2025-2026学年高一下学期自编数学期末模拟卷（人教A版，广东适用，卷三）

**基本信息** 以秦九韶“三斜求积术”、佛山50公里徒步等为情境，融合复数、向量、统计等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配高一下学期期末综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数虚部、向量垂直、统计量含义等|第8题结合数学文化考查解三角形最值，体现数学眼光| |填空题|3题/15分|向量投影、百分位数、立体几何距离|第14题以正方体为载体，考查空间想象与数学思维| |解答题|5题/77分|统计应用（停车收费）、概率计算（豆包培训）、立体几何（二面角）等|第15题通过频率分布直方图解决实际收费问题，第19题创新“生成向量”概念，强化数学语言表达|

广东省2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（三） 数　学(解析卷) （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 答案速查表 1 2 3 4 5 B A D A B 6 7 8 9 10 C D A BC ABD 11 12 13 14 15 ACD ； （1） （2） （3） 16 17 18 19 （1） （2） （1） （2） （1）证明见解析 （2） （3） （1） （2），反向单位向量为 （3） 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴的虚部为. 【点拨】复数的除法运算常通过分子分母同乘分母的共轭复数来实现，注意虚部是一个实数，不包含. 2. 已知向量，，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵向量，，且， ∴，解得. 【点拨】若两平面向量，共线，则其坐标满足交叉相乘相等，即. 3. 为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（ 　　） A. 全校学生体育达标的人数 B. 样本学生体育达标的人数 C. 全校学生体育达标率 D. 全校学生体育达标率的估计值 【答案】D 【解析】∵表示样本中体育达标的人数， ∴表示样本的体育达标率， 在简单随机抽样中，用样本频率估计总体，即为全校学生体育达标率的估计值. 【点拨】理解指示变量（0-1变量）求和的实际意义是频数，除以样本容量即为频率，频率可用于估计总体的比例. 4. 已知圆柱的高为2，球内切于圆柱，则球的体积为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵球内切于圆柱， ∴球的直径等于圆柱的高，即，解得球的半径. ∴球的体积. 【点拨】球内切于圆柱时，球的轴截面内切于圆柱的轴截面（正方形），此时球的直径等于圆柱的底面直径与高. 5. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，，则塔高为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设塔高， 在中，仰角，则； 在中，仰角，则. 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 解得或（舍去）. ∴塔高为. 【点拨】解空间测量问题时，常将空间几何关系转化为平面图形（如直角三角形和一般三角形），利用公共边（塔高）建立方程. 6. 设是两个平面，是两条直线，则（ 　　） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，，则与可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若，，，则与可能平行或相交，故B错误； 对于C，若，，，则与可能平行或异面，故C错误； 对于D，∵，，∴，又，由线面垂直的性质可知，故D正确. 【点拨】判断空间线面位置关系时，可借助正方体模型寻找反例，或严格依据线面平行与垂直的判定定理和性质定理进行推导. 7. 某射击运动员每次击中目标的概率为，连续射击两次，各次射击互不影响，则至少击中一次的概率为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设“至少击中一次”为事件，其对立事件为“两次均未击中”. ∵每次击中目标的概率为，∴每次未击中的概率为. ∵各次射击互不影响，∴， ∴. 【点拨】遇到“至少”问题时，正向分类计算较繁琐，通常采用“正难则反”的策略，利用对立事件的概率公式求解. 8. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，为三角形的三边）.在非直角中，为内角所对应的三边，若且，则面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，由正弦定理得， 即，展开得， ∴. ∵（若，则，不合题意），∴， 由正弦定理得. 由题干公式，代入，得 . 当即时，的面积取得最大值. 【点拨】处理三角形面积最值问题时，利用正弦定理将边化角，得到边长比例关系，再代入面积公式转化为关于某一边长或角度的函数，利用二次函数或三角函数求最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数满足，则（ 　　） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 【答案】BC 【解析】由，得， 整理得，解得. 对于A，不是纯虚数，故A错误； 对于B，，其在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故和是方程的两个根，故D错误. 【点拨】解复数方程时，可将看作整体解出，再利用复数的几何意义、共轭复数及模的定义逐项判断. 10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ 　　） A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万 B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和 C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线 D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线 【答案】ABD 【解析】由图2知2025年高明线的参与人数为3万，∵2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，∴2016年高明线的参与人数为万. 对于A，由图1知2016年高明线占比，∴2016年总参与人数为（万），故A正确； 对于B，2016年南海线人数为（万），顺德线人数为（万），两者之和为万，而2025年顺德线人数为万，，故B正确； 对于C，2016年三水线人数为（万），增加（万），而高明线增加（万），增加最少的是高明线，故C错误； 对于D，南海线增长率为，顺德线增长率为，禅城线2016年人数为（万），增长率为，三水线增长率为，高明线增长率为，增长率最高的是南海线，故D正确. 【点拨】解答统计图表综合题，关键是找到两图之间的关联数据（高明线人数），求出基准总量，再逐一计算各部分具体数值进行比对. 11. 已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】设直三棱柱为，，，则底面外接圆圆心为斜边的中点. ∵侧棱长与底面斜边长相等，设，则球心为矩形的中心. 过球心作截面，若截面平行于侧面，所得截面为矩形，且内接于截面圆，如选项D； 若截面为平面，由于，截面为正方形，内接于球的大圆，如选项B； 若截面平行于底面，则截面过三条侧棱的中点，截面为等腰直角三角形，内接于截面圆，如选项C； 由于球心在侧面上，过球心的截面截直三棱柱所得的三角形不可能是球的大圆的内接等腰直角三角形，故A不可能. 【点拨】直棱柱的外接球球心位于上下底面外接圆圆心连线的中点.通过想象不同角度的过球心截面，观察其与棱柱表面的交线形状即可判断. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量的坐标为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵，∴， 方向上的单位向量为. 在方向上的投影向量. 【点拨】向量在方向上的投影向量公式为，即投影乘以方向的单位向量. 13. 某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为＿＿＿＿＿＿（单位：分）. 【答案】 【解析】将这6名同学的数学成绩从小到大排列为：83，85，87，90，92，93， 因为，不是整数， 所以向上取整为5，即第75百分位数为第5个数， 故这6名同学数学成绩的第75百分位数为92. 【点拨】计算百分位数时，先将数据从小到大排序，再计算，若结果不是整数则向上取整，若为整数则取该位置与下一位置的平均数. 14. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点.如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设正方体为，顶点在平面内，则到平面的距离. 与相邻的三个顶点分别为，已知它们到平面的距离分别为. 在正方形中，中心到平面的距离等于对角线端点到平面距离之和的一半，即，∴. 同理在正方形中，； 在正方形中，； 在正方形中，. ∴其余四个顶点到平面的距离之和为. 【点拨】利用正方形对角线互相平分的性质，平行四边形相对顶点到平面距离之和相等（即）是解决此类空间距离问题的核心技巧. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）估计停车费为24元的频率； （2）估计停车时长的第85百分位数； （3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天停车费收入. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】解：（1）由题意，停车时间在小时，收费元，超过6小时收费封顶为24元， 由直方图可知超过6小时的频率为 …………………… 3 分 所以估计停车费为24元的频率为0.1 …………………………………………………… 4 分 （2）停车时间在的频率为 …… 6 分 停车时间在的频率为， 所以估计停车时长的第85百分位数位于区间内 ……………………………… 7 分 该百分位数为， 所以估计停车时长的第85百分位数为5.5小时 ………………………………………… 9 分 （3）停车时长为的车辆估计有辆，收费0元； 停车时长为的车辆估计有辆，收费元； 停车时长为的车辆估计有辆，收费元； 停车时长为的车辆估计有辆，收费元； 停车时长为的车辆估计有辆，收费元； 停车时长为的车辆估计有辆，收费元； 停车时长超过6小时的车辆估计有辆，收费元 …… 12 分 估计该商场节假日一天的停车费收入为元 …… 13 分 【点拨】解决此类问题需准确理解收费规则与时间区间的对应关系，利用直方图面积求频率，再将频率视为概率估算频数与总费用. 16. （15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）∵， 由正弦定理可得 ……………………………… 2 分 即 ……………………………………………………………… 4 分 ∵在中，， ∴ …………………………………………………………………… 6 分 ∵，∴，解得 ………………………………………… 7 分 （2）∵，且， ∴，解得 ……………………………………………… 10 分 由余弦定理得， 即 ………………………………………… 12 分 ∴， 则，解得 ………………………… 14 分 ∴的周长为 ………………………………………… 15 分 【点拨】遇到“边乘余弦之和”的形式，首选正弦定理“边化角”并结合两角和的正弦公式化简；求周长时，常利用余弦定理与完全平方公式的代数变形. 17. （15分）豆包是由中国字节跳动公司开发的人工智能助手，在文本写作、语言翻译、逻辑推理、编程辅助等多个领域都有广泛的应用场景.为提高豆包的应用能力，某公司组织、两部门的员工参加豆包培训与测试. （1）已知该公司、部门分别有名领导，此次豆包培训需要从这名部门领导中随机选取人组成评估小组，假设每人被抽到的可能性都相同，求选出的人来自不同部门的概率； （2）培训结束后进行应用能力测试，每轮测试甲员工通过的概率为，乙员工通过的概率为，各轮测试结果互不影响，甲、乙两人测试也互不影响.若甲、乙两人各进行两轮测试，求两人合计通过次测试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）从6名部门领导中随机选取2人组成评估小组，共有种不同结果 …… 3 分 选出的2人来自不同部门的事件包含的结果有种 …………………… 5 分 故选出的2人来自不同部门的概率 ……………………………… 7 分 （2）甲、乙两人各进行两轮测试，两人合计通过3次测试，包含两种互斥情况： 情况一：甲通过2次，乙通过1次. 其概率 …………………… 10 分 情况二：甲通过1次，乙通过2次. 其概率 …………………… 13 分 故两人合计通过3次测试的概率 …………………… 15 分 【点拨】对于多轮独立重复试验，计算复杂事件的概率时，应先将其分解为若干个互斥的基本情况，再利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算. 18. （17分）如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为.分别是直线上一点，且平面，记平面平面. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若与所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】（1）证明：在平面内，过作，记. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴ …………………… 2 分 ∵，为中点，∴ …………………… 3 分 又，平面，∴平面 ∵平面，∴平面平面 …………………… 5 分 （2）解：由（1）知平面，又平面，∴， 又，所以为二面角的平面角 …………………… 7 分 三棱锥的体积 由解得 …………………… 9 分 在中， 即二面角的正弦值为 …………………… 10 分 （3）解：∵平面，平面，平面平面， ∴ …………………… 11 分 故与所成角等于与所成角，即， …… 12 分 在中，， ， ①当在线段上时， …………………… 14 分 在中，由正弦定理，即， 解得，则，此时 …… 15 分 ②当在线段的延长线上时， …………………… 16 分 同理由正弦定理得，解得， 则，此时 综上所述， …………………… 17 分 【点拨】处理立体几何中线面平行性质时，牢记“线面平行，过该线的平面与已知平面相交，则交线与该线平行”；解三角形时注意动点位置带来的多解情况，需分类讨论. 19. （17分）已知坐标平面内一点为坐标原点，给定函数，我们称向量为函数的“生成向量”，同时称函数为向量的“生成函数”. （1）记向量的生成函数为，若当且时，求的值； （2）设，求的生成向量，并求出与反向的单位向量； （3）已知向量为函数的生成向量，在中，，，若点为的外心，求的最大值. 【答案】（1） （2），反向单位向量为 （3） 【解析】解：（1）由题意知，向量的生成函数为 …………………… 2 分 当时，，即 …………………… 3 分 又，则 …………………… 4 分 所以，解得 …………………… 5 分 （2）因为 …………………… 6 分 …………………… 8 分 故函数的生成向量 …………………… 9 分 则， 与反向的单位向量为 …………………… 11 分 （3）由题意得，， 在中，，因为，因此 …………………… 12 分 设外接圆半径为，根据正弦定理，，即，故， 所以 …………………… 13 分 …………………… 15 分 ， 因为，所以，， 代入可得 …………………… 16 分 当时，，上式取得最大值 …………………… 17 分 【点拨】处理新定义问题时，首要是准确“翻译”规则.本题的难点在于第（3）问，利用向量的线性运算将未知向量转化为外接圆半径向量（起点为外心），从而利用外心到各顶点距离相等的性质大幅简化数量积的计算. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（三） 数　学（试卷说明） 一、命题说明 1. 结构与教学范围契合度 本卷采用19题新高考结构，解答题依次考查统计、解三角形、概率、立体几何、平面向量，完美覆盖必修第二册核心章节. 2. 难度曲线设计 选择题前3题、填空题第12题为基础送分题，解答题遵循“低起点、高落点”原则，第19题压轴，整体难度比约2:6:2，区分度良好. 3. 情境与创新题布局 全卷设置5道情境题（如第5、7、15、17题），第8题融入我国古代数学名著《数书九章》，第19题引入“生成向量”新定义探究，考查即时学习能力. 4. 素养导向与思维考查 第14题截面最值与第18题立体几何综合，深度考查直观想象与逻辑推理；第17题豆包情境要求剥离表象进行数学建模. 二、双向细目表 题号 题型 分值 知识模块 具体考点 难度系数 备注 1 单选 5 复数 复数的除法运算与虚部概念 0.90 基础送分 2 单选 5 平面向量 向量平行的坐标运算求参数 0.85 基础送分 3 单选 5 统计 简单随机抽样或分层抽样概念 0.85 基础送分 4 单选 5 立体几何 圆锥或圆柱的侧面积/体积计算 0.80 基础达标 5 单选 5 解三角形 仰角/俯角或航海距离的实际测量 0.70 情境建模 6 单选 5 立体几何 空间线面平行与垂直的命题判定 0.65 易错辨析 7 单选 5 概率 相互独立事件或互斥事件的概率计算 0.60 真情境应用 8 单选 5 解三角形 结合数学文化（如三斜求积术）的综合计算 0.30 数学文化/小题压轴 9 多选 6 复数 复数模长、共轭、几何意义综合判断 0.80 基础多选 10 多选 6 统计/概率 统计图表读取与概率性质综合 0.65 跨章节融合 11 多选 6 立体几何 动点轨迹长度或外接球表面积综合 0.35 多选压轴 12 填空 5 平面向量 向量夹角或数量积的基本计算 0.85 基础送分 13 填空 5 统计 第p百分位数的计算 0.75 基础达标 14 填空 5 立体几何 截面面积最值或内切球/外接球极值 0.25 填空压轴/探究 15 解答 13 统计 （1）直方图求参数(A)；（2）平均数/方差估算(B) 0.75 基础解答题 16 解答 15 解三角形 （1）正余弦定理边角互化(B)；（2）周长或面积最值(B) 0.60 经典大题 17 解答 15 概率 （1）古典概型计算(B)；（2）独立事件与情境结合(B) 0.55 时代情境题 18 解答 17 立体几何 （1）线面垂直/平行证明(B)；（2）二面角或点面距离(C) 0.40 核心大题 19 解答 17 平面向量 （1）新定义理解(B)；（2）特征值计算(B)；（3）综合探究(C) 0.20 新定义压轴题 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（三） 数　学 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ 　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ 　　） A. B. C. D. 3. 为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（ 　　） A. 全校学生体育达标的人数 B. 样本学生体育达标的人数 C. 全校学生体育达标率 D. 全校学生体育达标率的估计值 4. 已知圆柱的高为2，球内切于圆柱，则球的体积为（ 　　） A. B. C. D. 5. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，，则塔高为（ 　　） A. B. C. D. 6. 设是两个平面，是两条直线，则（ 　　） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 某射击运动员每次击中目标的概率为，连续射击两次，各次射击互不影响，则至少击中一次的概率为（ 　　） A. B. C. D. 8. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，为三角形的三边）.在非直角中，为内角所对应的三边，若且，则面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数满足，则（ 　　） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ 　　） A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万 B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和 C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线 D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线 11. 已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ 　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量的坐标为＿＿＿＿＿＿. 13. 某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为＿＿＿＿＿＿（单位：分）. 14. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点.如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）估计停车费为24元的频率； （2）估计停车时长的第85百分位数； （3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天停车费收入. 16. （15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，且，求的周长. 17. （15分）豆包是由中国字节跳动公司开发的人工智能助手，在文本写作、语言翻译、逻辑推理、编程辅助等多个领域都有广泛的应用场景.为提高豆包的应用能力，某公司组织、两部门的员工参加豆包培训与测试. （1）已知该公司、部门分别有名领导，此次豆包培训需要从这名部门领导中随机选取人组成评估小组，假设每人被抽到的可能性都相同，求选出的人来自不同部门的概率； （2）培训结束后进行应用能力测试，每轮测试甲员工通过的概率为，乙员工通过的概率为，各轮测试结果互不影响，甲、乙两人测试也互不影响.若甲、乙两人各进行两轮测试，求两人合计通过次测试的概率. 18. （17分）如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为.分别是直线上一点，且平面，记平面平面. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若与所成角的正弦值为，求的值. 19. （17分）已知坐标平面内一点为坐标原点，给定函数，我们称向量为函数的“生成向量”，同时称函数为向量的“生成函数”. （1）记向量的生成函数为，若当且时，求的值； （2）设，求的生成向量，并求出与反向的单位向量； （3）已知向量为函数的生成向量，在中，，，若点为的外心，求的最大值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $