广东广州市2025-2026学年高一下学期数学期末模拟卷

**基本信息** 覆盖高一数学核心知识，非选择题注重综合应用与分层设计，如统计概率结合（17题）、立体几何多问递进（19题），体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数纯虚数、百分位数、向量单位向量、概率独立事件|基础巩固，如第2题百分位数计算，第8题事件独立性判断| |填空题|3题/15分|分层抽样、解三角形、平面向量|简洁考查核心技能，如12题分层抽样样本容量计算| |解答题|5题/77分|解三角形（15题）、立体几何证明与距离（16题）、统计概率综合（17题）、立体几何线面角与二面角（19题）|能力提升与创新应用，如17题结合频率分布直方图、方差计算及概率，19题三问递进考查逻辑推理与空间想象|

广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用复数的除法及纯虚数的定义列式求解. 【详解】依题意，， 则，解得， 所以实数a的值为. 故选：A 2．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（    ）． A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89 【答案】B 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为，故该组数据的第百分位数为， 因为，故该组数据的第百分位数为. 故选：B. 3．已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的定义运算，结合相反向量和单位向量的概念即可求解. 【详解】由，，可得向量， 则与向量方向相反的单位向量为， 故选：C. 4．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由独立事件乘法公式得到，进而利用求出答案. 【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立， ， . 故选：A 5．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解． 【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或， 若夹角为0， 因为 则， 若夹角为，， 则． 故选：D． 6．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，则，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】在中由余弦定理 ，所以, 设外接圆的半径为，则，所以， 又平面，，设三棱锥外接球的半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 7．在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角的定义，取中点，中点，连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案. 【详解】如图，取中点，中点，连接    在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，则 因为分别为中点，所以 又可得，则四边形为平行四边形 所以，则为异面直线与所成的角或其补角 由平面，平面，可得，所以， 在中，，，由余弦定理得， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以异面直线与所成的角的余弦值. 故选：B. 8．一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式求出各个事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断事件之间的独立性，最后利用古典概型的概型公式即可. 【详解】偶数有；质数有；标号之和为的有； 标号之和为的有， 样本空间包含的样本点个数为， 由于质数的个数和非质数的个数相同，故利用对称性可知事件包含的样本点个数为 ， 则，，，， 事件：，共种； 事件：；事件：；事件：； 事件：；事件为不可能事件； 则，，，， ，， 故，，，，，， 则事件独立、事件独立、事件独立、事件不独立、 事件不独立、事件不独立， 则在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3; 数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．已知数据的极差为6，方差为2，则数据 的极差和方差分别为12，9 D．数据 的上四分位数是24 【答案】ABD 【分析】对于A，通过样本估计总体，利用样本抽取的频率表示总体的概率即可；对于B，利用混合样本的均值、方差计算公式计算即得；对于C，结合极差的定义与方差的性质易得；对于D，利用百分位数的定义易得. 【详解】对于A，每个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，依题意，的平均数为：， 方差为：，故B正确； 对于C，设数据中的最大值为，最小值为，方差为，则， 对于数据 ，其极差为 方差为，故C错误； 对于D，将数据按照从小到大顺序排列为：， 由，故这组数据的上四分位数为24，故D正确. 故选：ABD. 10．已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由复数的几何意义转化为向量的坐标运算 【详解】，， A项，若，则，故A错误； B项，由A知，，则，故B正确； C项，若，则，故C错误； D项，由C知，，则， ， 则，， 故，故D正确. 故选：BD. 11．已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A． B．二面角的大小为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 【答案】ACD 【分析】对A，先证明线面垂直，由性质可得线线垂直；对B，过作，连接，找到二面角的平面角为，再解三角形即可；对C，设出球心和球半径，根据几何关系，列出等量关系求解即可；对D，根据圆台和棱台的体积公式，结合已知数据，求解即可. 【详解】 根据题意，如图，设圆台上、下底面圆心分别为连接 过作，作截面的平面图，则为等腰梯形， 且为中点，则， 故，即圆台的高， 又，即四棱台的上下底面边长分别为和； 对A，由题意平面，平面，则， ，，平面，平面， 故平面，平面，所以，故A正确； 对B：过作，垂足为，连接； 由面，//，则面，又面，故， 又，面，故面， 又面，故，则即为二面角的平面角； ，又， 故， 而在中，，则， 结合在单调递增可知，，故B错误； 对C：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心， 则，故，解得； 故表面积，故C正确； 对D：； ， ，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = __________. 【答案】13 【详解】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13. (解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13. 13．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： 14．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 【答案】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角所对的边分别为，且． (1)若为钝角，求周长的取值范围； (2)若为锐角，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由余弦定理和，得到，从而求出周长的取值范围； （2）由同角三角函数关系得到，由余弦定理求出，进而求出. 【详解】（1）由余弦定理可知， 因为角为钝角，故， 所以， 故， 所以周长的取值范围是． （2）因为角为锐角，且满足，故， 由余弦定理可得，所以， 所以． 16．（15分） 如图，在长方体中，，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）在长方体中，， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面, 所以直线平面. （2）在长方体中，由，得，， 等腰的面积，， 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 17．（15分） 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ (2)年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 【答案】(1)73分合理； (2)90；38.75 (3) 【分析】（1）首先根据频率比值求，再根据频率和为1求，再根据频率计算百分位数，即可求解的值； （2）代入样本平均数和方差公式，即可求解； （3）首先根据独立事件概率公式求乙，丙2人回答正确问题的概率，再结合对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 所以，， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第60百分位数为， 则，解得， 所以晋级分数线划为73分合理； （2）设该小组10位学生的分数分别为，因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件， 则，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 则 即． 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 有0人回答正确的概率， 有1人回答正确的概率为 所以不少于2人回答正确这道题的概率． 18．（17分） 已知的内角，，的对边分别为，，.且满足. (1)求角； (2)已知的外接圆的圆心为，半径. （i）作角的平分线交于，，求的面积； （ii）若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）在中，由三角形内角和定理及诱导公式可得，结合两角和的余弦公式整理化简可得，进而，即可求解. （2）（i）由（1）知.由正弦定理可得的值.根据角平分线的性质及三角形面积公式可得.结合余弦定理求出的值即可求解； （ii）由（1）知.由的外接圆的性质可知，，.根据向量数量积的运算可得 ，化简整理得，故，根据三角恒等变换及角的范围即可求解. 【详解】（1）在中，∵，∴， ∴，即， 即， ∴，即. ∵，∴.∵，∴. ∵，∴. （2）（i）由（1）知.由正弦定理可得. ∵是角的角平分线，∴. ∵，∴，∴，即. 由余弦定理可得，整理可得. 又，∴，即，∴，解得或（舍去）. ∴. （ii）由（1）知.∵点为的外接圆的圆心，∴，，. ∵，， ∴，即， 即，∴，∴， ∴. ∵，∴，∴，∴， 即的取值范围为. 19．（17分） 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）由（1）的信息，利用定义法求出线面的正弦值. （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面.    （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（     ） A． B． C． D．3 2．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（    ）． A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89 3．已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 4．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 6．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3; 数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．已知数据的极差为6，方差为2，则数据 的极差和方差分别为12，9 D．数据 的上四分位数是24 10．已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A． B．二面角的大小为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = __________. 13．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 14．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角所对的边分别为，且． (1)若为钝角，求周长的取值范围； (2)若为锐角，且，求． 16．（15分） 如图，在长方体中，，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 17．（15分） 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ (2)年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 18．（17分） 已知的内角，，的对边分别为，，.且满足. (1)求角； (2)已知的外接圆的圆心为，半径. （i）作角的平分线交于，，求的面积； （ii）若，求的取值范围. 19．（17分） 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $