半径，再利用半径计算表面积即可. 【详解】因为π3=288m,所以号3=288， 所以3=288×三=216，即=6（分米方所以=4π2=4m×62=144m(平方分米）》 【典例5-2】(25-26高一下青海西宁期中)已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为2V2,则下 列结论中正确的是() A.圆台的轴截面是底角为60°的等腰梯形 B.圆台的侧面积是10V2π C.若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为30π D.圆台的体积为π 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆台的高，利用圆台的结构特征求解判断A:求出圆台侧面积判断B:求出圆 台外接球半径求解判断C:求出圆台体积判断D. 【详解】由圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为2√2，得圆台的高为： (2V2)2-(3-1)2=2, 对于A,圆台的轴截面是底角为45°的等腰梯形，A错误： 对于B,圆台的侧面积为π×(1+3)×2V2=8V2π，B错误： 对于C,依题意，球心在两底面圆的圆心确定的直线上，设球心到上底面的距离为，球半径为， 则12+2=2=32+|-2，解得=3，=√10，该球的表面积为4m2=40m,C错误： 对于D,圆台体积为=号(12+1×3+3×2=曾m,D正确 2/2 【典例5-3】（多选）(25-26高一下，全国课后作业)（多选)若一个球的直径为d,体积为球，一个正方体的 棱长为a,体积为正，且它们的表面积相同，则有() A. > B.球<正 C.< D.球>正 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 第31页共50页 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由球的表面积公式与正方体的表面积公式，结合表面积相同的条件，可得>，再由球的体积公 式与正方体的体积公式，结合>，可得球>正· 【详解】球直径为(>0)，则半径为则球的表面积为4⑤) =π2， 正方体棱长为(>0)，则表面积为62， 由π2=62，因为π<6，所以2>2，即>，故A正确，C错误： 又#=(}=。=2·正=3， 因为>>0，所以2，>3，即球>正·故B错误，D正确： 故选：AD. 【典例5-4】(25-26高一下·福建福州期中)若一个三棱台的上、下底面面积分别为4,9，高为6，则该棱 台的体积为 【答案】38 【难度】0.9 【知识点】台体体积的有关计算 【详解】台-h(+√一+)=×6×(4+V4×9+9)=38. 【变式5-1】(25-26高一下广东期中)己知半径为的球的体积与表面积相等，则=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】c 【难度】0.9 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等， 所以π3=4m2→=3. 【变式5-2】(25-26高一下.黑龙江佳木斯期中)已知正四棱台的体积为2，其上下底面的边长分别为1和2， 则这个正四棱台的高为() A君 B. 14 c. D. 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】台体体积的有关计算 【详解】设正四棱台的高为h,则号×h×(1+4+V1×4=名故h=云 【变式5-3】(25-26高一下重庆江北期中)若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为经，则它的母 线长为() A.1 B.V2 C.3 D.2 【答案】B 【难度】0.82 第32页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】台体体积的有关计算 【详解】设该圆台的高为h,母线为， 由圆台的体积公式，得号=(r12+2+VT1m~22h→h=1, 所以=h2+(2-1)2=12+(2-1)2=V2 【变式5-4】(25-26高一下山东·期中)刘微所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学 提供了数学基础现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面 的接触点（切点）为点，地面上A,B,C三点共线，且在三者中的最左侧若在B,C处分别测得该球体 建筑物的最大仰角为60°和30°，且=20m,则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为() 60 30° A B C A.200πm3 B. 2003m3 3 C.400V3 m3 D.400πm3 3 3 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】球的体积的有关计算、图形的性质 【分析】由题设可得如下截面图，设球半径为R,由平面几何知识可得一= 据此可 得答案， 【详解】由题设可得如下截面图，设球心为O,过B,C两点的射线与球O相切于D,E. 连接， ，,则===，又=，=， ∠=∠ =7则△△，△△， 结合L =4=则4== = m夏=v3，=2-=2+v同）， ==2=20→=10（单位：m), 则该建筑物体积为：智×103=00m3 3 E C 【变式5-5】（多选）(24-25高一下·湖南·期末)若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面 第33页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为号，是高为2的一个密闭圆台 及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是() A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】分别计算圆锥，圆柱，圆台，球的体积表面积，并求得体积与表面积之比，进行判断即可. 【详解】圆锥的体积为：1=×π×12×2=表面积为：1=m×12+m×1×V2+=(5+1)加， 所以* 6 圆柱的体积为：2=π×12×2=2π，表面积为：2=2×π×12+2×π×1×2=6m, 所以兰=器= 2 6π 圆台的体积为：3=x2××)+πx)+、π×得×π×圓=号 表面积为：3=m×)+π×)+π×+)×2+（得-）=(+25)m, 所以3= 13知 52W5-65 3 +29元 165, 球的体积为： 4=等×m×13=弩表面积为：4=4×π×12=4， 所以是- 4 所以圆柱、球的体积与其表面积之比最大， 4 故选：AC 【变式5-6】(25-26高一下福建莆田·期中)如图，正四棱锥- 中，点和分别为棱和的中点.若 过A,E,F三点的平面与侧面 的交线线段长为v7,cos∠ =票则该四棱锥的外接球的体积为 【答案】32V3m 【难度】0.35 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意找出过、、三点的平面与侧面的交线线段，证明G为靠近C的三等分点，再 由已知求解三角形可得正四棱锥的底面边长与侧棱长，然后求解外接球的半径，代入球的体积表面积公式 得答案。 第34页共50页 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【详解】如图，连接并延长交的延长线于H,连接交于G, 因为E为的中点，所以C为的中点， 在平面 中，过C作/，交于K,则=支=支， 所以 = 由已知可得，四棱锥一 为正四棱锥， 在等腰三角形 中，由cos∠ =要得 =√2， 设=V2,则=2，=， c0S∠ =c0s(π-2∠)=-c0s2∠ =1-2cos2∠ =1-2×日=寻 在△ 中，由余弦定理可得，2=7=2+华2-2专子解得=3， 所以正四棱锥 的底面边长为3√2，侧棱长为6， 连接、，相交于M,连接，则为正四棱锥的高，则=√62-32=3√3， 设四棱锥外接球的球心为0，连接，则(3V3-)子+32=2，解得=2V3, 所以该四棱锥的外接球的体积为π×(2V3°=32V3π. B 强化训练 一、单选题 1.（25-26高一下·天津红桥期中)已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（) A.2 B.4V3 C.V3 D.2√3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】表=4×9×22=4W3, 2.(25-26高一下.河北衡水期中)体积为36π的球的表面积为（) A.36m B.18元 C.9It D.3π 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 第35页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】设该球半径为，则=36，解得=3，则该球的表面积为4m2=4r×32=36咖 3.(25-26高一下浙江杭州期中)已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方 体的棱长为() A.2V2 B.2 C.4v3 3 D.2V3 3 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径， 即v3=2,得=受，球的休积公式为=扣，代入可得：要=知停)， 2 解得3=所以=9 3 4.（25-26高一下广东深圳期中)半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面 的多面体如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一 个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等 边体的表面积为() A. B.12+4V3 C.16+4V3 D.16+8V3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求组合多面体的表面积 【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为√2， 其中有6个面为正方形，8个面为正三角形， 其表面积为6×V2+8×;×V2×V2×5=12+4V3 5.（25-26高一下山东济宁，期中)正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2V2,则该棱台的体 积是（) A.28v6 3 B.28 C.28 D.56 3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 第36页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】将正四棱台补成正四棱锥一 ,O为底面中心，如图所示， D 则 =4V2, =4,可得 =2V2,=√2-z=2V6, 所以该棱台的体积是号 =名×兮×16×2V6=285 3 6.(25-26高一下广东佛山期中)某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所 示，该瓷器的体积为() 2 A.444π B.300π C.2268π D.612π 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求组合体的体积 【详解】半球的半径为6，半球的体积为号π×63=144， 圆台的体积为（π×22+n×62+V斤×22×π×6）×9=156m, 故该瓷器的体积为144π+156m=300π. 7.(25-26高一下·湖南衡阳期中)已知正方形 的边长为2√2，将△ 沿对角线翻折，使二面角 - 的大小为5，则平面 截三棱锥一 的外接球所得截面的面积为() A.1 B. 64π C.4π D.8π 7 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、根据体积计算几何体的量 【分析】分析翻折后的几何关系，确定外接球的球心和半径，结合截面性质和等体积法求解球心到截面的 距离，进而计算截面面积 【详解】如图所示，设正方形 对角线、交于原点，原正方形边长为2V2, 第37页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此对角线长=4，可得： =2 翻折后， 上上的垂直关系不变， 因此二面角一一的平面角为上 =结合 ==2,可得△ 为等边三角形， =2 由于翻折后四个顶点，，，到的距离均为2，因此就是三棱锥一 外接球的球心，外接球半径=2， 2=4. 结合图形和球的截面性质可得：2=2-2（为截面圆半径，为球心到截面的距离）， 由 -:由1平面 ,C 因此平面 ⊥平面 ,交线为，△ 是直角三角形（⊥）， △ =号× =×2×2=2. 因为△ 是边长为2的等边三角形，到 的距离为V3, 所以到平面 的高为V3,则- =专aV3=x2×v3= 3 又在△ 中， ==2V2, =2,等腰三角形的高为 (22)2-12=V7, 所以△ =1×2×V7=√7， 2 由。 =时△·=-，代入得：x7×=2 1 3→ 所以2=2-2=4-号=号因此截面面积为：=m2= 7 8.(24-25高一下.浙江金华·期末)某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面 体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面⊥平面ABC,平面0⊥平面ABC,⊥，‖‖Ⅱ .若 ==8,= =4, ==0=0=多则该多面体的体积为() R B A.40 B.50 C.60 D.70 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】证明面面垂直、求组合体的体积、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】把多面体分割为几个规则的柱体或锥体，利用面面垂直求高，分别计算各部分体积，将各部分体 积相加得到多面体体积. 【详解】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱 和四棱锥一后结合体积公式可求几何体 的体积 先证明一个结论：如果平面⊥平面，平面1平面，平面n=,则上· 证明：设∩=，∩=，在平面取一点，生，生， 第38页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在平面内过作直线，使得上，作直线，使得上， 因为平面1平面，c,故上，而c,故上， 同理上，而n=,,c,故上· B 下面回归问题 连接，因为上且川，故上，同理上， 而==8，= =4,故直角梯形 与直角梯形 全等， 故∠ =∠ =45°， 在直角梯形 中，过作上，垂足为， 则四边形 为矩形，且△为以∠为直角的等腰直角三角形， 故=+=+= +=12, 平面⊥平面 ,平面 n平面 c平面 ,故 ⊥平面 取的中点为，： 的中点为，的中点为，连接 则/，同理可证 1平面 ,而 c平面 故平面 ⊥平面 ,同理平面⊥平面， 而平面 n平面 =,故1平面 故/ ，故四边形 为平行四边形，故 = =28+12)=10. 在平面 中过作/，交于，连接 则四边形 为平行四边形，且1，=，故川，=， 故四边形 为平行四边形， 而 ，n = C平面 故1平面 ,故平面 /平面 而 =，故△ 全△ 故几何体 为直棱柱， 而△ -4=3,故 -=8×3=24 2 因为升，故1平面 而c平面 ,故平面 1平面 在平面 中过作上，垂足为，同理可证 1平面 而号×=3，故-号故-=x号x2+)x=6, 352 第39页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由对称性可得几何体的体积为2×(24+6)=60， GR H M D 故选：C. 二、多选题 9.（25-26高一下·全国.单元测试)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2 相等，下列结论正确的是() A. 圆柱的侧面积为2π2 B.圆锥的侧面积为2π2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的表面积之比为6：(1+V⑤)：4 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】球的表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为2π·2=4π2，A错误： 圆锥的母线长=√2+(2)下=V5,则侧面积为π=V5π2，B错误： 球的表面积为4π2，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确： 圆柱的表面积为2π2+4π2=6m2,圆锥的表面积为π2+V5π2=(1+V⑤)π2， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为6π2：(1+V5m2:4π2=6：(1+V⑤：4，D正确. 故选：CD 10.（25-26高一下·重庆渝北期中)在棱长为2的正方体 一1111中，点是棱 的中点，点在 正方形11内部（不含边界）运动，若/平面11，则() A B A.点的轨迹经过线段1的中点 B.点的轨迹长度为v√2 第40页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.直线 与直线 为异面直线 D.三棱锥 1的体积为定值彭 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线的判定、立体几何中的轨迹问题、由线面平行求线段长度 【分析】取，11的中点，，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A 和B的正误：对C:根据异面直线的判定定理分析判断：对D,利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取，11的中点，，连接，，则川1， D B C A E C 且1c平面11 ￠平面11，所以/平面 11 又因为是中点，则/ 且c平面 11 女平面 11,所以 /平面 11 又n c平面 ,所以平面 /平面11 又/平面11，则 c平面，又点在正方形11内部（不含边界）运动，且平面∩平面 11= 所以点的轨迹为线段 (不含端点)· 对于A,连接1，由正方体的性质易知1与相交，且交点为1的中点，所以A正确： 对于B,因为=1=2，所以点的轨迹长度为2，故B错误： 对于C,因为c平面 ,n平面 =,, 所以直线与直线为异面直线，故C正确： 对于D,因为/平面11，点是棱的中点， 则-，=-1=-1=克=×兮××2×2×2=京所以D正确： 1 11.(25-26高一下·浙江·期中)正四棱台 -1111中，已知11=1，=3,1=2，则下列说法 正确的是() A.该四棱台的高为V3 B.该四棱台的体积为32 C.该四棱台外接球的半径为V D.若点在棱1上，则+的最小值为3V3 【答案】BCD 【难度】0.47 【知识点】多面体与球体内切外接问题、台体体积的有关计算、组合体表面两点间的最短路径 【分析】根据棱台体积公式、勾股定理、余弦定理等知识逐项判断即可. 第41页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】如图， 1=3 222 21 1=2,则棱台的高12为V2,故A错误： 四棱台的体积 =( 1111十 +√1111 )h=号V2,故B正确： 四棱台的外接球的球心在直线12上，：11<1，球心在21的延长线上，记为， 设外接球的半径 =1=，设1=， 则有2=+（吗=(+②列+（份：解得=9则=5，故c正确： 将侧面 11和 11展开平铺成一个平面.当A,P,C三点共线时， 最小， 且+ 的最小值为线段AC长，易知41=60，∠1=60°， 且 = =3,在展开图中由余弦定理可知 32+32-2×3×3×(-)=3V3,故D正确。 D A 三、填空题 12.（25-26高一下·湖北武汉·期中)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中 间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3cm,外径长4cm,筒高6cm,中部是棱长为4cm的正方体 的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm3: 一3 【答案】64-号可 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可 【详解】圆筒体积为底面半径2cm,高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm,高度为6cm的圆柱 体的体积， 故其体积1=×2×6-元×（月×6=受cm3, 中间部分的体积为棱长为4cm的正方体的体积减去底面半径为2cm,高为4cm的圆柱体的体积， 故其体积2=43-π×22×4=(64-16m)cm3: 第42页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故玉综的体积=64-16m+空=(64-号）cm3. 13.(25-26高一下.广东深圳·期中)如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的 正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是 【答案】222 【难度】0.42 【知识点】棱柱表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】根据给定条件，利用有孔立方体的表面积的意义，结合棱柱侧面积公式计算得解 【详解】依题意，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积1=6×52-12×12=138， 6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为2=6×4×5-6×6=84， 所以这个有孔立方体的表面积为1+2=138+84=222 14.(23-24高一下河北沧州期末)在△中，=2， =1,=V3,M,N分别为AC,AB上的 动点（不包括端点），将△沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面·⊥平面BCMN.若点 ，，，， 均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 【答案】誓 【难度】0.15 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】先证 上′，上，接着证得·1平面 ⊥平面’，作出外接球的球心， 证得1平面·，1平面 ，推理得到口 ,设’=，分别表示出，，利用t△ ， 建立外接球半径的方程，利用二次函数的性质即可求得球O表面积的最小值 【详解】显然M不与A重合，由点，，，，均在球O的球面上，得B,C,M,N四点共圆， 则有∠+∠ =π， 又△ 为直角三角形，AB为斜边，则有⊥，如图将△ 翻折后，上， A NH B 又平面‘ ⊥平面 ,平面'n平面 ,c平面， c平面BCMN, 于是·⊥平面 1平面‘ 第43页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 显然·的中点D为△ 的外接圆圆心，BM的中点E是四边形 的外接圆圆心， 则1平面 1平面 .因此/，/· 取NM的中点F.连接DFEF,则有I/Il,∥·/ 所以四边形 为平行四边形. 作1于点，则=4=60，=：= ”=,则0<<分=== 2 =2. 设球O的半径R.则在Rt△ 中，2= 2+(=)2+2-“=(-+ 当=号∈(0，)时，（2)n=专此时球0表面积的最小值为4红×=g 故答案为：鲁 四、解答题 15.(25-26高一下广东湛江·期中)如图，在三棱锥-中，、分别是、的中点，平面 n 平面 A (1)求证： /平面；(2)求证：/；(3)若三棱锥- 的各棱长均为2，求它的表面积. 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析：(3)4v3 【难度】0.85 【知识点】棱锥表面积的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】(1)利用中位线的性质得出/，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； (2)利用面面平行的性质定理可证得结论成立： (3)分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】(1)因为、分别是、 的中点， 所以是△ 的中位线，所以/， 因为丈平面 c平面 ，所以/平面 (2)由(1)可知/平面 因为c平面 ,平面 n平面 =,所以/ (3)若三棱锥一 的各棱长均为2， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为×2×2×sin60°=V3,故该几何体的表面积为4V3. 16.（24-25高一下·河南驻马店·开学考试)如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间. 第44页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S D 、C A B (1)内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为10π，求这个球体的表面积： (2)学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有 效利用空间. 【答案】(4V25m,2 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】(1)根据球的半径和正四棱锥的高计算四棱锥地面边长，根据体积计算出球的半径，最后结合球 的表面积公式计算得出结果： (2)先三角形的外接圆半径，再结合球的半径和三棱柱的高，计算三棱柱的体积： 【详解】(1)设球的半径为，因为内接体正四棱锥的高h= 正四棱锥底面正方形的对角线长为2，则底面正方形边长为=√2 根据正四棱锥体积公式=；底h→10π=子(2)卫，，解得=15元 则这个球的表面积为4m2=4m(V15而=4V225 (2)已知球的半径为，对于内接正三棱柱，设正三角形边长为，正三棱柱的高为h, 球心到底面正三角形的距离为号在正三角形的高为号 正三棱柱底面正三角形外接圆半径为=2=了 3 根据勾股定理可得2=食+22=（份+（停）÷2=华+号2， 化简得h=2 所以正三棱柱的体积为=h=×××22一了-2一写 求体积最大值，令=2-后2=3(2-) 那么=号×3(2-)=吗(2-，求导可得'=9(2-3) 令'=0,9(2-33)=0，解得=5(>0 当=万(>0)时，=V2,此时正三棱柱体积最大，因为3=15m,最大体积为： mx=9×(2)2-=3=15元 3 第45页共50页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为有效利用空间为半球的内接正三棱锥，故该游泳馆的有效利用空间为 17.(25-26高一下山东淄博·期中)已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2V3. (1)求圆锥的体积： (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高. 【答案】3：2)最大值为3，此时圆柱的高为号 2 【难度】0.62 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】(1)利用圆锥侧面展开图半圆弧长等于圆锥底面周长，结合已知母线长求出圆锥底面半径，再由 勾股定理得圆锥的高，代入体积公式计算得体积： (2)利用轴截面的相似三角形建立圆柱底面半径与高的关系，将侧面积表示为二次函数，利用二次函数性 质即可求得最大值及对应圆柱的高 【详解】(1)设圆锥的母线长为，底面半径为，高为.已知母线长=2V3,圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即π=2π，代入=2√3，得=2=V3, 圆锥的高=√2-z=,(2V3)2-(W3)2=3. 因此圆锥的体积为=2=(3)23=3元 (2)设圆柱的底面半径为，高为h. 由相似三角形（小圆锥1的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系-=当→万=告一=停0<h<3), 3 圆柱侧面积公式为=2h,代入得=2π诗h=(-2+3动 这是关于h的开口向下的二次函数，当h=时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积x=芳（一（子+3）=受 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为号 18.（25-26高一下广东东莞期中)如图，在四棱锥- 中， ⊥平面 ,底面 为平行四边 形. 第46页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B (1)当 =时， (i)求证：上；(i)若是上任意一点， =6, =6v3,当△ 面积的最小值是9时，求 证： ⊥平面 (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑若⊥， =,且四边形 的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体一 为鳖臑（需要证明）， 并求出该鳖臑外接球表面积的最小值， 【答案】(1)(1)证明见解析；(i)证明见解析：(2)16π 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】(1)()求证上，1，再利用线面垂直的判定定理和性质定理求证： ()求证⊥，⊥，利用线面垂直的判定定理求证： (2)点为线段的中点，求证∠=∠=∠ =∠=90°，再利用长方体求出外接球半径即 可 【详解】(1)(1)连接，，因为1平面 ,c平面 ,所以上， 因为底面 为平行四边形且=，所以四边形 为菱形，则上， 因为n =,,C平面 ,所以1平面 又c平面 ,所以上； (ii)设n =,连接， 因为1平面 c平面 ,所以上， 因为△ 面积的最小值是9，所叫 ·=×629,则23， 故当上 时， =3,故 =√2+2=32+32=3V2, 则∠ =45°，则∠=90°，即⊥ 因为1平面 c平面 ，所以 ⊥， 因为sinz 3 1 =一= 3=有所以cos2 =V1-sin2∠= 则 =9V2,则 =(922-(632=36, 因为 =J(3V32-32=32, =V32+(3V32=6, 所以2+ 2=2,则1， 第47页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为n=,,c平面 ,所以⊥平面： ● B (2)点为线段的中点， 设= =,=,则=8， 因为1平面 ，c平面 ，所以上，上， 因为1， /,所以⊥， 因为 n c平面，所以 1平面 因为c平面 ,所以上， 因为点为线段的中点，则 1,即△ 为直角三角形， 因为 =2,=2+乙， -}+2=+2， 所以2+2=2，则上 故∠ =∠ =∠ 三∠ =90°，故四面体- 为鳖臑； D D A B B 将该警嚅补形至长方体中，其中 ==2 2， 所以体对角线长为2+号2+2=√2+乙 1 设外接球的半径为，所以2=V2+2, 则外接球表面积为4π2=π(2+2)≥2π=16π，等号成立时==2√2， 故该整腈外接球表面积的最小值为16π. 19.(25-26高一下浙江宁波期中)如图，在三棱锥一中，∠=∠ =2 =1, 记二面角一一的大小为，，分别为，的中点. 第48页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 、N B D (1)求证： ⊥ (2)用，表示三棱锥- 的体积： (3)设在三棱锥 内有一个半径为的球，0<≤2，且=，求证：< 【答案】()证明见解析：(2：(3)证明见解析 【难度】0.28 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、求二面角 【分析】(1)取中点，连接，，根据线面垂直的判定定理得到1平面 ,进而可证 (2)根据面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理得到⊥平面 ，即为三棱锥一 的高， 根据二面角的定义得到上=，结合三棱锥的体积公式求解即可. (3)求出三棱锥的表面积及体积，得到三棱锥内切球的半径= sin 2(+√2+sim2 结合放缩法即可证明< 【详解】(1)取中点，连接，· D 因为，分别为 , 的中点，则川， 因为2 =∠ =2所以上，上 又 0 c平面，所以1平面 又 C平面 ,所以 (2)由(1)知， 1平面 又c平面 ,所以平面 ⊥平面 ，交线为· 过作⊥ 于 因为c平面 ,所以 1平面，即为三棱锥一 的高 因为、分别为 、 中点，所以川， =3= 又上平面 ,所以上即为二面角一一的平面角，则上 在Rt△ 中， =sin 第49页共50页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为为中点，所以。=△=X×1×= 所以。 = =××sin=费 1 (3)作1于，由(2)知， =sin, 过作Ⅱ交于，则上，四边形 为矩形， 又1平面， c平面，所以⊥ 又n=,, c平面，所以⊥平面 因为c平面，所以上， 在Rt△ 中， =√+7=V+7=Jg)+(伊)-+sim2, 设△ 的高h,所以h'=2=Vsin2+z, 又==1，==1+2，所以△ 兰△ 即△=△ =h'=V2+sin,△=△=2 所以三棱锥一 的表面积 =A+A+&+A=2×V2+sin2+2×,=+V2+sin2, 又。=2。 =号××1x2sin=8sin, 所以三棱锥一 的内切球半径=3一=」 sin 2(+√2+sim2 所以三“0可0号转 sin sin 故< 第50页共50页函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-8表面积与体积讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01柱体的面积 题型02椎体面积 4-8表面积与体积 知识点01面积公式 题型03台体与球的面积 题型04柱体与椎体的体积 知识点02体积公式 题型05台体与球的体积 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法. 教学重点 柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法 教学难点 台体、球的面积与体积计算公式及方法 知识清单 知识点01面积公式 1.侧面积公式： 圆柱：圆柱期=2l, 圆锥：S圆谁侧=扣l, 圆台：S圆台侧=πt1十)儿. 2.表面积公式： 球体表面积公式：S=4πR2, 【即学即练1-1】(25-26高一下河北唐山期中)长方体A1B1C1D1一ABCD的长宽高分别为1,2,3，则该 长方体的表面积为() A.6 B.11 C.18 D.22 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一下·广东深圳期中)己知圆锥顶点为S,高为1，底面圆O的直径AB长 为25，若C为底面圆周上不同于A,B的任意一点，则下列说法中正确的是() A.圆锥S0的侧面积为2V3π B.过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为√3 C.若P为SB的中点，过P作平面a与底面圆周交于MN,且SA/,则△PMN的周长的最大值为4+2W3 D.若AC=BC,E为线段AC上的动点，则SE+BE的最小值为V10+2V15 知识点02体积公式 1.体积公式 第1页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所有椎体体积公式：V=Sh, 所有柱体体积公式：V=Sh, 台体体积公式：V=S+S+SSh 球体体积公式：V=πR3, 2.圆柱：V=Sh=㎡2l,S表=S底+S侧=2r2+2r, 圆锥：V=Sh=πh,S表=S底+S侧=2+ml 3.其它公式 1棱长为a的正四面体的内切球：r=a外接球：R=9a:外接球与内切球半径之比为3：1 2.设正方体的棱长为α，球的半径为R,则 (1)正方体的外接球：2R=V3a: (2)正方体的内切球：2R=a; (3)正方体的棱切球（球与正方体的各棱都相切）：2R=V2a 3.设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=1Va+b十c2 【即学即练2-1】(25-26高一下·安徽芜湖期中)己知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的 体积之比为() A c店 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·云南楚雄期末)在直角梯形ABCD中，AB1AD,AB II CD,AB=5, AD=3,CD=1,以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则() A.该几何体为圆台 B.该几何体的母线长为5 C.该几何体的体积为93π D.该几何体的表面积为56π 题型精讲 题型01柱体的面积 【典例1-1】(25-26高一下.北京大兴，期中)己知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,则该正三棱柱 的表面积为() A.23 B.23 3 C.12 D.12+23 【典例1-2】(25-26高一下·福建厦门·期中)已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二 测直观图为矩形AB'CD,如图所示若A0'=0B'=B'C'=1,则该直四棱柱的表面积为() A.20+4V2 B.8+2V3 C.20+8W2 D.8+4(V2+3 第2页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y D B 【典例1-3】（多选）(23-24高一下.黑龙江大庆期末)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别为AB,BC的中点，则() A.EF⊥BD1 B.EF/平面A1D1B C.直线BD1与平面ABCD所成的角为 D.三棱锥B1-EBF外接球表面积为6π D C B D 【典例1-4】(25-26高一上·上海黄浦·月考)两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体， 该几何体的表面积为 【变式1-1】1.(25-26高二上·北京·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形， A1A=2,则该长方体的表面积为() A.10 B.8 c.4 D.2 【变式1-2】(24-25高一下辽宁大连期末)如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一 层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了(). A.8 B.72-48v2 C.96-60V2 D.108-72√2 【变式1-3】(24-25高一下.福建泉州期中)如图，在一个表面积为18V3+108的正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=AA1,其若存在一个可以在三棱柱ABC-A1B1C1内任意转动的正方体，则该正方体棱长a的最大 第3页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值为() A.2 B.V2 c.3 D.1 【变式1-4】（24-25高一下.安微滁州·期中)如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长 分别为3,4,5，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为() 41 3 5 A.36 B.38 C.40 D.42 【变式1-5】（多选）(23-24高一下江苏南京期末)如图，斜三棱柱A1B1C1一ABC的底面是边长为1的正三 角形，侧棱长为2，∠A1AC=∠A1AB=60°，E是BC的中点，则下列结论正确的有() A.BC⊥A1E B.AA1与底面ABC所成角的正弦值为 C.斜三枝柱A181C1-ABC的侧面积23+2D.侧枝AA1到平面BB,CC1的距离为号 A B E 【变式1-6】(25-26高一上·天津西青.期末)已知一个矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个 圆柱.当矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为 cm2 题型02椎体面积 【典例2-1】(25-26高一下·湖南衡阳期中)已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 () A.12 B.15 C.48 D.60 【典例2-2】(25-26高一下河北沧州·期中)已知正四棱锥P-ABCD的外接球O的表面积为32π，点P在底 第4页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面ABCD的射影为0'，当AB·O0取最大值时，正四棱锥的体积为() A.16V2+ B.162+或162- 3 3 3 C.8+5或8-4w恒 3 3 D.16(W2+1) 【典例2-3】（多选）(25-26高一下，全国·课后作业)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积 与原来大圆锥的侧面积的比是1：3，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是() A.1:3 B.1:(3-1) C.1:9 D.(3-1):1 【典例2-4】（25-26高一下·四川眉山期中)在四面体ABCD中，若AB=CD=5,AC=V41,BD=3,AD= BC=5,则四面体ABCD外接球的表面积为 【变式2-1】（25-26高一下.山东青岛·期中)圆锥的底面半径为1，高为V3,则该圆锥的表面积为() A.2元 B.3π C.4π D.10 【变式2-2】(25-26高一下·福建福州·期中)已知某圆锥的底面积为4π，轴截面为等边三角形，则该圆锥的 侧面积为() A.4i B.8π C.12π D.16π 【变式2-3】（25-26高一下山东济南·期中)圆锥S0的轴截面是面积为4W3的等边三角形，则该圆锥的侧面 积为( ) A.32π B.16m C.8π D.4π 【变式2-4】(25-26高一下·浙江·期中)如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将△ACD沿直线AC折起至 △ACP处，使得点P在平面ABC上的射影在AE上.若三棱锥P-ABC的外接球表面积为8π，则P到平面ABC 的距离为() Be- 16 A. B. C. 8 D.1 【变式2-5】（多选）（22-23高一下·江苏徐州·期末)如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2,M为边BC的 中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1D,N为线段B,D的中点，则在翻折过程中，() 第5页共16页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D B A.异面直线CN与AB1所成的角为定值 B.存在某个位置使得AM1B1D C.点C始终在三棱锥B1一AMD外接球的外部 D.当二面角B1-AM-D为60时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积为号 【变式2-6】(25-26高一下.黑龙江佳木斯期中)已知一个圆锥的母线长为6，侧面积6π，则此底面半径为 题型03台体与球的面积 【典例3-1】(25-26高一下·湖南永州·期中)己知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面 积之比是() A B. c. 0. 【典例3-2K25-26高一下.安徽阜阳·期中)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=V15,AD=BC=2V5,AC=BD= √23，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为() A.28π B.27π C.19π D.29π 【典例3-3】（多选）(25-26高一下浙江宁波期中)在三棱锥P-ABC中，AB=AC=6,∠BAC=60°，PA=6, 点P在平面ABC上投影为A,则三棱锥P一ABC的外接球的表面积为() A.84π B.88π C.92π D.96π 【典例3-4】(22-23高一下福建厦门·期中)己知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球0与圆台的两个底 面和侧面都相切，则() A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4 C.圆台的表面积为26π D.球O的表面积为12m 【变式31】(25-26高一下.安徽合肥期中)打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽 毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7c,球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧 面，测得顶端所围成的直径是6.8cm,底部所围成圆的直径是2.8cm,据此可估算得球托之外羽毛所在的曲 面的面积大约为() A.105.5cm2 B.111cm2 C.92.8cm2 D.100.8cm2 第6页共16页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式32】(25-26高一下…河北邢台期中)已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，√7，高为3，若该圆台 的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为() A.16π B.32π C.64W2π D.64y2π 3 【变式33】(25-26高一下湖北武汉.阶段检测)在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2,AB>A1B1,侧棱AA1 与底面ABC所成角的余弦值为若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是() A.3 2 B.53 C.9/3 D.3/3 2 4 4 【变式3-4】(25-26高一下.四川成都期中)已知球的表面积为48π，圆台的上、下底面半径之比为1：3，球 与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为() A.92π B.98π C.104π D.110π 【变式35】（多选）(22-23高一下·新疆昌吉·期末)正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长 是5cm,则下列说法正确的是（) A.该正六棱台的上底面积是6V3cm2 B.该正六棱台的侧面面积是15cm2 c.该正六棱台的表面积是(60v3+24W21)cm2 D.该正六棱台的高是3cm 【变式36】(25-26高一下·湖南邵阳·期中)己知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积 为35π，则该圆台的外接球表面积为 题型04柱体与椎体的体积 【典例41】(2526高一下.四川成都期中)已知正四棱锥的底面边长为3√2，侧棱长为5，则它的体积为 () A.18 B.21 C.24 D.27 【典例42】（25-26高一下.山西晋中.期中)如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积 之比为() R.iO A.3:2 B.2:3 C.3:1 D.1:3 第7页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例43】（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中)如下图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4, D是棱CC1上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是() B A.若D是棱CC1中点，则三棱锥A一BCD的体积为 B.三棱锥A1-ABD体积为定值 C.△A1BD周长的最小值为8V2+4 D.棱AB上总存在点E,使得直线CE/平面A1BD 【典例44】(25-26高一下·山东青岛·期中)四棱锥P一ABCD的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面 a与棱PB,PC,PD分别交于点M,N,T.若N为棱PC的中点，则当四棱锥P-AMNT的体积与四棱锥P-ABCD 的体积之比最小时，器 【变式41】(25-26高一下广东广州·期中)若圆锥的高为3，体积是3π，则它的侧面展开图的面积为（) A.V3π B.3V3π C.6π D.9π 【变式42】(25-26高一下安徽阜阳期中)已知圆锥的母线长为V10,侧面展开所成扇形的圆心角为四 则此圆锥的体积为() A司 B.9 C.π 0.号 【变式43】（25-26高一下·广东东莞期中)如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为2√3，则这个圆锥的体积为() A.16V2n B.BV3n C.2v15n D.VSr 81 27 3 【变式44】(25-26高一下，贵州毕节·期中)2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前 沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正 四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥.已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四 棱锥的体积为()） A.16v B.16V3 C.32 D.64 3 第8页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式45】（多选）(25-26高一下·重庆期中)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足DP=1DC+ DD1(∈[0,1]，μ∈[0,1])，则下列结论正确的是() A.当λ=1，L=时，VD1-A1BP=VD1-A1cP B.若入=且B匠=号BB,则当PA+PE取得最小值时，u= C.当乳=1，=时，平面A18P截正方体所得的截面的面积为号 D.若点P在以B,C的中点0为球心，V3为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为号元 D D B 【变式46】(25-26高一下-河南期中)己知某圆锥的底面半径为1，体积为号，则该圆锥的侧面展开图对 应扇形的圆心角的弧度数为 题型05台体与球的体积 【典例5-1】（25-26高一下·北京·期中)北京中学勇岳楼前的“北中鼎”项部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓 意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约 为() A.108π平方分米B.144π平方分米 C.180π平方分米D.216π平方分米 【典例5-2】（25-26高一下.青海西宁.期中)已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为22，则下 列结论中正确的是() A.圆台的轴截面是底角为60°的等腰梯形 B.圆台的侧面积是10V2mπ C.若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为30m D.圆台的体积为π 【典例53】（多选）(25-26高一下·全国课后作业)（多选）若一个球的直径为d,体积为V#,一个正方体的 棱长为a,体积为V正，且它们的表面积相同，则有() A.d>a B.V球<V正 C.d<a D.V球>V正 【典例54】（25-26高一下·福建福州·期中)若一个三棱台的上、下底面面积分别为4,9，高为6，则该棱 台的体积为 第9页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式51】（25-26高一下.广东·期中)己知半径为R的球的体积与表面积相等，则R=() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式52】(25-26高一下·黑龙江佳木斯期中)已知正四棱台的体积为，其上下底面的边长分别为1和2， 则这个正四棱台的高为() A B.14 【变式53】(25-26高一下·重庆江北期中)若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为？，则它的母 线长为() A.1 B.v2 C.3 D.2 【变式54】(25-26高一下山东期中)刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学 提供了数学基础现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面 的接触点（切点）为点A,地面上A,B,C三点共线，且A在三者中的最左侧若在B,C处分别测得该球体 建筑物的最大仰角为60°和30°，且BC=20m,则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为() A.200mm3 B.2005m3 C.400v5 itm3 D.4000m3 3 3 60 30°T B C 【变式55】（多选）(24-25高一下湖南期末)若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面 半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为号高为2的一个密闭圆台 及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是() A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 【变式56】(25-26高一下·福建莆田期中)如图，正四棱锥P一ABCD中，点E和F分别为棱BC和PD的中点.若 过A,E,F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为7，c0s∠PDC=三，则该四棱锥的外接球的体积为 4 F 第10页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.（25-26高一下，天津红桥期中)已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是() A.2 B.4w3 c.3 D.2V3 2.(25-26高一下.河北衡水期中)体积为36π的球的表面积为（) A.36π B.18π C.9π D.3π 3.(25-26高一下浙江杭州期中)已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方 体的棱长为() A.2W2 B.2 C.3 3 D.2v3 3 4.(25-26高一下广东深圳期中)半正多面体，亦称阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面 的多面体如图，将正方体沿交于一项点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一 个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体由棱长为2的正方体截得的二十四等 边体的表面积为() A. 20 B.12+4W3 C.16+4V3 D.16+8V3 3 5.（25-26高一下山东济宁期中)正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2√2，则该棱台的体 积是() A.28V6 B.28 3 C.28 D.56 3 6.(25-26高一下·广东佛山期中)某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所 示，该瓷器的体积为() 12 A.444π B.300π C.2268π D.612π 第11页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26高一下·湖南衡阳·期中)已知正方形ABCD的边长为2V2,将△ABC沿对角线AC翻折，使二面角B一 AC-D的大小为5，则平面BCD截三棱锥B-ACD的外接球所得截面的面积为() A. B.4 C.4π D.8π 8.(24-25高一下浙江金华.期末)某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面 体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFRI平面ABC,平面CDTO⊥平面ABC,AB⊥BC,AB II EF II RS II CD,BC I DE‖ST0‖AP.若AB=BC=8,AF=CD=4RA=RF=TC=TD=3则该多面体的体积为() A.40 B.50 C.60 D.70 R S B 二、多选题 9.(25-26高一下·全国.单元测试)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是() A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的表面积之比为6：(1+√⑤：4 10.(25-26高一下.重庆渝北期中)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q在 正方形AA1B1B内部（不含边界）运动，若PQ/平面ACC1A1,则() A.点Q的轨迹经过线段AB1的中点 B.点Q的轨迹长度为V2 C.直线PQ与直线AC为异面直线 D.三棱锥Q-ACC1的体积为定值 B C 11.(25-26高一下·浙江·期中)正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，己知A1B1=1,AB=3,AA1=2,则下列说法 正确的是() 第12页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.该四棱台的高为V⑤ B.该四棱台的体积为 C.该四棱台外接球的半径为√5 D.若点P在棱BB,上，则AP+CP的最小值为3V3 三、填空题 12.（25-26高一下湖北武汉·期中)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器假定某玉琮中 间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3cm,外径长4cm,筒高6cm,中部是棱长为4cm的正方体 的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm3; —3 13.(25-26高一下·广东深圳期中)如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的 正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是 14.(23-24高一下.河北沧州期末)在△ABC中，AB=2,AC=1,BC=V3,M,N分别为AC,AB上的 动点（不包括端点），将△AMN沿MN折起，使点A到达点A的位置，且平面A'MNI平面BCN.若点 A,B,C,M,N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 四、解答题 15.（25-26高一下·广东湛江·期中)如图，在三棱锥P-ABC中，E、F分别是AB、AP的中点，平面EFGH∩ 平面PBC=GH. (1)求证：EF/平面PBC;(2)求证：EF/GH;(3)若三棱锥P-ABC的各棱长均为2，求它的表面积. 第13页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(24-25高一下·河南驻马店开学考试)如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间. (1)内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为10m,求这个球体的表面积； (2)学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有 效利用空间. D -C B 第14页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26高一下山东淄博期中)己知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2V5. (1)求圆锥的体积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高. D 18.(25-26高一下·广东东莞期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD1平面ABCD,底面ABCD为平行四边 形 (1)当AD=CD时， (i)求证：AC1PB;(i)若E是PB上任意一点，AC=6,BD=6V3,当△AEC面积的最小值是9时，求 证：EC1平面PAB: (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若AD⊥CD,PD=CD,且四边形ABCD 的面积为8，若点F可能为PA,PB,PC的中点，试确定点F位置，使得四面体F-BCD为鳖懦（需要证明）， 并求出该鳖臑外接球表面积的最小值 B 第15页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26高一下.浙江宁波期中)如图，在三棱锥A-BCD中，∠ACD=LBDC=要，AC=BD=1,CD=x, 记二面角A-CD一B的大小为6，M,N分别为AD,BC的中点. (1)求证：CD1MN; (2)用x,6表示三棱锥M-CDN的体积： (3)设在三棱锥A-BCD内有一个半径为r的球，0<x≤2，且0=x,求证：T<是 B D 第16页共16页 4-8 表面积与体积 讲义 教学目标 掌握柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法. 教学重点 柱体、椎体、台体、球的面积与体积计算公式及方法. 教学难点 台体、球的面积与体积计算公式及方法. 知识点01 面积公式 1.侧面积公式： 圆柱：S圆柱侧2πrl， 圆锥：S圆锥侧πrl， 圆台：S圆台侧＝π(r1＋r2)l. 2.表面积公式： 球体表面积公式：, 【即学即练1-1】（25-26高一下·河北唐山·期中）长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（   ） A．6 B．11 C．18 D．22 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【详解】由题设长方体的表面积为. 【即学即练1-2】(多选)（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.22 【知识点】基本不等式求和的最小值、棱柱的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算 【分析】对于A，直接代公式即可求解；对于B，截面为等腰三角形且腰长确定，由基本不等式即可求解；对于C，利用向量法表示出中线长，结合余弦定理，即可求解；对于D，将三角形展开，即可求解. 【详解】对于A，由勾股定理得，由侧面积公式得，故A正确； 对于B，如图截面为，， 设，的高为，则， 可得，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，如图，设， 而， 即，即， 又，所以可化为， 而 ，当且仅当时取得等号. 故的周长为， 即的周长的最大值为，故C正确， 对于D，将翻折到平面上，如图，的最小值即为， 如图，另作出平面图形如下， 易得，， 且， 由两角和的余弦公式得， 在中， . 可得的最小值即为，故D正确. 知识点02 体积公式 1.体积公式： 所有椎体体积公式：, 所有柱体体积公式：, 台体体积公式：V＝(S上＋S下＋)h 球体体积公式：, 2.圆柱：, , 圆锥：, , 3.其它公式 1.棱长为的正四面体的内切球：,外接球：；外接球与内切球半径之比为3∶1. 2.设正方体的棱长为a，球的半径为R，则 (1)正方体的外接球：2R＝a； (2)正方体的内切球：2R＝a； (3)正方体的棱切球(球与正方体的各棱都相切)：2R＝a. 3.设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 【即学即练2-1】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【详解】设球的半径为，则球的体积， 又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积， 所以圆柱与球的体积之比为． 【即学即练2-2】(多选)（24-25高一下·云南楚雄·期末）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】台体体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论. 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 题型01 柱体的面积 【典例1-1】（25-26高一下·北京大兴·期中）已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【详解】已知正三棱柱中，， 正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，侧面， 正三棱柱的表面积为：． 【典例1-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得； 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，所以， 则， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 【典例1-3】(多选)（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】球的表面积的有关计算、用定义证明线面关系、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】由线面垂直的判定及性质即可判断A；由线面关系即可判断B；由线面角的定义即可判断C；由球的表面积公式即可判断D． 【详解】对于A，连接，则，因为，所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故A正确； 对于B，连接，由正方体得，， 又，所以， 因为平面，即与平面不平行， 所以与平面不平行，故B错误； 对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且， 所以直线与平面所成的角不是，故C错误； 对于D，由正方体得，平面，且，， 所以三棱锥外接球的直径， 所以，外接球表面积为，故D正确； 故选：AD． 【典例1-4】（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求组合多面体的表面积、棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正方体表面积公式计算求解. 【详解】因为两个棱长分别为1和2正方体叠起来得到的几何体， 该几何体的表面积为． 故答案为： 【变式1-1】1．（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解. 【详解】解：因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为，由可得，即可得答案. 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】棱柱表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件求出正三棱柱的棱长，进而求出正三棱柱的内切球，再由题设可知所求为内切球的内接正方体的边长，即可求解. 【详解】因为是正三棱柱，且，令， 则三棱柱的表面积为， 由题有，解得， 设内切圆半径为，由，得到， 又，则正三棱柱的内切球与下底面和侧面相切，且内切球半径为， 因为存在一个可以在正三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 则要使正方体棱长取到最大值，正方体的体对角线长为正三棱柱内切球的直径， 即，得到，解得， 故选：A. 【变式1-4】（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 【变式1-5】(多选)（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．与底面所成角的正弦值为 C．斜三棱柱的侧面积 D．侧棱到平面的距离为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】棱柱表面积的有关计算、求线面角、求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】首先证明平面，即可证明，即可判断A，根据平面平面，求解与底面所成角，即可判断B，根据几何关系，求侧面积，判断C，根据线面平行，转化为点到直线的距离，即可判断D. 【详解】A.如图，连结，，，，， 所以，所以，且，点是的中点， 所以，，且平面，， 所以平面，平面，所以，故A正确； B.由A可知，平面，平面，所以平面平面，所以与底面所成角为， ,同理，且, ，且，， 中，，， 所以与底面所成角的正弦值为，故B错误； C. 由B可知，，即，四边形与全等， 所以四边形的面积为， 由A可知，，，所以，所以四边形的面积是， 所以三棱柱的侧面积的侧面积是，故C正确； D.取的中点，连结，由以上证明可知，平面，平面，所以平面平面，平面平面， 所以点到平面的距离为点到直线的距离， 如图，四边形是平行四边形，且, ，所以， 所以侧棱到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 【变式1-6】（25-26高一上·天津西青·期末）已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【答案】 9 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、圆柱表面积的有关计算 【分析】设出未知数，表达出圆柱的侧面积，配方得到最大值，得到答案. 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm， 则圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为 . 故答案为：9， 题型02 椎体面积 【典例2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】先根据正四棱锥的几何特征求出斜高，再代入侧面积公式计算即可。 【详解】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。 设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形， 由勾股定理得： 单个侧面的面积为 则正四棱锥的侧面积 【典例2-2】（25-26高一下·河北沧州·期中）已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【难度】0.38 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先由正四棱锥外接球表面积，求出外接球半径；结合正四棱锥性质，可知外接球球心在顶点到底面的投影所在直线上.设，利用勾股定理推导底面边长，再通过均值不等式求出的最大值及取等条件、； 最后分球心在棱锥内部（高）和外部（高）两种情况， 计算出正四棱锥的对应体积和. 【详解】设正四棱锥外接球的半径为，则有，所以. 因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面. 因为是正四棱锥，则点O一定在直线上. 如图1所示，连接OA，因为，所以. 设，则，所以. 则. 当且仅当，即时等号成立，即，． 当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为. 则正四棱锥的体积. 当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时， 正四棱锥的高为. 则正四棱锥的体积． 【典例2-3】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.5 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】利用相似圆锥侧面积比等于相似比的平方求出高的相似比，再通过总高减去小圆锥高得到圆台高，从而得到两段高的两种顺序的比例. 【详解】 设大圆锥的高为，底面半径为，母线长为；小圆锥的高为，底面半径为，母线长为，圆锥侧面积公式为 ； 由题意，侧面积比为：，因为，所以相似比满足：， 代入侧面积比，可得：，解得，即：， 截面将大圆锥的高分为两段：小圆锥的高和圆台的高， 两段的比为：，若将两段顺序颠倒，则比为：， 因此，这个截面把圆锥的高分成的两段的比是或. 【典例2-4】（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意可证垂直平分，同理可得垂直平分，则球心在上，再利用勾股定理求出球的半径即可． 【详解】如图，设的中点分别为，球心为，半径为，   ， ，又平面， 平面，又平面， ，则垂直平分， 同理可得垂直平分，故球心在上，设， ，， ， 又，解得，， 则四面体外接球的表面积为． 【变式2-1】（25-26高一下·山东青岛·期中）圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求出母线长，再根据圆锥表面积公式求解即可 【详解】圆锥母线长，表面积 【变式2-2】（25-26高一下·福建福州·期中）已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以. 【变式2-3】（25-26高一下·山东济南·期中）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】棱锥的结构特征和分类、圆锥表面积的有关计算 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形， 得该三角形面积为，解得，圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为. 【变式2-4】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.38 【知识点】多面体与球体内切外接问题、判断线面是否垂直、求点面距离 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 【变式2-5】(多选)（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，，M为边BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为线段的中点，则在翻折过程中，（    ）    A．异面直线CN与所成的角为定值 B．存在某个位置使得 C．点C始终在三棱锥外接球的外部 D．当二面角为60°时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【难度】0.15 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形 【分析】A选项，作出辅助线，找到或的补角为异面直线CN与所成的角，利用余弦定理求出，异面直线CN与所成的角的余弦值为定值；B选项，假如可证出，与矛盾；C选项，作出辅助线，得到即为三棱锥外接球的半径，由于，所以，可得到C正确；D选项，作出辅助线，找到即为二面角为平面角，即，求出各边长，再找到球心，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积. 【详解】A选项，矩形ABCD中，，M为边BC的中点， 所以为等腰直角三角形，故，， 翻折过程中，， 取的中点，连接， 因为N为线段的中点，所以，则或的补角为异面直线CN与所成的角， 因为M为边BC的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 其中， 由余弦定理得， 故， 故， 所以异面直线CN与所成的角的余弦值为，A正确；      B选项，因为，所以，故⊥， 假如，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以不存在某个位置使得，B错误； C选项，由于⊥，故外接圆的圆心为，设三棱锥外接球球心为，则⊥平面， 连接，则即为三棱锥外接球的半径， 由于，所以， 所以点C始终在三棱锥外接球的外部，C正确；      D选项，取的中点，连接，， 因为，所以⊥，且，所以⊥， 所以即为二面角为平面角，即， 过点作⊥于点，则，， ， 因为⊥，⊥，，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 由C选项可知，三棱锥外接球球心为，则⊥平面， 过点作⊥于点，则，， 若球心在平面的上方时，如图，此时，        由勾股定理得，， 故，解得，不合要求，舍去； 若球心在平面的下方时，如图，此时，        由勾股定理得，， 故，解得，满足要求， 代入上式可得外接球半径为， 三棱锥的外接球的表面积为. 故当二面角为60°时，三棱锥的外接球表面积为，D错误. 故选：AC 【变式2-6】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 【答案】1 【难度】0.88 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【详解】令圆锥的半径为，且母线，则侧面积，可得. 题型03 台体与球的面积 【典例3-1】（25-26高一下·湖南永州·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以，， 所以. 【典例3-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 【典例3-3】(多选)（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 【典例3-4】（22-23高一下·福建厦门·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则（    ） A．圆台的母线长为 B．圆台的高为 C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】圆台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为，球的半径为，连接，利用平面几何知识得到，即可根据公式逐项计算求解． 【详解】设梯形为圆台的轴截面，则内切圆为圆台内切球的大圆，如图，    设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为， 球的半径为，则共线，且， 连接，则分别平分，且 故， ，由， 故，即， 即，解得， 母线长为，故A正确； 圆台的高为，故B错误； 圆台的表面积为，故C正确， 球O的表面积为，D正确； 故选：ACD． 【变式3-1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（    ） A．105.5cm2 B．111cm2 C．92.8cm2 D．100.8cm2 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算 【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式求出圆台的侧面积. 【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大圆锥和小圆锥的侧面积之差， 因为顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm， 所以相应半径为3.4cm，1.4cm. 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， 由相似得，，即， 所以羽毛所在曲面面积 . 【变式3-2】（25-26高一下·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 【变式3-3】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ，，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②，， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是：． 【变式3-4】（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】由球的表面积得到球的半径，由球与圆台内切得到圆台的高，进而求出圆台上下底面半径和母线长，求出表面积. 【详解】已知球的表面积为，设球的半径为，则得，解得， 因为球与圆台上下底面都相切，所以圆台的高. 设圆台上下底面半径分别为、（满足），因为圆台有内切球，则母线长， 即 .又，所以 ， 即 ，整理得 解得，即 ， ，母线. 所以圆台的表面积 . 【变式3-5】(多选)（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台的展开图、棱台表面积的有关计算 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】如图在正六棱台中，    因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：， 所以梯形的面积为：， 故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确； 同理下底面积为：， 所以该正六棱台的表面积是,故C正确； 正六棱台的高为，D正确. 故选：ACD. 【变式3-6】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【难度】0.45 【知识点】圆台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为，则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    题型04 柱体与椎体的体积 【典例4-1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积． 【典例4-2】（25-26高一下·山西晋中·期中）如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设球的半径为R，根据球与圆柱的体积公式计算即可 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高． 则球的体积，圆柱的体积， ∴. 【典例4-3】(多选)（25-26高一下·广东深圳·期中）如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（    ） A．若D是棱中点，则三棱锥的体积为 B．三棱锥体积为定值 C．周长的最小值为 D．棱AB上总存在点E，使得直线平面 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】选项A. 因为D是棱中点，求出，则，利用棱锥的体积公式求解；选项B. 由得到到平面的距离等于到平面的距离，取的中点，求出是到平面的距离，由是正三角形求出的长度，求出,则，利用棱锥的体积公式求解；选项C. 借助侧面展开图求出，在正三棱柱中的长度，从而得到周长的最小值；选项D. 在上取一点，使得，则四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论. 【详解】选项A. 因为D是棱中点，，所以， 是正三角形，， ， 三棱锥的体积为，故选项A正确； 选项B. ， 到平面的距离等于到平面的距离， 取的中点，连接，是正三角形，， 又平面，平面，， ，平面，是到平面的距离， 是正三角形，，， , ， 故三棱锥体积为定值，故选项B正确； 选项C. 侧面展开图为： 由侧面展开图可得， 在正三棱柱中, 则的周长为， 故周长的最小值为，故选项C错误； 选项D. 在上取一点，使得，则， 当时，四边形是平行四边形， 故，平面，平面，则平面， 故选项D正确. 【典例4-4】（25-26高一下·山东青岛·期中）四棱锥的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点M，N，T．若N为棱PC的中点，则当四棱锥的体积与四棱锥的体积之比最小时，________． 【答案】 【难度】0.28 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】设，，由共面且为中点，得约束关系，表示出两个四棱锥的体积比，再用基本不等式求最小值. 【详解】解：如图所示，设，，其中 由于 故有， 又由于N为棱PC的中点，所以， 所以，， ，， 故有 从而 当且仅当时取等号． 【变式4-1】（25-26高一下·广东广州·期中）若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因圆锥的体积，解得， 则， 故圆锥的侧面展开图的面积为. 【变式4-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出，进而求出高，利用圆锥体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为， 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以此圆锥的体积为. 【变式4-3】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为，则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 【变式4-4】（25-26高一下·贵州毕节·期中）2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥．已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】把该正四棱锥放入长方体，由条件求出正四棱锥的底面面积和高，结合体积公式求出体积即可. 【详解】由于该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4， 如图所示将该正四棱锥补形为长方体， 正四棱锥，则， 顶点在底面的投影为正方形的中心， 那么，， 所以A选项正确. 【变式4-5】(多选)（25-26高一下·重庆·期中）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．若且，则当取得最小值时， C．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 D．若点在以的中点为球心，为半径的球面上，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、直线与球、平面与球的位置关系、锥体体积的有关计算 【分析】 A选项，根据到平面的距离相等以及锥体体积的转换可知正确；B选项，首先判断出在的中点连线上，然后把与展开到一个平面上，根据两点之间直线段距离最短判断出点位置；C选项，此时是的靠近点的三等分点，取的靠近的三等分点，截面就是等腰梯形，根据等腰梯形性质计算其面积即可；D选项，计算得到的中点的距离恰好为，因此点的轨迹为在正方形内的一段圆弧，根据半径和圆心角计算即可得到长度. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知， 所以到平面的距离相等，所以， 又因为，所以，A正确； B选项，设分别是的中点， 连接，若，则在上，连接， 因为， 故可将四边形与四边形展开成平面图形， 由图可知当共线时，有最小值，此时， 又即，所以，B正确； C选项，当时，是的三等分点（靠近点）， 设是的三等分点，且， 连接，则， 所以平面截正方体所得截面为等腰梯形， 因为， 所以的高为， 面积为，C错误； D选项，根据点满足可知在正方形内， 设的中点为，分别是的中点， 可得，且平面， 若点在以为球心，为半径的球面上， 则点的轨迹为在正方形内以为圆心，为半径的圆弧， 圆弧与正方形的另一个交点即为，可得， 所以点的轨迹的长度为，D正确. 【变式4-6】（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】弧长的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【详解】设该圆锥的高为，母线为, 依题意可得，解得，所以圆锥的母线长为， 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为； 设对应圆心角的弧度数为，则，因此. 题型05 台体与球的体积 【典例5-1】（25-26高一下·北京·期中）北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（    ） A．108π平方分米 B．144π平方分米 C．180π平方分米 D．216π平方分米 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】先利用体积公式求球的半径，再利用半径计算表面积即可. 【详解】因为，所以， 所以，即；所以 【典例5-2】（25-26高一下·青海西宁·期中）已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（     ） A．圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B．圆台的侧面积是 C．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D．圆台的体积为 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆台的高，利用圆台的结构特征求解判断A；求出圆台侧面积判断B；求出圆台外接球半径求解判断C；求出圆台体积判断D. 【详解】由圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，得圆台的高为：， 对于A，圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，A错误； 对于B，圆台的侧面积为，B错误； 对于C，依题意，球心在两底面圆的圆心确定的直线上，设球心到上底面的距离为，球半径为， 则，解得，该球的表面积为，C错误； 对于D，圆台体积为， D正确. 【典例5-3】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】由球的表面积公式与正方体的表面积公式，结合表面积相同的条件，可得，再由球的体积公式与正方体的体积公式，结合，可得. 【详解】球直径为，则半径为，则球的表面积为， 正方体棱长为，则表面积为． 由，因为，所以，即，故A正确，C错误； 又，， 因为，所以，即．故B错误，D正确； 故选：AD. 【典例5-4】（25-26高一下·福建福州·期中）若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________. 【答案】 【难度】0.9 【知识点】台体体积的有关计算 【详解】． 【变式5-1】（25-26高一下·广东·期中）已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等， 所以. 【变式5-2】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】台体体积的有关计算 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 【变式5-3】（25-26高一下·重庆江北·期中）若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】台体体积的有关计算 【详解】设该圆台的高为，母线为， 由圆台的体积公式，得， 所以. 【变式5-4】（25-26高一下·山东·期中）刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】球的体积的有关计算、图形的性质 【分析】由题设可得如下截面图，设球半径为R，由平面几何知识可得，据此可得答案. 【详解】由题设可得如下截面图，设球心为O，过B，C两点的射线与球O相切于D，E. 连接，则，又， ，则，， 结合，则， ，， （单位：m）， 则该建筑物体积为：. 【变式5-5】(多选)（24-25高一下·湖南·期末）若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】分别计算圆锥，圆柱，圆台，球的体积表面积，并求得体积与表面积之比，进行判断即可. 【详解】圆锥的体积为：，表面积为：， 所以， 圆柱的体积为：，表面积为：， 所以， 圆台的体积为：， 表面积为：， 所以， 球的体积为：，表面积为：， 所以，所以圆柱、球的体积与其表面积之比最大. 故选：AC 【变式5-6】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意找出过三点的平面与侧面的交线线段，证明G为靠近C的三等分点，再由已知求解三角形可得正四棱锥的底面边长与侧棱长，然后求解外接球的半径，代入球的体积表面积公式得答案． 【详解】如图，连接并延长交的延长线于H，连接交于G， 因为E为的中点，所以C为的中点， 在平面中，过C作，交于K，则， 所以， 由已知可得，四棱锥为正四棱锥， 在等腰三角形中，由，得， 设，则，，， ， 在中，由余弦定理可得，，解得， 所以正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6， 连接，相交于M，连接，则为正四棱锥的高，则， 设四棱锥外接球的球心为O，连接，则，解得， 所以该四棱锥的外接球的体积为． 一、单选题 1.（25-26高一下·天津红桥·期中）已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】. 2.（25-26高一下·河北衡水·期中）体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】设该球半径为r，则，解得，则该球的表面积为． 3.（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径， 即，得，球的体积公式为，代入可得：， 解得，所以. 4.（25-26高一下·广东深圳·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求组合多面体的表面积 【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为， 其中有个面为正方形，个面为正三角形， 其表面积为. 5.（25-26高一下·山东济宁·期中）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（   ） A． B． C．28 D．56 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，O为底面中心，如图所示， 则，，可得，， 所以该棱台的体积是. 6.（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求组合体的体积 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 7.（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、根据体积计算几何体的量 【分析】分析翻折后的几何关系，确定外接球的球心和半径，结合截面性质和等体积法求解球心到截面的距离，进而计算截面面积. 【详解】如图所示，设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为， 因此对角线长，可得：. 翻折后，，的垂直关系不变， 因此二面角的平面角为，结合，可得为等边三角形，. 由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，. 结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离）， 由：由平面，， 因此平面平面，交线为，是直角三角形（）， . 因为是边长为2的等边三角形，到的距离为， 所以到平面的高为，则， 又在中，，，等腰三角形的高为， 所以， 由，代入得：， 所以，因此截面面积为：. 8.（24-25高一下·浙江金华·期末）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】证明面面垂直、求组合体的体积、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】把多面体分割为几个规则的柱体或锥体，利用面面垂直求高，分别计算各部分体积，将各部分体积相加得到多面体体积. 【详解】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，， 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故， 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故选：C. 二、多选题 9.（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】球的表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 10.（25-26高一下·重庆渝北·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线的判定、立体几何中的轨迹问题、由线面平行求线段长度 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 11.（25-26高一下·浙江·期中）正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.47 【知识点】多面体与球体内切外接问题、台体体积的有关计算、组合体表面两点间的最短路径 【分析】根据棱台体积公式、勾股定理、余弦定理等知识逐项判断即可. 【详解】如图，，则棱台的高为，故A错误； 四棱台的体积，故B正确； 四棱台的外接球的球心在直线上，球心在的延长线上，记为， 设外接球的半径，设， 则有，解得，则，故C正确； 将侧面和展开平铺成一个平面．当A，P，C三点共线时，最小， 且的最小值为线段AC长，易知， 且，在展开图中由余弦定理可知，故D正确． 三、填空题 12.（25-26高一下·湖北武汉·期中）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 13.（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________． 【答案】222 【难度】0.42 【知识点】棱柱表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】根据给定条件，利用有孔立方体的表面积的意义，结合棱柱侧面积公式计算得解. 【详解】依题意，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积， 6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为， 所以这个有孔立方体的表面积为. 14.（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，，M，N分别为AC，AB上的动点（不包括端点），将沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCMN．若点均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】先证，，接着证得平面，平面，作出外接球的球心，证得平面，平面，推理得到,设，分别表示出，利用，建立外接球半径的方程，利用二次函数的性质即可求得球O表面积的最小值. 【详解】显然M 不与A重合，由点均在球O的球面上，得B，C，M，N四点共圆， 则有． 又为直角三角形，AB为斜边，则有，如图将翻折后，，， 又平面平面，平面平面，平面，平面BCMN， 于是平面，平面. 显然的中点D为的外接圆圆心，BM的中点E是四边形的外接圆圆心， 则平面，平面．因此，． 取NM的中点F．连接DF，EF，则有，． 所以四边形为平行四边形． 作于点，则,, ，则，，． 设球O的半径R．则在中，， 当时，，此时球O表面积的最小值为． 故答案为：. 四、解答题 15.（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面；(2)求证：；(3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【难度】0.85 【知识点】棱锥表面积的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3）若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 16.（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间.    (1)内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为，求这个球体的表面积； (2)学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有效利用空间. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）根据球的半径和正四棱锥的高计算四棱锥地面边长，根据体积计算出球的半径，最后结合球的表面积公式计算得出结果； （2）先三角形的外接圆半径，再结合球的半径和三棱柱的高，计算三棱柱的体积； 【详解】（1）设球的半径为，因为内接体正四棱锥的高 正四棱锥底面正方形的对角线长为，则底面正方形边长为 根据正四棱锥体积公式,解得 则这个球的表面积为 （2）已知球的半径为，对于内接正三棱柱，设正三角形边长为，正三棱柱的高为， 球心到底面正三角形的距离为，在正三角形的高为， 正三棱柱底面正三角形外接圆半径为， 根据勾股定理可得， 化简得 所以正三棱柱的体积为 求体积最大值，令 那么，求导可得， 令，解得， 当时，，此时正三棱柱体积最大，因为，最大体积为： . 因为有效利用空间为半球的内接正三棱锥，故该游泳馆的有效利用空间为. 17.（25-26高一下·山东淄博·期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的体积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 【答案】(1)；(2)最大值为，此时圆柱的高为. 【难度】0.62 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用圆锥侧面展开图半圆弧长等于圆锥底面周长，结合已知母线长求出圆锥底面半径，再由勾股定理得圆锥的高，代入体积公式计算得体积； （2）利用轴截面的相似三角形建立圆柱底面半径与高的关系，将侧面积表示为二次函数，利用二次函数性质即可求得最大值及对应圆柱的高. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为，高为. 已知母线长，圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入，得， 圆锥的高. 因此圆锥的体积为. （2）设圆柱的底面半径为，高为. 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系. 圆柱侧面积公式为，代入得 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积. 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为. 18.（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. (1)当时， （i）求证：；（ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析；(2) 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）（i）求证，，再利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （ii）求证，，利用线面垂直的判定定理求证； （2）点为线段的中点，求证，再利用长方体求出外接球半径即可. 【详解】（1）（i）连接，因为平面，平面，所以， 因为底面为平行四边形且，所以四边形为菱形，则， 因为平面，所以平面， 又平面，所以； （ii）设，连接， 因为平面，平面，所以， 因为面积的最小值是9，所以，则， 故当时，，故， 则，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则，则， 因为，， 所以，则， 因为平面，所以平面； （2）点为线段的中点， 设，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为点为线段的中点，则，即为直角三角形， 因为， 所以，则， 故，故四面体为鳖臑； 将该鳖臑补形至长方体中，其中， 所以体对角线长为， 设外接球的半径为，所以， 则外接球表面积为，等号成立时， 故该鳖臑外接球表面积的最小值为. 19.（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)用，表示三棱锥的体积； (3)设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【难度】0.28 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）取中点，连接，，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而可证. （2）根据面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理得到平面，即为三棱锥的高，根据二面角的定义得到，结合三棱锥的体积公式求解即可. （3）求出三棱锥的表面积及体积，得到三棱锥内切球的半径，结合放缩法即可证明. 【详解】（1）取中点，连接，.    因为，分别为，的中点，则，. 因为，所以，. 又，，平面，所以平面. 又平面，所以． （2）由（1）知，平面， 又平面，所以平面平面，交线为． 过作于. 因为平面，所以平面，即为三棱锥的高． 因为、分别为、中点，所以，． 又平面，所以即为二面角的平面角，则， 在中，. 因为为中点，所以. 所以. （3）作于，由（2）知，， 过作交于，则，四边形为矩形，    又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 设的高，所以， 又，，所以， 即，， 所以三棱锥的表面积 ， 又， 所以三棱锥的内切球半径， 所以， 故. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $