广东阳江市第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学押题卷02

**基本信息** 2025-2026学年高一数学下学期期末押题卷，聚焦必修第二册核心内容，通过公共卫生事件数据判断（第4题）、频率分布直方图分析（第16题）等真实情境，融合空间观念、数据意识与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数（第1题）、立体几何（第2、5题）、概率（第4、6题）|单选注重概念辨析，多选（如第9题正方体异面直线）考查空间想象| |填空题|3题/15分|复数几何意义（第12题）、电路概率（第13题）、长方体轨迹（第14题）|结合实际情境，如电路概率体现应用意识| |解答题|5题/77分|复数运算（15题）、统计（16题）、立体几何（17、19题）、解三角形（18题）|17题正四棱锥表面积与面面垂直证明，19题向量积应用，突出逻辑推理与空间观念|

2025-2026学年下学期期末考试押题卷02 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以的虚部为. 2．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 【答案】A 【解析】由题可知，球的半径为， 所以球的表面积为，体积为. 3．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，设，，， 所以由余弦定理得， 因为为的内角，所以. 4．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】D 【解析】甲地：需满足总体平均数，且中位数为0， 假设7天新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，第6天、第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 乙地：假设7天新增疑似病例为0，1，2，2，3，3，7，满足中位数为2， 其中一个众数为3，但是第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 丙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2， 方差，，但不符合该标志. 丁地：由极差可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人 ，此时平均数 ，与矛盾，故每天新增疑似病例不超过5人，丁地符合该标志. 5．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解析】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 6．考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4 C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【解析】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率，A错误； 掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误； 重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误； 当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确. 故选：D 7．已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为； 故； 又； 故； 将两式相减即可得：；故． 8．正四面体中，在平面内，点在线段上，，是平面的垂线，在该四面体绕旋转的过程中，直线与所成角为，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，根据相对运动，让正四面体保持静止，平面绕着旋转， 故其垂直线也绕着旋转，取上的点，使得 ， 连接，则，等价于平面绕着旋转， 在中，， ； 如下图所示， 将问题抽象为几何模型，平面的垂线可以看做圆锥底面半径，绕着圆锥的轴旋转，显然 ， 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ）    A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA 【答案】CD 【解析】如图所示的正方体中，A、B、C、D、E、F分别是所在棱的中点， 正方体中有且，四边形为平行四边形，有且， 又，，所以且， 所以为梯形，故直线与相交，A错误； 正方体中，因为，所以，故B错误； 因为平面平面，平面，平面， 所以直线与直线无公共点， 又，，所以直线与直线不平行， 即直线与直线是异面直线，故C正确； 因为平面，平面，，故直线与异面，D正确. 故选：CD 10．定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A：由的定义知，当时，；当，. 若，由于是非零向量，所以当时，， 故，，所以，所以，故，A正确. 对于B：设有非零向量，则，所以，而， 故，故B错误. 对于C：由B知，，故，C错误. 对于D：若，，，则，D错误. 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则b的最大值为 C．若的面积为，则a的最小值为2 D．若，，，，则动点D的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】对A，因为， 所以， 则， 则， 因为，所以，即， 因为，所以，故A错误； 对B，因为，，由正弦定理得：， 即，所以， 当时，b取最大值，且最大值为，所以B正确； 对C，若的面积为，则有，即， 因为， 所以，当且仅当时等号成立，所以a的最小值为2，所以C正确； 对D，因为，，即，， 则， 则点D在角A的内角平分线所在直线上． 当时，，则D，B，C三点共线， 设AD与边BC的交点为E，则当时，点D的轨迹就是的角A的角平分线AE． 则， 根据， ， ，则，所以D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为____________. 【答案】 【解析】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，其对应的复数为. 故答案为：. 13．如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________. 【答案】 【解析】串联，只有两者都通过电流时，该支路才能导通， ， 并联部分导通的条件是串联支路导通或导通（至少一个导通）， 先计算该并联部分不导通的概率：， 因此，并联部分导通的概率为：， 整个电路导通的条件是并联部分导通且导通，， 最终，电流能在之间通过的概率是. 故答案为：. 14．在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】因为，故在以为球心，半径为的球面上， 而点在长方体各面上，故在各面上的轨迹为圆弧， 如图，在矩形，因为，，故， 故，故， 同理，故， 因为，故，故，故， 故. 同理，，故，， 综上，点的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，其中. (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【解析】（1）若z是纯虚数，则需满足， 由解得或， 由解得且， 综上，实数m的值为； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，则需满足①， 由解得， 由解得或， 所以不等式组①的解为， 即实数m的取值范围为. 16．（15分） 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【解析】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 17．（15分） 如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 18．（17分） 如图，在中，为钝角，，，．过点作的垂线，交于点，为延长线上一点，连接，若． (1)求边的长； (2)证明：； (3)设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意，为锐角，． 在中，设角的对边分别为， 由余弦定理可得， 即， 解得或． 因为为钝角，取．即的长为4． （2）由题意， 根据勾股定理：， 所以，，， 从而． 在和中， 由正弦定理得, 两式相除得， 因为， 所以 又， 所以，即 （3）在和中， 由正弦定理得， 两式相除得， 由（2）可知， 所以， 若， 则 故存在实数， 使得． 19．（17分） 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 设，则，， 在中，， 又，即，解得或（舍去）， 所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接， 底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点，所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为. （3）依题意，，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得， 连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 第10页，共16页 第11页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末考试押题卷02 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 3．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 5．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 6．考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4 C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5 7．已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．正四面体中，在平面内，点在线段上，，是平面的垂线，在该四面体绕旋转的过程中，直线与所成角为，则的最小值是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ）    A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA 10．定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则b的最大值为 C．若的面积为，则a的最小值为2 D．若，，，，则动点D的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为____________. 13．如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________. 14．在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，其中. (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 16．（15分） 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 17．（15分） 如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 18．（17分） 如图，在中，为钝角，，，．过点作的垂线，交于点，为延长线上一点，连接，若． (1)求边的长； (2)证明：； (3)设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $