第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦函数单调性、奇偶性等五大性质，通过基础-重难-真题三级演练，构建从单一性质到多性质综合的解题逻辑，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|10题型|单调性判定、奇偶性应用等单一性质题|从定义推导到简单应用，形成概念认知链| |衍生性质|6题型|周期性推导、对称性判断等关联性质题|由基础性质延伸，建立性质间推导关系| |综合应用|1题型+创新题|跨性质综合与参数讨论题|整合前序知识，提升复杂问题解决能力|

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 函数的单调性及单调区间 2 题型02 复合函数的单调性 4 题型03 比较大小 6 题型04 利用单调性解函数不等式 8 题型05 利用单调性求参数的取值范围 10 题型06 利用函数的单调性求最值（值域） 12 题型07 函数奇偶性的判断 14 题型08 根据奇偶性求解析式或函数值 16 题型09 利用奇偶性求参数 18 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 20 题型11 函数的周期性 23 题型12 对称性 25 题型13 由函数对称性求函数值或参数 28 题型14 对称性、周期性的综合 30 题型15 对称性、单调性的综合 31 题型16 对称性求函数的解析式 33 题型17 函数性质的综合应用 34 重难·创新演练 37 真题·实战演练 47 模拟·基础演练 考查重点：查函数单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值的判定与应用，围绕单调区间判断、复合函数单调性、奇偶性证明与性质运用、周期与对称关系推导、利用单调性求解不等式、参数范围及最值值域等核心内容展开，突出单一性质运用与多性质综合解题能力。 题型01 函数的单调性及单调区间 1.（2026·河南洛阳·模拟检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若，函数定义域为，，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，关于原点对称，但， 故函数不是奇函数，即B错误； 对于C，函数的定义域为，但， 故函数不是奇函数，即C错误； 对于D，的定义域为，且，即函数是奇函数， 且因，函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 2.（2026·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数的定义域为，不具奇偶性，B不是； 对于C，函数定义域为R，，不是偶函数，C不是； 对于D，函数定义域为， ，是偶函数； 当时，，函数在上单调递增， 则在上单调递增，D是. 故选：D 3．已知是奇函数. （1）求的值； （2）若的定义域为，判断的单调性并证明； 【答案】（1）或 （2）函数是上的增函数，证明见解析 【详解】（1）解：由函数是奇函数， ①若，解得，所以， 则， 又由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； ②若不存在时，可得，此时， 由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； （2）解：函数是上的增函数. 证明如下：由（1）知：函数，其定义域为， 任取且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以是上的增函数. 题型02 复合函数的单调性 4．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增，函数的图象开口向上，对称轴为， 所以，则实数a的取值范围是. 故选：A. 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得.a的取值范围是. 故选：D 6．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为， 令，二次函数开口向下，对称轴为， 由，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以要使函数在区间上存在单调递增区间， 则且即且，解得，即正数的取值范围是. 故选：D 7．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. 8．（25-26高三上·安徽六安·月考）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】，解得，函数的定义域为， 令，当时，单调递减，单调递增， 函数在上单调递减，函数的单调递减区间为． 故答案为： 题型03 比较大小 9.（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 10．（2026·辽宁本溪·阶段检测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在上单调递减.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，所以为偶函数， 又在上单调递减，所以在上单调递增. 由题得，又，因，则 所以，即. 故选：D. 11．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数， 当时，，故在上单调递增，所以， 构造函数，则， 当在单调递增，所以，即，所以. 故选：B． 12.（2026·四川成都·模拟检测）已知，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数，则． 当时，，所以在上单调递增，故， 即，所以． 设函数，则，所以在上单调递减，当0时，， 故当时，，即，所以． 设，则，当时，，所以在上单调递增．故当时，，即，所以，则，即． 故选：D． 13.（2026·江西萍乡·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 题型04 利用单调性解函数不等式 14.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 15.（2026·河北8月·联合质检）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 16.已知，则的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由，且定义域为R， 根据在上递增，则在上递增， 又在上递增，则在上递增， 结合奇函数性质且函数在R上连续，则在R上递增， 由， 所以，解集为或. 故选：D 17.（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得，又，故. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A 题型05 利用单调性求参数的取值范围 18. “”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当在上单调递减，设任意，且， 则， 又，所以可得，故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 19.已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增，所以，解得，则. 故选：B. 20.（2026·湖南衡阳·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 故选：D 21.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.（用区间表示） 【答案】 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故答案为： 题型06 利用函数的单调性求最值（值域） 22.已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，.所以当时，； 当时，；当时，.所以当时，的最小值为3， 故选：C 23.（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】定义域为，，则为偶函数，故A正确； 当时，，令，为增函数，在单调递减，在单调递增，时，的单调递增区间为，又为偶函数，则函数在和单调递减，在和单调递增，所以的单调递增区间为，故B正确； 当时，，且函数在单调递减，，故C错误； 函数在和单调递减，在和单调递增， ，故D正确． 故选：ABD 24.已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为．由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又，所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 25.（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数． （1）若，求的值域； （2）若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）若，则.因为，所以， 所以，所以，所以若，则的值域为. （2）.令，. 当时，在上单调递增，因为是增函数，所以在上单调递增. 所以.当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减.所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即.综上，. 题型07 函数奇偶性的判断 26.函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 27.下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 28.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 因为，，故， 所以，函数不是奇函数，A不满足； 对于B选项，对于函数，由可得，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 因为内层函数在上单调递减， 外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足； 对于C选项，函数的定义域为，， 故函数为偶函数，C不满足； 对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 因为， 内层函数为增函数，外层函数在上为增函数， 所以，在定义域上为增函数，D满足. 故选：D. 29.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知定义域为的函数不是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若是奇函数，则；若不是奇函数，则． 故选：B． 30.（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 题型08 根据奇偶性求解析式或函数值 31.（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以，由， 得，所以，得，所以是以4为周期的函数，所以． 故选：C 32.（2026·广东江门·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以，又， 所以，所以，所以. 故选：B 33.（2026·陕西·二模）设是定义在上周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以，又的周期为2，故.所以. 故选：C 34.（2026·山东枣庄·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为是周期为2的函数，所以.因为是奇函数，当时，，所以，故. 故选：A 35.（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】当时，，，又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，，． 故答案为： 36.（2026·江西上饶·二模）已知为定义在上的奇函数，且当时，，则 . 【答案】 【详解】因为是奇函数，所以，又为定义在上的奇函数，则，故. 故答案为： 题型09 利用奇偶性求参数 37.（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以，因为，，所以，可得，又因为且，解得，此时，因为，故当时，函数为偶函数，故. 故选：B 38.（2026·山西吕梁·三模）已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【详解】因为是奇函数， 所以所以 验证：当时，,满足奇函数的定义. 故选：C 39.（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（    ） A．15 B． C． D．4 【答案】A 【详解】因为是奇函数且，则，解得，设， 则，令，则，因为单调递增，且，所以存在唯一，使，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以最多有两个零点，观察到，所以是时唯一零点，即是在上唯一的解，经检验，满足题意，所以，则. 故选：A 40.（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令，因为函数为偶函数，且为三次函数，所以为奇函数，即，所以， 即，即， 所以，解得. 故选：B 41.（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为 . A． B．0 C．1 D．或1 【答案】1 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，. 故答案为：1 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 42.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 设，的定义域为R， ，所以为奇函数，则， 又因为在R上均为减函数，所以在R上为减函数， 由可得，即，所以， 解得：或. 故选：D. 43.（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知函数为上的偶函数，．因为在上单调递增，时，，所以在上单调递增，在上单调递减．不等式可化为，所以，解得或． 故选：A. 44.已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 45.已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意的，都有，此时，则， 所以在单调递减， 因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，， 所以当和时，；当和时，. 由，即， 所以或或或， 所以或或或无解， 所以原不等式解集为 故选：D 46.若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，又因为奇函数在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，所以当时，， 当时，，所以由可得： ①当时，有或，解得：， ②当时，有或，解得：， ③当时，满足题意， 综上得：或，所以满足的的取值范围是， 故答案为：. 题型11 函数的周期性 47.（2025·湖南岳阳·三模）已知函数满足，，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过其周期性，确定的周期性，即可求解. 【详解】可得：， 即，令，则，可得， 所以是以4为周期的函数，所以也是以4为周期的函数， 所以， 令可得：，结合，可得，所以. 故选：B 48.（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 故选：D 49.（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，所以，所以， 所以，由有， 所以，即，所以函数的周期为6， 所以， 由，，， 令有，， 所以，所以， 令有，，即， 令有，即，， 所以， 所以， 故选：D. 50.（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则 . 【答案】0 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 由为偶函数，得， 则，即，则， 由，可得，即. 故答案为：. 51.（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 . 【答案】 【详解】由已知可知，函数为周期函数，且周期为4. 所以，. 又当时，，所以，，. 故答案为：. 题型12 对称性 52.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为6 B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，的图像向左平移个单位得到，又关于中心对称，关于中心对称，，将式子中的用代替，得到，是定义在上的偶函数，，，将此式子中的用代替，得到，则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误； 选项B，关于中心对称，的定义域为，，是定义在上的偶函数，，故选项B正确； 选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误； 选项D，是一个以为周期的周期函数， ，， ，，， ， ，， ， 仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误. 故选：B. 53.（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数，则（    ） A． B． C．存在对称轴 D．存在对称中心 【答案】ABC 【详解】函数解析式可化为：， 则，选项A正确； 因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称， 故曲线也关于直线对称，选项C正确； 要证，即证. 当时，左右两边均为0，等式成立. 令，则，则在上单调递增. 当时，，所以. 当时，，所以，所以. 因此，，都有，当时等号成立. 所以，当时，有， 又， 所以成立， 综上，成立，选项B正确； 对于D选项，若存在一点使得关于点对称，则， 通过分析发现不可能为常数，故选项D错误. 故选：ABC. 54.（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 【答案】D 【详解】由，得或， 则函数的定义域为 若曲线存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线上. 因为， 当时，，所以此时关于直线对称. 又因为不可能恒等于某个常数， 所以不可能关于某个点对称. 故选：D. 55.（多选）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 【答案】BCD 【详解】为偶函数，， 即，的图象关于直线对称， 即函数的图象关于直线对称，故A错误； 又，， 故函数关于中心对称，故C正确； 而函数有对称轴，有对称中心点，由对称性可得函数关于直线对称，故B正确； 又，， 所以函数为周期函数，周期是，故D正确． 故选：BCD. 题型13 由函数对称性求函数值或参数 56.（2026·浙江宁波·模拟检测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意，所以. 故选：A 57.（2026·黑龙江哈尔滨·5月模拟）已知函数的图象关于直线对称，则（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】对于函数, 由 , 而 , 由该图象关于直线对称,可得, 则对应项系数相等,即,解得,则. 故选：C. 58.（2026·江苏徐州·5月模拟）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即，即, 故需满足且，即，则， 故选：B 59.（2026·福建厦门·5月检测）若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为 . 【答案】 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 则，即， 整理可得，结合的任意性可知，可得， 所以有序数对为. 故答案为： 题型14 对称性、周期性的综合 60.（2026·山东泰安·阶段检测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，所以函数周期是，且的周期也是. 因为，故，故的图象关于直线对称. 对求导得，. 则 故选：B. 61.定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（    ） A．14 B． C．12 D． 【答案】B 【详解】由， 则关于中心对称，关于直线轴对称，且， 将替换为，则，则，即的周期为4. 画出以及的函数图象，如图所示， 两个函数图象均关于对称，则所有的根之和为. 故选：B 62.（多选）已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（    ） A． B．为周期函数 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确；对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确；对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确；对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减，由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 题型15 对称性、单调性的综合 63.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增，因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 64.（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，在上单调递增，又因为关于对称， 在上单调递减.，关于对称，. 对于A、B、C：在上单调递减，， ，故A正确，B、C错误； 对于D：在上单调递增，，，故D错误. 故选：A. 65.（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】根据题意，因为函数满足，所以函数的对称轴为直线，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由得，等价于或， 解得或，所以不等式的解集为. 故答案为： 题型16 对称性求函数的解析式 66.已知函数与的图象关于点对称，则 . 【答案】 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得，将其代入函数，可得，所以，即. 故答案为：. 67.（25-26高三上·安徽·期中测试）已知函数满足． （1）证明：； （2）判断的单调性，并写出推理过程； （3）若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 【答案】（1）证明见解析； （2）在上单调递增，在上单调递减，理由见详解； （3）. 【详解】（1）在中，将用替代， 则，即.联立和， 解得.因此. （2）因为函数的定义域为，，所以是偶函数， 又，因为在内单调递增， 所以在内单调递减，因此在内单调递减. 由于是偶函数，所以在内单调递增. （3）设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为. 由，得.因为点在函数的图象上，所以. 即，.故. 题型17 函数性质的综合应用 68.（25-26高三上·浙江·期末测试）（多选）定义在上的函数满足： ①对任意，都有；②的图象关于直线对称； ③，. 则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】ABC 【详解】令，得，即， 可得，故函数的图象关于对称． 又因为的图象关于直线对称，故， 所以的图象关于直线对称， 则，可知是以4为周期的周期函数． 对于选项A：因为的图象是将的图象向左平移2个单位， 故的图象关于轴对称，则， 即，所以是偶函数，故A正确； 对于选项B：的图象是将的图象向左平移1个单位， 故的图象关于原点对称，是奇函数，故B正确； 对于选项C：由，得； 由，得， 所以，故C正确； 对于选项D：由题意得， ，， 则，所以，故D错误． 故选：ABC． 69.已知函数的定义域为，函数为奇函数，函数为偶函数，则（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 【答案】AD 【详解】对于A，由函数为奇函数，故， 即，即，故函数的一个对称中心为，故A正确； 对于B，由，令，则，即， 由函数为偶函数，故，即， 令，则，故B错误； 对于C，由函数的一个对称中心为，则，即，故函数不以4为周期，故C错误； 对于D，由，令，有， 由，故，故D正确． 故选：AD． 70.已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】，令，得，解得； 令，则，又，所以，得， 对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误； 令，得①， 把换成，得②， 又为奇函数，所以，又， 所以①②得，故D正确； 令，得，所以，又， 所以，则， 所以函数的周期为4，得，故A正确； ，等式两边同时对求导， 得， 令，得，即③， 由，得，所以为偶函数， 由，得， 所以，所以函数的周期为4. 令，由③得， 同理可得， 所以，故C正确. 故选：ACD 71.（多选）（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 【答案】ACD 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，，所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D正确. 故选：ACD 重难·创新演练 设题创新: 试题以抽象函数、新定义情境、导函数关联为创新载体，强化单调性、奇偶性、周期性、对称性的融合考查，增加含参讨论、逆向推导、多结论判断与数形结合题型，注重逻辑推理与知识迁移，贴合高考命题新趋势。 1.（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】先判断充分性：若函数在的最小值为3， 则“，”成立，但“在上的最小值为2”不成立， 所以“，”不是“在上的最小值为2”的充分条件. 再判断必要性：“在上的最小值为2”时，可得“，”成立， 所以“，”是“在上的最小值为2”的必要条件. 综上：“，”是“在上的最小值为2”的必要不充分条件. 故选：B 2.【新角度】（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【详解】，则当或时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增， 对，有且， 则， 又，故为偶函数，故只需分析时的单调性， 令，则， 当时，，当时，，，故， 在上单调递减，则单调递增； 当时，，，故， 在上单调递减，上单调递增， 则当时，单调递减，时，单调递增； 故当时，单调递增区间为、， 单调递减区间为， 由偶函数性质可知，当时，单调递增区间为， 故函数的单调递增区间为，，. 故选：B 3.【新考法】（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则，故a的取值范围是. 故选：B 4.（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即，所以，令，因为当时，都有，所以函数在上单调递增.又不等式两边同乘以，得， 即，即，所以，故， 解得，即. 故选：A 5.（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， 可得函数在上为单调递减函数，且，所以， ，因为，所以，，，可得，所以， 即，所以. 故选：C 6.【新考法】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，当时函数单调递增，所以， 当时，为单调递增函数，所以， 又因为，，使得， 即在的最大值不小于在上的最大值， 即，解得，即. 故选：A. 7.（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 故选：D 8.【新角度】（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】由，令，得， 所以的图象关于直线对称，所以.将换为代入得.又，因此， 即，则①，所以， 对①两边求导得，故，故和的周期均为4，于是，.在中， 取得.在中取得， 所以. 故选：B 9.【新情境】（2026·广东清远·二模）已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知定义域为的函数满足，故为奇函数， 对于任意的，当时，都有，故在上单调递增； 设，由于，故的定义域为， 又， 故为奇函数；的定义域为， ，即为奇函数； 当时，单调递增，则也单调递增， 故在上单调递增，结合为奇函数，可知在上单调递增， 且，故在上单调递增，又， 故，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 10.（2026·重庆九龙坡·二模）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 是定义在上的奇函数，且在上单调递增. 设， ， . 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是上的偶函数，故；又在上单调递减，由偶函数对称性得在上单调递增.是上的奇函数，故，且；又在上单调递增，由奇函数单调性得在上单调递增，且时.由偶函数性质，，因此，即，因此A、B错误；由在上单调递增，得，则，，比较大小得， 又在上单调递减，因此，故C正确，D错误. 故选：C 11.（多选）（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 【答案】ABD 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或，令，，又，若，则，显然不成立，故， 所以，所以，可知C错误； 令，得，即， 在原函数方程中，令，得，即， 所以，由，令替换为，得， ，所以，，所以，故函数的一个周期为4，得A正确；因为，所以是偶函数，所以， 又因为周期为4，所以，所以，所以关于对称，选项 B正确；因为周期为4，所以，所以D正确. 故选：ABD 12．（多选）（2026·河北邢台·二模）已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为为偶函数，所以，所以，所以，所以.又为奇函数，所以， 所以，将替换为，得，所以，所以的周期为4，且. 对于A：在中，令，得.又，所以，A错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确； 对于D：当时，， ，， ， 所以， 所以，D错误. 故选：BC 13.【新考法】（2026·陕西榆林·三模）（多选）已知函数，是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意知， 当时，易得函数在上单调递增， 又， 所以为奇函数，所以在上单调递增． 又是定义在上的偶函数，所以. 因为，所以是奇函数，故A正确； 因为，所以是偶函数．故B正确； 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以．所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确． 故选：ABD 14.（多选）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D. 【详解】函数的定义域都为， 对于A，因为，所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确； 对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误； 对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 15.【新考法】（2026·福建厦门·5月模拟）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是 ____ . 【答案】 【详解】由题意，， 因为，所以，即有， 两式相加可得，.因为，，所以， 设，所以在上单调递增， 所以或或，解得或或，所以， 故答案为： 真题·实战演练 高频考点：主要包括函数单调性与单调区间判断、复合函数单调性的 “同增异减” 法则、奇偶性判定及应用、利用奇偶性与单调性解函数不等式、函数周期性与对称轴及对称中心的推导、利用单调性求最值与值域，以及多种性质综合应用的小题，是高考选择、填空题的必考内容。 1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2.（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得. 故选：D. 3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4.（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 5.（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 . 【答案】②③ 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 6.（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 7.（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【详解】是奇函数，则恒成立，所以，解得 故答案为：0． 8.（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 . 【答案】2 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故，此时， 所以，又定义域为，故为偶函数，所以. 故答案为：2. 6 / 52 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 函数的单调性及单调区间 2 题型02 复合函数的单调性 2 题型03 比较大小 3 题型04 利用单调性解函数不等式 3 题型05 利用单调性求参数的取值范围 4 题型06 利用函数的单调性求最值（值域） 5 题型07 函数奇偶性的判断 5 题型08 根据奇偶性求解析式或函数值 6 题型09 利用奇偶性求参数 7 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 7 题型11 函数的周期性 8 题型12 对称性 8 题型13 由函数对称性求函数值或参数 9 题型14 对称性、周期性的综合 10 题型15 对称性、单调性的综合 10 题型16 对称性求函数的解析式 11 题型17 函数性质的综合应用 11 重难·创新演练 12 真题·实战演练 15 模拟·基础演练 考查重点：查函数单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值的判定与应用，围绕单调区间判断、复合函数单调性、奇偶性证明与性质运用、周期与对称关系推导、利用单调性求解不等式、参数范围及最值值域等核心内容展开，突出单一性质运用与多性质综合解题能力。 题型01 函数的单调性及单调区间 1.（2026·河南洛阳·模拟检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是奇函数. （1）求的值； （2）若的定义域为，判断的单调性并证明. 题型02 复合函数的单调性 4．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·安徽六安·月考）函数的单调递减区间为 . 题型03 比较大小 9.（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁本溪·阶段检测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在上单调递减.设，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12.（2026·四川成都·模拟检测）已知，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 13.（2026·江西萍乡·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 题型04 利用单调性解函数不等式 14.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15.（2026·河北8月·联合质检）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16.已知，则的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 17.（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05 利用单调性求参数的取值范围 18. “”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19.已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20.（2026·湖南衡阳·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 21.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.（用区间表示） 题型06 利用函数的单调性求最值（值域） 22.已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23.（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 24.已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 25.（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数． （1）若，求的值域； （2）若时，的最小值为，求函数的解析式． 题型07 函数奇偶性的判断 26.函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 27.下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 28.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． 29.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知定义域为的函数不是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 30.（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 题型08 根据奇偶性求解析式或函数值 31.（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 32.（2026·广东江门·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 33.（2026·陕西·二模）设是定义在上周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 34.（2026·山东枣庄·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 35.（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时， . 36.（2026·江西上饶·二模）已知为定义在上的奇函数，且当时，，则 . 题型09 利用奇偶性求参数 37.（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 38.（2026·山西吕梁·三模）已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 39.（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（    ） A．15 B． C． D．4 40.（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 41.（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为 . A． B．0 C．1 D．或1 题型10 利用奇偶性和单调性解不等式 42.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 43.（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44.已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 45.已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 46.若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 . 题型11 函数的周期性 47.（2025·湖南岳阳·三模）已知函数满足，，则（    ） A．3 B． C．5 D． 48.（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．2025 B． C． D． 49.（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 50.（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则 . 51.（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 . 题型12 对称性 52.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为6 B． C． D． 53.（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数，则（    ） A． B． C．存在对称轴 D．存在对称中心 54.（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 55.（多选）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 题型13 由函数对称性求函数值或参数 56.（2026·浙江宁波·模拟检测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 57.（2026·黑龙江哈尔滨·5月模拟）已知函数的图象关于直线对称，则（     ） A． B． C．5 D．6 58.（2026·江苏徐州·5月模拟）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 59.（2026·福建厦门·5月检测）若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为 . 题型14 对称性、周期性的综合 60.（2026·山东泰安·阶段检测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 61.定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（    ） A．14 B． C．12 D． 62.（多选）已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（    ） A． B．为周期函数 C． D．在上单调递增 题型15 对称性、单调性的综合 63.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 64.（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 65.（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为 . 题型16 对称性求函数的解析式 66.已知函数与的图象关于点对称，则 . 67.（25-26高三上·安徽·期中测试）已知函数满足． （1）证明：； （2）判断的单调性，并写出推理过程； （3）若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 题型17 函数性质的综合应用 68.（25-26高三上·浙江·期末测试）（多选）定义在上的函数满足： ①对任意，都有；②的图象关于直线对称； ③，. 则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 69.已知函数的定义域为，函数为奇函数，函数为偶函数，则（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 70.已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 71.（多选）（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 重难·创新演练 设题创新: 试题以抽象函数、新定义情境、导函数关联为创新载体，强化单调性、奇偶性、周期性、对称性的融合考查，增加含参讨论、逆向推导、多结论判断与数形结合题型，注重逻辑推理与知识迁移，贴合高考命题新趋势。 1.（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.【新角度】（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．，， C．， D．，， 3.【新考法】（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6.【新考法】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 7.（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.【新角度】（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（    ） A． B． C．1 D．3 9.【新情境】（2026·广东清远·二模）已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.（2026·重庆九龙坡·二模）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 是定义在上的奇函数，且在上单调递增. 设， ， . 则（    ） A． B． C． D． 11.（多选）（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 12．（多选）（2026·河北邢台·二模）已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 13.【新考法】（2026·陕西榆林·三模）（多选）已知函数，是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 14.（多选）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 15.【新考法】（2026·福建厦门·5月模拟）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是 ____ . 真题·实战演练 高频考点：主要包括函数单调性与单调区间判断、复合函数单调性的 “同增异减” 法则、奇偶性判定及应用、利用奇偶性与单调性解函数不等式、函数周期性与对称轴及对称中心的推导、利用单调性求最值与值域，以及多种性质综合应用的小题，是高考选择、填空题的必考内容。 1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4.（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 5.（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 . 6.（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 . 7.（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 8.（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 . 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $